Je diferenciala geometrio, diferenciala formo estas tensora kampo, kies ĉiuj indicoj estas malsupraj, kaj kiu estas tute malsimetria. Pri ĝi ekzistas la naturaj operacioj de kojna produto (dulineara) kaj ekstera derivo (unulineara diferenciala operatoro).

Difino

Se ${\displaystyle M}$ estas ${\displaystyle n}$-dimensia glata sternaĵo, do sur ĝi ekzistas la kotanĝa fasko ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}$, de rango ${\displaystyle n}$. Oni povas difini laŭfibre la eksteran alĝebron

${\displaystyle \bigwedge \mathrm {T} ^{*}M=\bigoplus _{k=0}^{n}\bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}M=\mathbb {R} \oplus \mathrm {T} ^{*}M\oplus (\mathrm {T} ^{*}M\wedge _{M}\mathrm {T} ^{*}M)\oplus \dotsb \oplus (\underbrace {\mathrm {T} ^{*}M\wedge _{M}\mathrm {T} ^{*}M\wedge _{M}\dotsb \wedge \mathrm {T} ^{*}M} _{k})}$.

${\displaystyle \textstyle \bigwedge \mathrm {T} ^{*}M}$ estas glata vektora fasko de rango ${\displaystyle 2^{n}}$ sur ${\displaystyle M}$.

Diferenciala formo sur ${\displaystyle M}$ estas glata sekcio de ${\displaystyle \textstyle \bigwedge \mathrm {T} ^{*}M}$. Diferenciala formo de grado ${\displaystyle k}$, aŭ diferenciala ${\displaystyle k}$-formo, estas glata sekcio de ${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}M}$. La spacon de diferencialaj formoj simbolas ${\displaystyle \Omega (M)}$; la spacon de diferencialaj formoj de grado ${\displaystyle k}$ simbolas ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$. Do

${\displaystyle \Omega (M)=\Omega ^{0}(M)\oplus \Omega ^{1}(M)\oplus \dotsb \oplus \Omega ^{n}(M)}$.

Operacioj

La kojna produto estas dulineara produto de du diferencialaj formoj:

${\displaystyle \wedge \colon \Omega ^{k}(M)\otimes \Omega ^{l}(M)\to \Omega ^{k+l}(M)}$.

Ĝi estas grade simetria:

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-)^{\deg \alpha \deg \beta }\beta \wedge \alpha }$.

La ekstera derivo estas unugrada diferenciala operatoro sur diferencialaj formoj:

${\displaystyle \mathrm {d} \colon \Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)}$.

Ĝi obeas la Lejbnican regulon:

${\displaystyle \mathrm {d} (\alpha \wedge \beta )=(\mathrm {d} \alpha )\wedge \beta +(-)^{\deg \alpha }\alpha \wedge \mathrm {d} \beta }$.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Differential k-form en MathWorld.