En topologio, fermita-malfermita aro en topologia spaco estas aro, kiu estas kaj malfermita aro, kaj fermita aro.

Ekzemploj

Estu la spaco X kiu konsistas el la kunaĵo de la du intervaloj, [0,1] kaj [2,3]. La topologio sur X estas heredita kiel la subspaca topologio de la ordinara topologio sur la reela linio R. En X, la aro [0,1] estas fermita-malfermita, same la aro [2,3]. Ĉi tiu estas sufiĉe tipa ekzemplo: se spaco estas farita kiel kunaĵo el finia kvanto de disaj koneksaj spacoj kiel komponanto tiamaniere, la ĉiu el la komponantoj estas fermita-malfermita.

En ĉiu topologia spaco X, la malplena aro kaj la tuta spaco X estas fermita-malfermita.[1][2]

Kiel malpli bagatela ekzemplo, estu la spaco Q de ĉiuj racionalaj nombroj kun ilia ordinara topologio, kaj estu aro A de ĉiuj pozitivaj racionalaj nombroj kies kvadrato estas pli granda ol 2. Pro tio ke √2 estas ne en Q, A estas fermita-malfermita subaro de Q. Notu ke tamen A ne estas fermita-malfermita subaro de la reela linio R, ĝi estas nek malfermita nek fermita en R.

Ecoj

  • Aro estas fermita-malfermita se kaj nur se ĝia rando estas malplena.
  • Ĉiu fermita-malfermita aro estas unio de (eble malfinie multaj) koneksaj komponantoj.
  • Se ĉiuj koneksaj komponantoj de topologia spaco X estas malfermitaj (ekzemple, se X havas nur finie multajn komponantojn, aŭ se X estas loke koneksa), tiam aro estas fermita-malfermita en X se kaj nur se ĝi estas unio de koneksaj komponantoj.
  • Topologia spaco X estas koneksa se kaj nur se la nuraj fermitaj-malfermitaj aroj en X estas la malplena aro kaj X.
  • Topologia spaco X estas diskreta se kaj nur se ĉiu el ĝiaj subaroj estas fermita-malfermita.
  • La operacioj de formado de kunaĵoj kaj komunaĵoj igas la aron de fermitaj-malfermitaj subaroj de donita topologia spaco X bulea algebro. Ĉiu Bulea algebro povas esti ricevita tiamaniere el taŭga topologia spaco, vidu en kerna prezenta teoremo por buleaj algebroj.

Vidu ankaŭ

Eksteraj ligiloj

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.