Ĝenerala parametrigo

Se la kurbo estas donita per ĝenerala parametrigo γ(t) = (x(t), y(t)), kiu ne nepre estas parametrigo laŭ longo de arko, la parametra ekvacio de la evoluto povas esti esprimita per la kurbecoradiuso R=1/k kaj la tanĝanta angulo φ, kiu estas angulo inter tanĝanto al la kurbo kaj la x-akso. Per R kaj φ, la evoluto havas parametran ekvacion

${\displaystyle (X,Y)=(x,y)+RN=(x-R\sin \varphi ,y+R\cos \varphi )}$

kie la unuobla normala vektoro N' = (-sin φ, cos φ) estas ricevita per turnado de la unuobla tanĝanta vektoro T = (cos φ, sin φ) je angulo 90°.

La ekvacio de la evoluto povas ankaŭ esti skribita tute per x, y kaj iliaj derivaĵoj. Pro tio ke

${\displaystyle (\cos \varphi ,\sin \varphi )={\frac {(x',y')}{(x'^{2}+y'^{2})^{1/2}}}}$ kaj ${\displaystyle R=1/k={\frac {(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}{x'y''-x''y'}}}$

R kaj φ povas esti eliminitaj kaj rezultiĝas:

${\displaystyle X=x-y'{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{x'y''-x''y'}}}$

${\displaystyle Y=y+x'{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{x'y''-x''y'}}}$

Longo de arko

Estu la kurbo γ(s) parametrigita kun respekto al ĝia longo de arko s. Tiam la longo de arko laŭ la evoluto E de s₁ al s₂ estas

${\displaystyle \int _{s_{1}}^{s_{2}}\left|{\frac {dR}{ds}}\right|ds}$

Tial, se la kurbeco de γ(s) estas severe monotona, tiam

${\displaystyle \int _{s_{1}}^{s_{2}}\left|{\frac {dR}{ds}}\right|ds=|R(s_{2})-R(s_{1})|}$

Ekvivalente, se σ estas la longo de arko de la kurbo E,

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{ds}}=\left|{\frac {dR}{ds}}\right|}$

Ĉi tio sekvas per diferencialado de la formulo

${\displaystyle E(s)=\gamma (s)+R(s)\mathbf {N} (s)}$

kaj la idento de Frenet N'(s) = -k(s)T(s):

${\displaystyle E'(s)=\gamma '(s)+R'(s)N(s)-T(s)=R'(s)N(s)}$ (*)

kaj

${\displaystyle {\frac {dE}{ds}}={\frac {dR}{ds}}N(s)}$

de kio sekvas ke ${\displaystyle {\frac {d\sigma }{ds}}=\left|{\frac {dR}{ds}}\right|}$.

Unuobla tanĝanta vektoro

Alia konsekvenco de (*) estas ke la tanĝanta vektoro al la evoluto E je s estas normala al la kurbo γ je s.

Kurbeco

La kurbeco de la evoluto E estas ricevata per diferencialado de E dufoje kun respekto al ĝia longo de arko σ. Pro tio ke dσ/ds = |dR/ds|, el (*) sekvas ke

${\displaystyle {\frac {dE}{d\sigma }}=\left.{\frac {dE}{ds}}\right/{\frac {d\sigma }{ds}}=\pm \mathbf {N} }$

kie la signo estas tiu de dR/ds. Diferencialante la duan fojon, kaj uzante la ekvacion de Frenet N'(s) = -k(s)T(s) rezultiĝas

${\displaystyle {\frac {d^{2}E}{d\sigma ^{2}}}=\pm \left.{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}\right/{\frac {d\sigma }{ds}}=-{\frac {1}{R{\frac {dR}{ds}}}}{\frac {dE}{d\sigma }}}$

Tiel la kurbeco de E estas

${\displaystyle k_{E}=-{\frac {1}{R{\frac {dR}{ds}}}}}$

kie R estas la (signa) kurbecoradiuso.

Interrilato inter kurbo kaj ĝia evoluto

Elipso (ruĝa), ĝia evoluto (blua) kaj iuj paralelaj kurboj. La paralelaj kurboj havas kuspojn kiam ili tuŝas la evoluton

Per la pli supre diskuto, la derivaĵo de evoluto nuliĝas kiam dR/ds = 0, tiel la evoluto havas kuspon kiam la kurbo havas verticon, tio estas kiam la kurbeco havas lokan maksimumon aŭ lokan minimumon. Je trafleksa punkto de la originala kurbo la kurbecoradiuso iĝas malfinion kaj tiel la evoluto iras en malfinion, ofte ĉi tio rezultiĝas en tio ke la evoluto havas asimptoton. Simile, kiam la originala kurbo havas kuspon kie la kurbecoradiuso estas 0 tiam la evoluto tuŝas la originalan kurbon.

Kurboj kun la sama evoluto estas paralelaj kurboj.