Per difino de derivaĵo

f(x)(g(x + h) - g(x)) + g(x + h)(f(x + h) - f(x))

Ĉi tiu pruvo estas simila al la pruvo pli supre. Estu

y(x) = f(x)g(x)

Laŭ difino de derivaĵo

${\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {y(x+h)-y(x)}{h}}}$

kaj do

${\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}}$

Por plisimpligi la limigon oni adiciu kaj subtrahu termon f(x)g(x + h) al la numeratoro, tiam rezultas

${\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h)}{h}}}$

Tiam eblas faktorigi partojn de la numeratoro

${\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x)(g(x+h)-g(x))+g(x+h)(f(x+h)-f(x))}{h}}}$

La frakcio estas disdividiĝas en du frakciojn

${\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}\left(f(x){\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}+g(x+h){\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right)}$

Pro tio ke g(x) estas diferencialebla ĝi estas kontinua je x kaj do ${\displaystyle \lim _{h\to 0}g(x+h)}$ ekzistas kaj egalas al g(x). Krome, f(x) ne dependas de h kaj povas esti eligita el la limigo kiel konstanta faktoro. Tiel la limigo povas esti aplikata aparte al eroj de la esprimo

${\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=f(x)\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}+(\lim _{h\to 0}g(x+h))\left(\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right)}$

La difinoj de derivaĵoj de f(x) kaj g(x)

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

${\displaystyle {\frac {dg(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$

Povas esti uzataj por anstataŭigi erojn de la antaŭ esprimo kaj rezultas la produta regulo

${\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=f(x){\frac {dg(x)}{dx}}+g(x){\frac {df(x)}{dx}}}$

Per tuteca derivaĵo

Funkcio f(x) = g(x)h(x) povas esti konsiderata kiel funkcio de du variabloj g kaj h, ĉiu el kiuj en sia vico estas funkcio de x.

Ambaŭ partaj derivaĵoj de f je g kaj h povas esti trovitaj:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial g}}=h}$

kie h estas konsiderata kiel konstanto; kaj

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial h}}=g}$

kie g estas konsiderata kiel konstanto.

Tiam

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial g}}g'(x)+{\frac {\partial f}{\partial h}}h'(x)=h(x)g'(x)+g(x)h'(x)}$

Derivaĵoj de produtoj de vektoraj funkcioj

La regulo veras ankaŭ por skalara produto kaj vektora produto de du vektoro-valoraj funkcioj de skalara variablo.

Estu f(x) kaj g(x) ĉi tiaj funkcioj de skalaro x.

Tiam por derivaĵo de ilia skalara produto estas formulo

${\displaystyle {d(\mathbf {f} (x)\cdot \mathbf {g} (x)) \over dx}=\mathbf {f} (x)\cdot {d\mathbf {g} (x) \over dx}+\mathbf {g} (x)\cdot {d\mathbf {f} (x) \over dx}}$

Por derivaĵo de ilia vektora produto estas formulo

${\displaystyle {d(\mathbf {f} (x)\times \mathbf {g} (x)) \over dx}=\mathbf {f} (x)\times {d\mathbf {g} (x) \over dx}+{d\mathbf {f} (x) \over dx}\times \mathbf {g} (x)}$

kie la ordo de multiplikatoj en ĉiu vektora produto gravas.

Derivaĵo de produto de matricaj funkcioj

La regulo veras ankaŭ por matrica produto kaj vektora produto de du matrico-valoraj funkcioj de skalara variablo.

Estu A(x) kaj B(x) ĉi tiaj funkcioj de skalaro x, de tiaj ampleksoj ke ilia matrica produto A(x)B(x) ekzistas.

Tiam por derivaĵo de ilia matrica produto estas formulo

${\displaystyle {d(A(x)B(x)) \over dx}=A(x){dB(x) \over dx}+{dA(x) \over dx}B(x)}$

kie la ordo de multiplikatoj en ĉiu produto gravas.

Derivaĵo de produto de pli ol du funkcioj

La produta regulo povas esti ĝeneraligita al produto de pli ol du faktoroj.

Por kolekto de funkcioj f₁(x), ..., f_k(x) de variablo x:

${\displaystyle {\frac {d\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)}{dx}}=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {df_{i}(x)}{dx}}\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right)}$

Ekzemple, por tri faktoroj:

${\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}}$

Ĉi tio veras ankaŭ por matrico-valoraj funkcioj, sed tiam ordo de multiplikatoj en la produtoj devas esti ĉiam tia kia ĝi estas en la fonta produto. Por kolekto de matrico-valoraj funkcioj A₁(x), ..., A_k(x) de variablo x, de ampleksoj tiaj ke ilia produto ekzistas. Taim

${\displaystyle {\frac {d\prod _{i=1}^{k}A_{i}(x)}{dx}}=\sum _{i=1}^{k}\left(\left(\prod _{j=1}^{i-1}A_{j}(x)\right){\frac {dA_{i}(x)}{dx}}\left(\prod _{j=i+1}^{k}A_{j}(x)\right)\right)}$

Ekzemple, por tri faktoroj:

${\displaystyle {\frac {d(ABC)}{dx}}={\frac {dA}{dx}}BC+A{\frac {dB}{dx}}C+AB{\frac {dC}{dx}}}$

Pli altaj derivaĵoj

La produta regulo povas esti ĝeneraligita al pli altaj derivaĵoj de produto de du funkcioj f(x) kaj g(x) de variablo x:

${\displaystyle {d^{n}(f(x)g(x)) \over dx^{n}}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot {d^{n-k}f(x) \over dx^{n-k}}\cdot {d^{k}g(x) \over dx^{k}}}$

kie ${\displaystyle {n \choose k}}$ estas binomaj koeficientoj. La formulo aspekte similas al la binomo de Newton.

Ekzemple por n=2:

${\displaystyle {d^{2}(f(x)g(x)) \over dx^{2}}=f(x)\cdot {d^{2}g(x) \over dx^{2}}+2\cdot {df(x) \over dx}\cdot {dg(x) \over dx}+{d^{2}f(x) \over dx^{2}}\cdot g(x)}$

Ĉi tio veras ankaŭ por matrico-valoraj funkcioj, tiam la ordo de multiplikatoj en ĉiu produto gravas.

Miksitaj partaj derivaĵoj

Por miksita parta derivaĵo de n-a ordo de produto de du funkcioj f(x₁, ..., x_n) kaj g(x₁, ..., x_n) je x₁, ..., x_n estas formulo

${\displaystyle {\partial ^{n}(fg) \over \partial x_{1}\,\cdots \,\partial x_{n}}=\sum _{S}{\partial ^{|S|}f \over \prod _{i\in S}\partial x_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}g \over \prod _{i\not \in S}\partial x_{i}}}$

kie la indekso S trapasas ĉiujn 2ⁿ variantojn de subaro de aro {1, ..., n}.

Ekzemple por n=3:

${\displaystyle {\partial ^{3}(fg) \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}=}$

${\displaystyle =f\cdot {\partial ^{3}g \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial f \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}g \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial f \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}g \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial f \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}g \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}+}$

${\displaystyle +{\partial ^{2}f \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial g \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}f \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial g \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial g \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}f \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot g}$

Ĉi tio veras ankaŭ por matrico-valoraj funkcioj, tiam la ordo de multiplikatoj en ĉiu produto gravas.