En matematiko, apartigo de variabloj estas ĉiu el kelkaj manieroj de solvado de ordinaraj kaj partaj diferencialaj ekvacioj, en kiu algebro permesas reskribi la ekvaciojn tiel, ke ĉiu el du variabloj okazos en malsama flanko de la ekvacio.
Ordinaraj diferencialaj ekvacioj (ODE)
Supozu ke la diferenciala ekvacio povas esti skribita en la formo
kiun oni povas skribi pli simple per uzo de :
Oni povas reordigi la termojn por ricevi la jenon
se .
Integralante ambaŭ flankojn de la ekvacio je , oni ricevas la jenon
kiu estas ekvivalento de
pro la anstataŭa regulo por integraloj.
Se oni povas komputi la du integralojn, oni povas trovi solvaĵo de la diferenciala ekvacio. Rimarku ke ĉi tiu procezo fakte permesas trakti la derivaĵon kiel frakcio kiu povas esti apartigita. Ĉi tio permesas solvi apartigeblajn diferencialajn ekvacioj pli oportune, kio demonstracitas en la ekzemplo pli sube.
Notu ke, kiu oni ne bezonas uzi du konstantojn de integralado, en ekvacio (2) kiel en
ĉar la sola konstanto estas ekvivalento.
Ekzemplo
La ordinara diferenciala ekvacio
povas esti skribita kiel
Se oni estigu kaj , oni povas skribi la diferencialan ekvacion en la formo de ekvacio (1) pli supre. Tial, la diferenciala ekvacio estas apartigebla.
Per la pruvo pli supre, oni povas trakti kaj kiel apartaj valoroj, tiel ke ambaŭ flankoj de la ekvacio povas esti multiplikitaj per . Sekve dividante ambaŭ flankojn per , oni havas la jenon
Je ĉi tiu punkto oni havi apartigitajn la variablojn x kaj y unu de la alia, ĉar x aperas nur en la dekstra flanko de la ekvacio kaj y nur en la maldekstra.
Integralante ambaŭ flankojn, oni ricevas la jenon
kiu, tra partaj frakcioj, fariĝas
kaj tiam
kie C estas la konstanto de integralado. Iom de algebro donas solvaĵon por y:
Partaj diferencialaj ekvacioj (PDE)
Estu donita diferenciala ekvacio en partaj derivaĵoj de funkcio
de n variabloj.
Se la funkcio estas de formo
aŭ
ĉi tio traformigas la diferencialan ekvacion en partaj derivaĵoj en aron de ODE. Kutime, ĉiu sendependa variablo kreas apartigan konstanton, kiu ne povas esti difinita nur de la ekvacio mem.
Ekzemplo 1
Estu F(x, y, z) kaj jena PDE:
Ĉi tie
tial la ekvacio (1) reformiĝas al
(ĉar ).
Nun, ĉar X'(x) estas dependa nur de x kaj Y'(y) estas dependa nur de y kaj Z'(z) estas dependa nur de z ĉiu el la pertoj estas konstanto. Pli detale,
estas konstantoj c1, c2, c3 kontentigaj je:
(3) estas reale aro de tri ODE. En ĉi tiu okazo ili estas solveblaj per simpla integralado kiu donas la jenon
kie la integralada konstanto c4 estas difinita per komencaj kondiĉoj.
Ekzemplo (II)
Konsideri la diferenciala ekvacio
Unua ni (strebi, kandidati) solvaĵoj de la (formo, formi)
Plej solvaĵoj estas ne de (tiu, ke, kiu) (formo, formi), sed aliaj solvaĵoj estas (sumoj, sumas) de (ĝenerale malfinie multaj) solvaĵoj de (tiu, ke, kiu) (formo, formi).
Anstataŭiganta,
Dividi (rekte tra, entute) per X(x)
kaj tiam per Y(y)
Nun X′&primo;(x)/X(x) estas funkcio de x nur, kiel estas (Y′&primo;(y)+λY(y))/Y(y), (do, tiel) estas apartigo (konstantoj, konstantas) (do, tiel)
kiu (klivas, fendas, forkiĝas) supren enen ordinaraj diferencialaj ekvacioj
kaj
kiu ni povas solvi laŭe. Se la ekvacio kiel afektis originale estita randa valora problemo, unu devus uzi la donita rando (valoroj, valoras). Vidi (tiu, ke, kiu) artikolo por ekzemplo kiu uzas rando (valoroj, valoras).
Programaro
Referencoj
Bibliografio
- A. Don/Doña _Polyanin_ kaj V. F. _Zaitsev_, Gvidlibro de Akurataj Solvaĵoj por Ordinaraj Diferencialaj Ekvacioj, _Chapman_ & Koridoro/_CRC_ Premi, _Boca_ _Raton_, 2003 (2-a redakcio). ISBN 1-58488-297-2
- A. Don/Doña _Polyanin_, Gvidlibro de Linearaj Partaj Diferencialaj Ekvacioj por (Inĝenieroj, Inĝenieras) kaj (Sciencistoj, Sciencistas), _Chapman_ & Koridoro/_CRC_ Premi, _Boca_ _Raton_, 2002. ISBN 1-58488-299-9
Eksteraj ligoj
- Manieroj de Ĝeneraligis kaj (Funkcionalo, Funkcia) Apartigo de (Variabloj, Variablas) je _EqWorld_: La Mondo de Matematikaj Ekvacioj.