En topologio, la fermaĵo^[1] estas la plej malgranda fermita aro, kiu entenas iun subaron de topologia spaco.

Difino

Supozu ke ${\displaystyle S\subseteq X}$ estas subaro en topologia spaco ${\displaystyle X}$. Konsideru la kolekton ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ de ĉiuj fermitaj aroj de ${\displaystyle X}$. El tiuj, konsideru la subkolekton

${\displaystyle \{F\in {\mathcal {F}}(X)\colon F\supseteq S\}}$

de tiuj fermitaj aroj, kiuj estas superaroj de ${\displaystyle S}$. Ĉi tiu estas parte ordita aro laŭ la rilato de subareco. Ĝi havas unikan minimumon, ĉar la komunaĵo de arbitra familio de fermitaj aroj estas fermita; ĉi tiu minimumo estas la fermaĵo ${\displaystyle {\bar {S}}}$ de ${\displaystyle S}$. Pli konkrete, ĝi estas la komunaĵo de ĉiuj tiuj fermitaj aroj, kiuj estas superaroj de ${\displaystyle S}$:

${\displaystyle {\bar {S}}=\bigcap \{F\in {\mathcal {F}}(X)\colon F\supseteq S\}}$.

Ekzemploj

En topologia spaco ${\displaystyle X}$, la fermaĵo de fermita aro estas la originala aro mem:

${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}(X)\implies {\bar {F}}=F}$.

Specife, la fermaĵo de la malplena aro estas la malplena aro, kaj la fermaĵo de la tuta spaco ${\displaystyle X}$ estas la tuta spaco ${\displaystyle X}$.

${\displaystyle {\bar {\varnothing }}=\varnothing }$

${\displaystyle {\bar {X}}=X}$

Referencoj

Vidu ankaŭ

• Malfermaĵo, la mala koncepto

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Topological closure en MathWorld.