Difinoj

Sfero povas esti difinita - per parametroj jene x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ aŭ implice jene x2 + y2 + z2 - r2 = 0. Eksplicita difino z = (r2 - x2 - y2)1/2 donas nur duonon de sfero.

Implice difinita surfaco estas situo de nuloj de funkcio F, alivorte tiaj (x, y, z), ke F(x, y, z)=0. La funkcio F(x, y, z) estas de R³ al R. Se la funkcio F estas polinoma funkcio de 3 variabloj, la surfaco estas algebra surfaco. Grado de la polinomo estas tiam grado de la surfaco. Algebra surfaco de grado 2 estas kvadriko.

Povas okazi, ke implica surfaco ne havas geometrian formon, ĉar neniu punkto kontentigas la ekvacion. Ĉi tia surfaco estas nomata kiel imaginara surfaco. Ekzemple ekvacio

x² + y² + z² + r² = 0

priskribas imaginaran sferon. Vidu en artikolo kvadriko por pluaj ekzemploj.

Parametre difinita surfaco estas bildo de kontinua injekta enĵeta funkcio de R² al R³. Ekvivalente povas esti donitaj tri funkcioj R² al R, kiuj priskribas la koordinatojn aparte:

x = X(u, v)

y = Y(u, v)

z = Z(u, v)

Turna surfaco povas esti konsiderata kiel speciala speco de parametra surfaco.

Eksplicite difinita surfaco estas tiu, ĉe kiu eblas, skribi unu eron el la variabloj x, y, z kiel funkcion de du la ceteraj

z=f(x, y)

aŭ

x=f(y, z)

aŭ

y=f(x, z)

Ĉi tiuj variantoj estas ĝenerale ekvivalentaj ,ĉar eblas fari ŝanĝon de koordinatoj por trairi de unu varianto al la alia, tiel plu estas diskutata nur varianto z=f(x, y). Tamen sen ŝanĝo de koordinatoj trairi de unu varianto al la alia ne ĉiam eblas. Ekzemple ebeno 2x+3y+z+1=0 povas esti ekvivalente skribita kiel x=-(3y+z+1)/2 aŭ y=-(2x+z+1)/3 aŭ z=-2x-3y-1. Sed ebeno z=2 kaj duonsfero z=(r² - x² - y²)^1/2 ne povas esti reskribitaj en formo x=f(y, z) aŭ y=f(x, z). Ebeno z=2x-1 povas esti ekvivalente skribita kiel x=(z+1)/2 , sed ne povas esti skribita en formo y=f(x, z).

Eblas ankaŭ difini parametrajn, eksplicitajn kaj implicajn surfacojn en pli alte dimensiaj eŭklidaj spacoj Eⁿ.

Glateco

Glata surfaco estas surfaco, kiu havas tanĝantan ebenon en ĉiu punkto. La kondiĉoj de glateco estas donitaj pli sube.

• Implice difinita surfaco F(x, y, z)=0 estas glata surfaco, se funkcio F(x, y, z) estas glata funkcio, kies gradiento estas nenie nulo (F havas kontinuajn partajn derivaĵojn je x, y, z, kaj en ĉiu punkto almenaŭ unu da ili estas ne nulo). Se la kondiĉo de ne nuliĝo de gradiento ne ĉie veras, tiam povas okazi specialaĵoj.
•  : ${\displaystyle \left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial z}}\right)^{2}>0}$

• Parametre difinita surfaco
•  : x = X(u, v)
•  : y = Y(u, v)
•  : z = Z(u, v)
•  : estas glata surfaco, se la funkciaj difinas reciproke unuvaloran surĵeton inter (x, y, z) sur la surfaco kaj (u, v) kaj funkcioj X, Y, Z estas kontinue diferencialeblaj kaj estas kontentigita kondiĉo de nedegenereco
•  : ${\displaystyle {\begin{vmatrix}X'_{u}&X'_{v}\\Y'_{u}&Y'_{v}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}Y'_{u}&Y'_{v}\\Z'_{u}&Z'_{v}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}Z'_{u}&Z'_{v}\\X'_{u}&X'_{v}\end{vmatrix}}^{2}>0}$

• Eksplicite difinita surfaco z=f(x, y) estas glata surfaco, se la funkcio f' estas kontinue diferencialebla.

Plua postulo estas, ke la surfaco havu kurbecon, por ĝi bazonatas ekzisto de la duaj derivaĵoj de funkcioj, kiuj difinas la surfacon.

En diferenciala kaj algebra geometrio estas studataj specialaĵoj - sin-intersekcoj, kuspoj, kaj tiel plu de surfacoj.

Tanĝanta ebeno kaj normalo

Normalo estas vektoro perpendikulara al ebeno tanĝanta al la surfaco en donita punkto.

	Normalo	Tanĝanta ebeno
Implice difinita surfaco	${\displaystyle {\frac {\left({\frac {\partial F}{\partial x}};\,{\frac {\partial F}{\partial y}};\,{\frac {\partial F}{\partial z}}\right)}{\sqrt {\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial z}}\right)^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}_{x_{0}}(x-x_{0})+{\frac {\partial F}{\partial y}}_{y_{0}}(y-y_{0})+{\frac {\partial F}{\partial z}}_{z_{0}}(z-z_{0})=0}$
Eksplicite difinita surfaco	${\displaystyle {\frac {\left(-{\frac {\partial f}{\partial x}};\,-{\frac {\partial f}{\partial y}};\,1\right)}{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}+1}}}}$	${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}_{x_{0}}(x-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}_{y_{0}}(y-y_{0})=(z-z_{0})}$
Parametre difinita surfaco	${\displaystyle {\frac {\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}};\,{\frac {D(y,z)}{D(u,v)}};\,{\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right)}{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right)^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}_{u_{0},v_{0}}(x-x_{0})+{\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}_{u_{0},v_{0}}(y-y_{0})+{\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}_{u_{0},v_{0}}(z-z_{0})=0}$
	kie ${\displaystyle {\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}X'_{u}&X'_{v}\\Y'_{u}&Y'_{v}\end{vmatrix}},\quad {\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}Y'_{u}&Y'_{v}\\Z'_{u}&Z'_{v}\end{vmatrix}},\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}Z'_{u}&Z'_{v}\\X'_{u}&X'_{v}\end{vmatrix}}}$

Areo

Eksplicite difinita surfaco	${\displaystyle \iint \,{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}+1}}\;\mathrm {d} \,x\,\mathrm {d} \,y}$
Parametre difinita surfaco	${\displaystyle \iint \,{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right)^{2}}}\;\mathrm {d} \,u\,\mathrm {d} \,v}$ aŭ ${\displaystyle \iint \,|[{\dot {r}}_{u}\times {\dot {r}}_{v}]|\;\mathrm {d} \,u\,\mathrm {d} \,v}$
	kie ${\displaystyle {\dot {r}}_{u}=\left({\frac {\partial x}{\partial u}},\,{\frac {\partial y}{\partial u}},\,{\frac {\partial z}{\partial u}}\right),\quad {\dot {r}}_{v}=\left({\frac {\partial x}{\partial v}},\,{\frac {\partial y}{\partial v}},\,{\frac {\partial z}{\partial v}}\right)}$

Rimana metriko

Glataj surfacoj kun rimana metriko estas de fundamenta graveco en diferenciala geometrio. Rimana metriko donas al surfaco nociojn de geodezia kurbo, distanco, angulo, areo. Ĝi ankaŭ donas la gaŭsan kurbecon, kiu priskribas kiel liniita aŭ kurba la surfaco estas je ĉiu punkto. Gaŭsa kurbeco estas rigida, geometria propraĵo kaj estas ne konservata per ĝeneralaj difeomorfiojg de la surfaco. Tamen teoremo de Gauss-Bonnet por fermitaj surfacoj statas, ke integralo de la gaŭsa kurbeco K tra la tuta surfaco S estas difinita per la eŭlera karakterizo:

${\displaystyle \int _{S}K\;dA=2\pi \chi (S)}$

Ĉi tiu rezulto montras profundan interrilaton inter geometrio kaj topologio de surfacoj (kaj, en malpli granda amplekso, de pli alte dimensiaj sternaĵoj).

Alia maniero de konsidero de surfacoj en geometrio estas la uzo de la kompleksa domajno. Kompleksa unu-sternaĵo estas glata orientita surfaco - ankaŭ nomata kiel rimana surfaco. Ĉiu kompleksa nesingulara algebra kurbo vidata kiel sternaĵo de duoble pli multaj reelaj koordinatoj estas rimana surfaco.

Unu versio de la samformiga teoremo de Henri Poincaré) statas, ke ĉiu rimana metriko sur orientita fermita surfaco estas konforme ekvivalenta al esence unika metriko de konstanta kurbeco. Ĉi tio provizas deirpunkton por unu el manieroj de teorio de Teichmüller, kiu provizas pli fajnan klasifikon de rimanaj surfacoj ol en topologio nur per eŭlera karakterizo.

Enigo

La eniga teoremo de Whitney ĉe surfacoj statas ke ĉiu surfaco difinita abstrakte topologie kiel sternaĵo povas esti enigita homeomorfie en E⁴.

Pli forte, ĉiu kompakta surfaco kiu estas orientebla aŭ havas randon povas esti enigita en E³. Povas okazi ke surfaco kiu ne kontentigas la kondiĉoj ne povas esti enigita en E³, ekzemple la reela projekcia ebeno, kiu estas kompakta, ne-orientebla kaj sen rando, ne povas esti enigita en E³. Surfacoj de Steiner, inkluzivante surfacon de Boy, roman surfaco kaj kruci-ĉapon, estas mergoj de la reela projekcia ebeno enen E³. Ĉi tiuj surfacoj estas singularaj tie kie la mergoj sekcas sin.

La kornita sfero de Aleksander estas malnormala enigo de la du-sfero en la tri-sferon.

La elektita enigo de surfaco en alian spacon estas ekstera informo, ĝi ne estas esenca al la surfaco mem. Ekzemple, toro povas esti enigita en E³ en la kutima maniero aŭ en nodita maniero. La du enigitaj toroj estas homeomorfaj sed ne izotopaj; ili estas topologie ekvivalentaj, sed iliaj enigoj ne estas topologie ekvivalentaj.

Kutima enigo de toro

Nodita toro

Koneksa sumo

Koneksa sumo de du surfacoj M kaj N, skribata kiel M # N, estas ricevata per forpreno de disko de ĉiu el ili kaj gluado ilin kune laŭ la randoj aperintaj dum la forpreno. La eŭlera karakterizo de M # N estas sumo de la eŭleraj karakterizoj de la fontaj surfacoj minus 2:

χ(M # N) = χ(M) + χ(N) - 2

La sfero S estas neŭtra elemento por koneksa sumo, ĉar S # M = M. Ĉi tio estas ĉar forviŝo de disko de la sfero lasas diskon, kiu simple anstataŭigas la diskon forviŝitan de M antaŭ la gluado.

Koneksa sumo kun la toro T estas alfikso de anso al la alia fonta surfaco M de la sumo. Se M estas orientebla, tiam T # M estas ne homeomorfa al M. La koneksa sumado povas esti ripetita por alfiksi iun kvanton g de ansoj al M.

Koneksa sumo de du reelaj projekciaj ebenoj estas botelo de Klein. Koneksa sumo de reela projekcia ebeno kaj botelo de Klein estas homeomorfa al la koneksa sumo de reela projekcia ebeno kun la toro. Ĉiu koneksa sumo engaĝanta reelan projekcian ebenon estas neorientebla.

Klasifiko de fermitaj surfacoj

Ĉiu fermita surfaco estas homeomorfa al iu membro de unu el ĉi tiuj tri familioj:

• Sfero
• Koneksa sumo de g toroj, g ≥ 1
• Koneksa sumo de k reelaj projekciaj ebenoj, k ≥ 1

La surfacoj en la unuaj du familioj estas orienteblaj. Estas oportune komponi la du familiojn per preno ke la sfero estas koneksa sumo de 0 toroj. La kvanto g de toroj estas nomata kiel la genro de la surfaco. La sfero kaj la toro havas eŭlerajn karakterizojn 2 kaj 0 respektive, kaj tiel plu eŭlera karakterizo de la koneksa sumo de g toroj estas 2-2g.

La surfacoj en la tria familio estas neorienteblaj. Pro tio ke eŭlera karakterizo de la reela projekcia ebeno estas 1, eŭlera karakterizo de la koneksa sumo de k de ili estas 2-k.

El ĉi tio sekvas ke fermita surfaco estas difinita, supren ĝis homeomorfio, per du pecoj de informo: ĝia eŭlera karakterizo, kaj ĉu ĝi estas orientebla ĉu ne. En aliaj vortoj, eŭlera karakterizo kaj orientebleco plene klasifikas fermitajn surfacoj supren ĝis homeomorfio.

Du glataj surfacoj estas difeomorfaj se kaj nur se ili estas homeomorfaj. (La analoga rezulto ne veras por pli alte dimensiaj sternaĵoj.) Tial fermita surfaco estas klasifikita supren ĝis difeomorfio per ĝia eŭlera karakterizo kaj orientebleco.

Konstruado surbaze de fundamenta plurlatero

Ĉiu fermita surfaco povas esti konstruita surbaze de orientita plurlatero kun para kvanto de lateroj, nomata kiel fundamenta plurlatero de la surfaco, per laŭduopa identigo de lateroj de la plurlatero. Ekzemple, ĉe ĉiu plurlatero (kvadrato en la okazo) pli sube, kunigo de lateroj laŭ kongruantaj markoj (A kun A, B kun B), tiel ke la kunigataj sagoj montru en la sama direkto, donas la surfacojn.

Sfero	Toro	Botelo de Klein	Reela projekcia ebeno

Ĉiu fundamenta plurlatero povas esti skribita signmaniere kiel sekvas. Komencu je iu vertico, kaj procedu ĉirkaŭ la perimetro de la plurlatero en iu direkto al denova renkonto de la startanta vertico. Dum ĉi tiu trairo, skribu la markon sur ĉiu latero en ordo, kun supra indekso -1 se la lateraj sago kontraŭas al direkto de la trairo. Por la kvar variantoj pli supre, se trairi laŭhorloĝnadle startante je la supra maldekstra vertico, liveriĝas

• Sfero: ${\displaystyle ABB^{-1}A^{-1}}$
• Toro: ${\displaystyle ABA^{-1}B^{-1}}$
• Botelo de Klein: ${\displaystyle ABAB^{-1}}$
• Reela projekcia ebeno: ${\displaystyle ABAB}$

La esprimo tial derivita de fundamenta plurlatero de surfaco rilatas al prezento de la fundamenta grupo de la surfaco kun la plurlateraj lateroj markoj kiel generiloj. Ĉi tio estas konsekvenco de teoremo de Seifert-van Kampen.

Ankaŭ surfaco kun rando povas esti konstruita surbaze de plurlatero, sed en ĉi tiu okazo ne ĉiuj lateroj de la plurlatero estas konektitaj. La nekonektitaj lateroj formas randon de la surfaco.

(neniu identigo)
Disko	Cilindra surfaco	Rubando de Möbius

Kvocientaj spacoj

Gluado de randoj de plurlateroj estas speco de procezo de kreo de kvocienta spaco. La kvocienta koncepto povas esti aplikita pli ĝenerale por produkti novajn aŭ alternativajn konstruojn de surfacoj. Ekzemple, reela projekcia ebeno povas esti ricevita kiel la kvociento de la sfero per identigo de ĉiuj paroj de kontraŭaj punktoj sur la sfero. Alia ekzemplo de kvociento estas la koneksa sumo.