Eŭlera formulo por ajna angulo. La eŭlera idento rezultiĝas se preni ke φ=π.

En matematiko, la eŭlera idento estas la idento

e^iπ + 1 = 0

kie e estas la bazo de la natura logaritmo,

i estas la imaginara unuo, nombro kies kvadrato egalas al -1: i² = -1

π estas pi, la rilatumo de la cirkonferenco de cirklo al ĝia diametro.

L eŭlera idento estas ofte konsiderita kiel rimarkinda pro ĝia matematika belo. Tri bazaj aritmetikaj operacioj okazas akurate po unufoje: adicio, multipliko, potencigo. La idento kunligas kvin fundamentajn matematikajn konstantojn:

• Nulo 0
• Unu 1
• π
• e
• i

Pruvo

La idento estas speciala okazo de la eŭlera formulo el la kompleksa analitiko:

${\displaystyle e^{ix}=\cos {x}+i\sin {x}\quad }$

kun preno de ${\displaystyle x=\pi \quad }$:

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos {\pi }+i\sin {\pi }\quad }$

Pro tio ke ${\displaystyle \cos {\pi }=-1\quad }$ kaj ${\displaystyle \sin {\pi }=0\quad }$ rezultiĝas

${\displaystyle e^{i\pi }=-1\quad }$

kiu donas la eŭleran identon.

Geometria interpretado

${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\dfrac {z}{n}}\right)^{n}}$

aŭ ${\displaystyle e^{i\pi }\simeq (1+{\dfrac {i\pi }{N}})^{N}\simeq -1}$ por granda N.

Geometrie ĉi tio respektivas al algluo de N ortaj trianguloj kun angulo kies tangento estas π/N radianoj al la segmento [0, 1] sur la kompleksa ebeno. La lasta triangulo havas tiam lateron proksiman al segmento [0, -1]. La preciza rezulto estas ricevata per algluo de N cirklaj sektoroj kun angulo α=π/N.

Se N pligrandiĝas, la triangulo kaj la cirkla segmento iĝas pli similaj

Algluo de 8 aŭ 16 trianguloj

Ĝeneraligo

Eŭlera idento estas speciala okazo de la pli ĝenerala idento ke por n>1 sumo de ĉiuj n-aj radikoj de unu, egalas al 0:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi ik/n}=0.}$

Eŭlera idento estas la okazo n=2, kun tio ke e⁰ = 1.

En alia matematika branĉo, uzante kvaternionan potencon oni trovas similan identitecon kiu ankaŭ funkcias por kvaternionoj. Kun la bazaj elementoj ${\displaystyle {i,j,k}}$ oni havas:

${\displaystyle e^{{\frac {1}{\sqrt {3}}}(i\pm j\pm k)\pi }+1=0.}$

Atribuo

Eŭlero skribis la formulon pri interrilato de eksponento al sinuso kaj kosinuso, sed ne estas sciate Eŭlero reale skribis la identon en ĉi tia simpla formo, la formulo estis verŝajne sciata antaŭ Eŭlero.

Vidu ankaŭ

• Leonhard Euler
• Eŭlera formulo
• Eŭlera funkcio
• Eksponenta funkcio
• Idento
• Trigonometriaj funkcioj
• Transcenda nombro - la idento estis uzata en pruvoj de transendeco de iuj gravaj konstantoj

Eksteraj ligiloj

• Eŭleraj plej grandaj furoroj", MAA surlinia, februaro de 2007.