En topologio, fermita-malfermita aro en topologia spaco estas aro, kiu estas kaj malfermita aro, kaj fermita aro.
Ekzemploj
Estu la spaco X kiu konsistas el la kunaĵo de la du intervaloj, [0,1] kaj [2,3]. La topologio sur X estas heredita kiel la subspaca topologio de la ordinara topologio sur la reela linio R. En X, la aro [0,1] estas fermita-malfermita, same la aro [2,3]. Ĉi tiu estas sufiĉe tipa ekzemplo: se spaco estas farita kiel kunaĵo el finia kvanto de disaj koneksaj spacoj kiel komponanto tiamaniere, la ĉiu el la komponantoj estas fermita-malfermita.
En ĉiu topologia spaco X, la malplena aro kaj la tuta spaco X estas fermita-malfermita.[1][2]
Kiel malpli bagatela ekzemplo, estu la spaco Q de ĉiuj racionalaj nombroj kun ilia ordinara topologio, kaj estu aro A de ĉiuj pozitivaj racionalaj nombroj kies kvadrato estas pli granda ol 2. Pro tio ke √2 estas ne en Q, A estas fermita-malfermita subaro de Q. Notu ke tamen A ne estas fermita-malfermita subaro de la reela linio R, ĝi estas nek malfermita nek fermita en R.
Ecoj
- Aro estas fermita-malfermita se kaj nur se ĝia rando estas malplena.
- Ĉiu fermita-malfermita aro estas unio de (eble malfinie multaj) koneksaj komponantoj.
- Se ĉiuj koneksaj komponantoj de topologia spaco X estas malfermitaj (ekzemple, se X havas nur finie multajn komponantojn, aŭ se X estas loke koneksa), tiam aro estas fermita-malfermita en X se kaj nur se ĝi estas unio de koneksaj komponantoj.
- Topologia spaco X estas koneksa se kaj nur se la nuraj fermitaj-malfermitaj aroj en X estas la malplena aro kaj X.
- Topologia spaco X estas diskreta se kaj nur se ĉiu el ĝiaj subaroj estas fermita-malfermita.
- La operacioj de formado de kunaĵoj kaj komunaĵoj igas la aron de fermitaj-malfermitaj subaroj de donita topologia spaco X bulea algebro. Ĉiu Bulea algebro povas esti ricevita tiamaniere el taŭga topologia spaco, vidu en kerna prezenta teoremo por buleaj algebroj.
Vidu ankaŭ
Eksteraj ligiloj
- Topologio sen ŝiroj de Sidney A. Morrita