Matematikaj funkcioj |
---|
fonta aro, cela aro • bildo, malbildo • bildaro, argumentaro |
Fundamentaj funkcioj |
Algebraj funkcioj: konstanta • lineara • kvadrata • polinoma • racionala • Transformo de Möbius Aliaj funkcioj: trigonometriaj • inversa trigonometria • hiperbola • eksponenta • logaritma • potenca |
Specialaj funkcioj |
erara • β • Γ • ζ • η • W de Lambert • de Bessel |
Nombroteoriaj funkcioj: |
τ • σ • de Möbius • φ • π • λ |
Ecoj: |
totaleco kaj parteco • pareco kaj malpareco • monotoneco • bariteco • periodeco • disĵeteco • surĵeteco • dissurĵeteco kontinueco • derivaĵeco • integralebleco |
Derivaĵo estas unu el la bazaj konceptoj de analitiko kaj infinitezima kalkulo, kune kun la integralo. La derivaĵo de funkcio ĉe iu punkto estas la angula koeficiento de la grafikaĵo de la funkcio ĉe tiu punkto.
Difino kaj notaciaj variaĵoj
En analitiko la derivaĵo de reela funkcio de reela variablo en la punkto estas difinita kiel la limeso de la inkrementa rilatumo konverĝanta al 0 de h, se ĝi ekzistas kaj estas finia.
Pli precize, funkcio difinita en ĉirkaŭaĵo estas derivebla en la punkto se ekzistas kaj estas finia la limeso:
La valoro de ĉi tiu limeso nomiĝas derivaĵo de la funkcio en la punkto . Se funkcio estas derivebla en ĉiu punkto de la intervalo , tiam oni diras, ke la funkcio estas derivebla en .
Ekzistas pluraj malsamaj simbolaj notacioj por derivaĵo de funkcio en punkto :
- Laŭ la notacio de Lagrange
- Laŭ la notacio de Cauchy
- Laŭ la notacio de Leibniz:
- La historie unua notacio estas ankoraŭ uzata en fiziko:
Maldekstra kaj dekstra derivaĵo
Nomiĝas maldekstra derivaĵo de f ĉe la punkto x0:
Nomiĝas dekstra derivaĵo de f ĉe la punkto x0:
Funkcio estas derivebla ĉe x0, se kaj nur se ekzistas la maldekstra kaj dekstra derivaĵoj, kiuj estas egalaj.
Teoremoj
Teoremo de Fermat
Estu:
- derivebla funkcio, do kontinua en , kie
- estas interna punkto al argumentaro de la funkcio f, kaj
- estas maksimumo aŭ minimumo de la funkcio f,
tiam la derivaĵo de la funkcio en estas nula, tio estas .
Teoremo de Rolle
Estu kontinua funkcio en kaj derivebla en . Se , tiam ekzistas almenaŭ unu punkto en la intervalo , kies derivaĵo nuliĝas.
Teoremo de Lagrange
Estu kontinua funkcio en kaj derivebla en . Ekzistas almenaŭ unu punkto en la intervalo , kies derivaĵo egalas al .
Teoremo de Cauchy
Estu kaj kontinuaj funkcioj en kaj deriveblaj en kaj , tiam ekzistas almenaŭ unu punkto en tia, ke:
Teoremo pri konstanta funkcio
Funkcio estas konstanta en iu intervalo , s.n.s. ĝi estas derivebla, kaj ĝia derivaĵo nulas en tia intervalo .
Tiu aserto estas konsekvenco de la difino de la derivaĵo, kaj apliko de la teoremo de Lagrange.
Vidu ankaŭ
- Derivado
- Diferencialo
- Derivaĵo de ne entjera ordo
- Formulo de Faà di Bruno
- Malderivaĵo
- Parta derivaĵo
- Simetria derivaĵo
|