Per difino de derivaĵo

${\displaystyle f'(x)=\lim _{w\to 0}{\frac {f(x+w)-f(x)}{w}}=\lim _{w\to 0}{\frac {{\frac {g(x+w)}{h(x+w)}}-{\frac {g(x)}{h(x)}}}{w}}}$

Oni eligu la 1/w kaj kombinu la frakciojn en la numeratoro:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{w\to 0}{\frac {1}{w}}\left({\frac {g(x+w)h(x)-g(x)h(x+w)}{h(x)h(x+w)}}\right)}$

Adiciante kaj subtrahante de g(x)h(x) en la numeratoro:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{w\to 0}{\frac {1}{w}}\left({\frac {(g(x+w)h(x)-g(x)h(x)-g(x)h(x+w)+g(x)h(x)}{h(x)h(x+w)}}\right)}$

Oni faktorigu ĉi tion kaj multipliku je la 1/w tra la numeratoro:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{w\to 0}{\frac {{\frac {g(x+w)-g(x)}{w}}h(x)-g(x){\frac {h(x+w)-h(x)}{w}}}{h(x)h(x+w)}}}$

Nun oni movu la limigon tra:

${\displaystyle f'(x)={\frac {\lim _{w\to 0}\left({\frac {g(x+w)-g(x)}{w}}\right)h(x)-g(x)\lim _{w\to 0}\left({\frac {h(x+w)-h(x)}{w}}\right)}{h(x)h(\lim _{w\to 0}(x+w))}}}$

Laŭ la difino, la limigoj en la numeratoro estas derivaĵoj, kaj do tiel:

${\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}$

Per regulo por derivaĵo de produto

Se

${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}$

do

g(x) = f(x)h(x)

kaj

g'(x)=f'(x)h(x) + f(x)h'(x)

De ĉi tie per algebraj transformoj eblas ricevi formulon por f'(x).

${\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)}}={\frac {g'(x)-{\frac {g(x)}{h(x)}}h'(x)}{h(x)}}=}$

${\displaystyle ={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^{2}}}}$

Ankaŭ eblas apliki la regulo por derivaĵo de produto rekte se 1/h(x) estas konsiderata kiel la dua multiplikato :

${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}=g(x){\frac {1}{h(x)}}}$

Kun tio ke ${\displaystyle ({\frac {1}{h(x)}})'={\frac {-1}{(h(x))^{2}}}\cdot h'(x)}$ rezultas

${\displaystyle f'(x)=g'(x)(h(x))^{-1}+g(x)(-(h(x))^{-2}h'(x))={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^{2}}}}$

Per tuteca derivaĵo

Funkcio ${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}$ povas esti konsiderata kiel funkcio de du variabloj g kaj h, ĉiu el kiuj en sia vico estas funkcio de x.

Ambaŭ partaj derivaĵoj de f je g kaj h povas esti trovitaj:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial g}}={\frac {1}{h}}}$

kie h estas konsiderata kiel konstanto; kaj

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial h}}=g\cdot {\frac {-1}{h^{2}}}}$

kie g estas konsiderata kiel konstanto.

Tiam

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial g}}g'(x)+{\frac {\partial f}{\partial h}}h'(x)=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{h(x)}}g'(x)+g(x){\frac {-1}{(h(x))^{2}}}h'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^{2}}}}$