En matematiko, binoma koeficiento aŭ duterma koeficiento aŭ simbolo de Newton ${\displaystyle {n \choose k}}$ (legu kiel "n inter k") estas funkcio de du argumentoj, malnegativaj entjeraj nombroj difinita kiel:

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$

kie n! signifas faktorialon.

Valoron de simbolo de Newton oni povas esprimi per rikura formulo:

${\displaystyle {n \choose k}={\begin{cases}1&{\mbox{ kie }}k=0{\mbox{ aŭ }}k=n\\{n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}&{\mbox{ kie }}0<k<n\end{cases}}}$

Ĝi estas homologa al difino, do oni povas uzi kiel alian difinon de binoma koeficiento.

Binoma koeficiento aperas en binomo de Newton kiel koeficiento en k-nomo de n-potenca disvolvo de binomo de Newton.

Simbolo de Newton ${\displaystyle {n \choose k}}$ estas kvanto de n-eraj subaroj en k-era aro.

Atributoj

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {\prod _{i=1}^{k}n-i+1}{\prod _{i=1}^{k}i}}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {n-i+1}{i}}}$

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{1\cdot 2\cdots k}}}$

${\displaystyle {n \choose 0}=1}$

${\displaystyle {n \choose k}={n \choose n-k}}$

${\displaystyle {n \choose 0}={n \choose n}=1}$

${\displaystyle {0 \choose 0}=1}$

${\displaystyle {n \choose k+1}={n \choose k}\cdot {\frac {n-k}{k+1}}}$

${\displaystyle {r \choose k}={\frac {r}{k}}{r-1 \choose k-1},k\neq 0}$

${\displaystyle (r-k){r \choose k}=r{r-1 \choose k}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\cdot {n \choose k}=0}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k{n \choose k}=n2^{n-1}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{r \choose m+k}{s \choose n-k}={r+s \choose m+n}}$

${\displaystyle {n \choose k}\leq {\frac {n^{k}}{k!}}}$

${\displaystyle {n \choose k}\leq \left({\frac {n\cdot e}{k}}\right)^{k}}$

${\displaystyle {n \choose k}\geq \left({\frac {n}{k}}\right)^{k}}$

Vidu ankaŭ

• Kombinaĵo (kombinatoriko)