Figuro 1(a): La logaritma amplituda kaj faza frekvenca karakterizo por unua-orda (unu-polusa) alta-pasa filtrilo kaj la rekto-strekaj proksimumadoj; fazo varias de 90° je malaltaj frekvencoj (pro la kontribuo de la numeratoro, kiu estas tie 90°) al 0° je altaj frekvencoj (kie la faza kontribuo de la denominatoro estas -90° kaj neniigas la kontribuon de la numeratoro).

Figuro 1(b): La logaritma amplituda kaj faza frekvenca karakterizo por unua-orda (unu-polusa) malalta-pasa filtrilo kaj la rekto-strekaj proksimumadoj; fazo estas 90° sube de tio en la figuro 1(a) ĉar la faza kontribuo de la numeratoro estas 0° en ĉiuj frekvencoj.

Logaritma amplituda kaj faza frekvenca karakterizo aŭ grafikaĵo de Bode estas dependeco (kutime prezentita kiel grafikaĵo), konstruita surbaze de la tradona funkcio de tempo-invarianta lineara sistemo. La abscisa akso estas la logaritma frekvenca akso. La karakterizo estas kombinaĵo de logaritma amplitudo-frekvenca karakterizo (amplituda grafikaĵo de Bode), esprimanta la grandecon de la amplifo depende de la frekvenco, kaj fazo-frekvenca karakterizo (faza grafikaĵo de Bode), esprimanta la fazan ŝovon depende de la frekvenco.

Ekzemple signalo priskribita per A sin(ωt)=A sin(2πft) povas esti amplifita kaj ankaŭ faze ŝovita; se la sistemo amplifas ĝin per faktoro x kaj faze ŝovas per angulo Φ, la signalo el la sistemo estas Ax sin(ωt+Φ). Ambaŭ la amplifo x kaj la faza ŝovo Φ estas ĝenerale funkcioj de la frekvenco f.

La ordinata akso de la logaritma amplitudo-frekvenca karakterizo estas kutime esprimata kiel decibeloj de povumo, kio estas 20 fojoj de la logaritmo kun bazo 10 de la amplituda amplifo. Pro tio ke la amplifa akso estas logaritma, multipliko de amplifoj respektivas al adicio de distancoj sur la grafikaĵo (en decibeloj), pro tio ke log(ab) = log(a) + log(b).

Fazo-frekvenca karakterizo estas dependeco de fazo kontraŭ frekvenco, ankaŭ prezentita sur logaritma frekvenca akso, kutime uzata kune kun la amplitudo-frekvenca karakterizo, por pritaksi kiel signalo estas faze-ŝovita. Ankaŭ fazo povas ankaŭ adiciita rekte de la grafikaj valoroj.

En figuro 1(a), la logaritma amplituda kaj faza frekvencaj karakterizoj estas montritaj por la unu-polusa alta-pasa filtrilo kun tradona funkcio

${\displaystyle {T_{High}}(f)={\frac {jf/f_{1}}{1+jf/f_{1}}}}$

kie f estas la frekvenco en Hz, kaj f₁ estas la polusa pozicio en Hz, f₁ = 100 Hz en la figuro. Uzante la regulojn por kompleksaj nombroj, la grandeco de ĉi tiu funkcio estas

${\displaystyle |{T_{High}}(f)|={\frac {f/f_{1}}{\sqrt {1+(f/f_{1})^{2}}}}}$

kaj la fazo estas:

${\displaystyle \varphi _{T_{High}}=90^{\circ }-\tan ^{-1}(f/f_{1})}$

Sur la logaritma amplitudo-frekvenca karakterizo, decibeloj estas uzataj, kaj la grafike prezentita grandeco estas:

${\displaystyle 20\log _{10}(|{T_{High}}(f)|)=20\log _{10}\left({\frac {f/f_{1}}{\sqrt {1+(f/f_{1})^{2}}}}\right)}$

En figuro 1(b), la logaritma amplituda kaj faza frekvencaj karakterizoj estas montritaj por la unu-polusa malalta-pasa filtrilo kun tradona funkcio

${\displaystyle T_{Low}(f)={\frac {1}{1+jf/f_{1}}}}$

Ankaŭ montritaj en figuroj 1(a) kaj 1(b) estas la rekto-strekaj proksimumadoj al la logaritma amplituda kaj faza frekvencaj karakterizoj, kiuj estadas uzataj en permana analizo, ili estas priskribitaj pli sube.

La logaritma amplituda kaj faza frekvencaj karakterizoj povas malofte esti ŝanĝitaj sendepende unu de la alia. Ŝanĝo de la amplituda respondo de la sistemo plej verŝajne ŝanĝas la fazan karakterizon kaj reen. Por minimumo-faza sistemo la faza kaj amplituda karakterizoj povas esti ricevitaj unu de la alia per la hilberta konverto.

Se la tradona funkcio estas racionala funkcio kun reelaj polusoj kaj nuloj, do la logaritma amplituda kaj faza frekvenca karakterizo povas esti proksimumigita kun rektaj strekoj. Ĉi tia asimptota proksimumado estas nomata kiel rekto-streka logaritma amplituda kaj faza frekvenca karakterizo aŭ nekorektita logaritma amplituda kaj faza frekvenca karakterizo kaj estas utila ĉar ĝi povas esti desegnita permane sekvante kelkajn simplajn regulojn.

La proksimumado povas esti farita plu pli preciza per korektado de la valoro je ĉiu fortranĉa frekvenco. La frekvenca karakterizo estas tiam nomata kiel korektita logaritma amplituda kaj faza frekvenca karakterizo.

Reguloj por rekto-streka logaritma amplituda kaj faza frekvenca karakterizo

La premiso de la konstruado de logaritma amplituda kaj faza frekvenca karakterizo estas tio ke oni povas konsideri la logaritmon de funkcio de formo

${\displaystyle f(x)=A\prod (x+c_{n})^{a_{n}}}$

kiel sumo de la logaritmoj de ĝia multiplikatoj por apartaj polusoj kaj nuloj:

${\displaystyle \log(f(x))=\log(A)+\sum a_{n}\log(x+c_{n})}$

Ĉi tiu ideo estas uzata eksplicite en la maniero de desegnado de faza grafikaĵo. La maniero por desegnado de amplituda grafikaĵo implice uzas ĉi tiun ideon, sed pro tio ke la logaritmo de la amplitudo de ĉiu poluso aŭ nulo ĉiam startas je nulo kaj nur havas unu ŝanĝon inter du rektaj asimptotoj, la maniero povas esti plisimpligita.

Ununormigita frekvenca karakterizo

La horizontala frekvenca akso, en ambaŭ la amplituda kaj faza frekvencaj karakterizoj, povas esti anstataŭita per la akso de ununormigita (nedimensia) frekvenca rilatumo ${\displaystyle {\omega \over {\omega _{c}}}}$. En ĉi tia okazo la frekvenca karakterizo estas nomata kiel ununormigita kaj unuoj de la frekvencoj estas jam ne uzataj pro tio ke ĉiuj enigaj frekvencoj estas nun esprimitaj kiel obloj de la donita frekvenco (ofte la fortranĉa frekvenco) ω_c.

Karakterizoj en elementaj eroj

Ero	Tradona funkcio	Frekvencaj karakterizoj	Parametroj uzataj en la grafikaĵo
Proporcia (neinercia amplifo)	K		K = 100
Ideala integrilo	${\displaystyle {\frac {1}{s}}}$
Ideala diferencianta	s
Neperioda	${\displaystyle {\frac {1}{Ts+1}}}$		T = 0,01
Oscila	${\displaystyle {\frac {1}{T^{2}s^{2}+2\xi Ts+1}}}$		T = 0,01 ξ = 0,1
Nestabila neperioda (ne minumuma-faza)	${\displaystyle {\frac {1}{Ts-1}}}$		T = 0,01
Plifortiga ŝanĝojn	${\displaystyle \ Ts+1}$		T = 0,01
Plifortiga ŝanĝojn de dua ordo	${\displaystyle \ T^{2}s^{2}+2\xi Ts+1}$		T = 0,01 ξ = 0,1
Malfrua	e−Ts		T = 0,0001

Ekzemploj

Figuroj 2-5 ilustras konstruadon de logaritma amplituda kaj faza frekvencaj karakterizoj. Ĉi tiu ekzemplo estas kun ambaŭ poluso kaj nulo kaj montras kiel ilin komponi. Por komenci, la komponantoj estas prezentitaj aparte.

Figuro 2 montras la logaritman amplitudo-frekvencan karakterizon por nulo kaj malalta-pasa poluso, kaj komparas ilin kun la rekto-strekaj karakterizoj. La rekto-strekaj karakterizoj estas horizontalaj supren ĝis la poluso (nulo) kaj ekde tiam malpligrandiĝas (pligrandiĝas) je 20 dB por dekumo. Figuro 3 montras la samon por la fazo. La fazaj frekvencaj karakterizoj estas horizontalaj supren ĝis frekvenca dekoble pli sube de la poluso (nulo) kaj ekde tiam malpligrandiĝas (pligrandiĝas) je 45° por dekumo ĝis la frekvenco kiu estas dekoble pli alta ol la tiu de la poluso (nulo). La fazaj frekvencaj karakterizoj ekde tiam estas denove horizontaliĝas je pli altaj frekvencoj je fina, tuteca faza ŝanĝo de 90°.

Figuro 4 kaj figuro 5 montras kiel komponi (simple adicii) la apartajn frekvencajn karakterizojn de poluso kaj nula. La rekto-strekaj frekvencaj karakterizoj denove estas komparitaj kun la akurata frekvencaj karakterizoj. La nulo estas movita al pli alta frekvenco ol la poluso por fari pli interesan ekzemplon. En figuro 4 la 20 dB por dekuma malpligrandiĝo de la poluso estas neniigita per la 20 dB por dekuma pligrandiĝo de la nulo rezultanta en horizontala amplitudo-frekvenca karakterizo por frekvencoj pli supre de la nulo. En figuro 5 en la fazo-frekvenca karakterizo la rekto-streka proksimumado bele proksimumigas en la regiono kie ambaŭ poluso kaj nulo influas la fazon. Ankaŭ en figuro 5 la limigo de frekvencoj kie la fazo ŝanĝiĝas en la rekto-streka frekvenca karakterizo estas limigita al frekvenca faktoro de dekoble pli supre kaj pli sube de la poluso (nulo) situo. Kie la fazo de la poluso kaj la nulo ambaŭ influas, la rekto-streka fazo-frekvenca karakterizo estas horizontala ĉar la 45° por dekuma malpligrandiĝo de la poluso estas neniigita per la interkovranta 45° por dekuma pligrandiĝo de la nulo.

Figuro 2: amplitudo-frekvenca karakterizo por nulo kaj malalta-pasa poluso	Figuro 4: amplitudo-frekvenca karakterizo por poluso-nula kombinaĵo; la situo de la nulo estas je dek fojoj pli alta frekvenco ol en figuroj 2 kaj 3
Figuro 3: fazo-frekvenca karakterizo por nulo kaj malalta-pasa poluso	Figuro 5: fazo-frekvenca karakterizo por poluso-nula kombinaĵo; la situo de la nulo estas je dek fojoj pli alta frekvenco ol en figuroj 2 kaj 3

Amplifa marĝeno kaj faza marĝeno

Logaritma amplituda kaj faza frekvencaj karakterizoj estas uzataj por kontroli la stabilecon de sistemo (amplifilo) kun negativa retrokuplo per trovado de la amplifo marĝeno kaj faza marĝeno. La komprenaĵoj de amplifa kaj faza marĝenoj estas bazitaj sur la esprimo por amplifo de amplifilo kun negativa retrokuplo

${\displaystyle A_{f}={\frac {A_{m}}{1+\beta A_{m}}}}$

kie A_f estas la amplifo de la amplifilo kun retrokuplo (la fermita-cikla amplifo), β estas la retrokupla faktoro kaj A_m estas la amplifo sen retrokuplo (la malfermita-cikla amplifo). La amplifo A_m estas kompleksa funkcio de frekvenco, kun ambaŭ grandeco kaj fazo.

Kutime, se frekvenco pligrandiĝas la grandeco de la amplifo malpligrandiĝas kaj la fazo iĝas pli negativan, kvankam ĉi tio estas nur ĝeneralaj tendencoj kaj povas esti inversaj en apartaj frekvencaj limigoj. En okazo de nekutima konduto de amplifo, povas esti ke la konceptoj de amplifa kaj faza marĝenoj estas neaplikeblaj. Tiam aliaj manieroj, kiel ekzemple per la grafikaĵo de Nyquist, devas esti uzataj por kontroli la stabilecon.

La formulo por la amplifo kun retrokuplo montras ke la ebleco de malfinia amplifo (konsiderata kiel nestabla) estas se βA_m = -1. Ĉi tio estas ke la grandeco de βA_m egalas al 1 kaj ĝia fazo estas -180°. Logaritma amplituda kaj faza frekvencaj karakterizoj estas uzataj por difini kiel proksime la amplifilo venas al kontentigo de ĉi tiu kondiĉo.

Por konrolado de la stabileco, logaritma amplituda kaj faza frekvencaj karakterizoj de βA_m, do de disŝirita retrokulpa ciklo, devas esti konstruitaj.

Gravaj por la kontrolado de la stabileco estas du frekvencoj. La unua, markata ĉi tie kiel f₁₈₀, estas la frekvenco kie la malfermita-cikla amplifo ŝangas signon, aŭ alivorte la faza ŝovo trapasas 180 gradojn. La dua, markita ĉi tie kiel f_0dB, estas la frekvenco kie la grandeco de la amplifo en ciklo estas 1, kio estas |βA_m|=1 (en decibeloj, grandeco 1 estas 0 dB).

Unu mezuro de apudeco al estado nestabla estas la amplifa marĝeno. Per fazo-frekvenca karakterizo troviĝas la frekvenco f₁₈₀ kie la fazo atingas -180°. Por ĉi tiu frekvenco, de la logaritma amplitudo-frekvenca karakterizo troviĝas la grandeco de βA_m. Se |βA_m| |_f=f180 ≥ 1, la amplifilo estas malstabila. Se |βA_m| |_f=f180 < 1, nestableco ne okazas, kaj la apartigo en dB de la grandeco |βA_m| |_f=f180 de 1 estas nomata kiel la amplifa marĝeno. Ĉar grandeco de 1 estas 0 db, la amplifo marĝeno estas 20 log₁₀(|βA_m| |_f=f180).

Alia mezuro de apudeco al esti nestabla estas la faza marĝeno. Per logaritma amplitudo-frekvenca karakterizo troviĝas la frekvenco f_0d kie la amplifo atingas 1. Por ĉi tiu frekvenco, de la fazo-frekvenca karakterizo troviĝas la fazo de βA_m. Se la fazo de βA_m je f_0d estas malpli granda ol -180°, la amplifilo estas malstabila. Se la fazo de βA_m je f_0d estas pli ol granda -180°, nestableco ne okazas, kaj la apartigo de la fazo pli supre de -180° estas nomata kiel la faza marĝeno.

Kiel proksimuma regulo, bona respondo de amplifilo al ŝtupa funkcio en la enigo postulas fazan marĝenon de almenaŭ 45°, kaj ofte marĝeno de pli ol 70° estas konsiderata, aparte se komponiĝo de variadoj pro fabrikadaj toleremoj estas problemo.

Ĉi tiuj kriterioj estas sufiĉaj al difini stabilecon nur por amplifilo kontentiganta iujn limigojn pri pozicioj de ĝiaj polusoj kaj nuloj (minimuma faza sistemo). Kvankam ĉi tiuj limigoj kutime estas kontentigitaj, se ili ne estas la okazo, aliaj manieroj devas esti uzataj, kiel ekzemple per la grafikaĵo de Nyquist.

Ekzemploj de konsidero de stabileco

Figuroj 6 kaj 7 ilustras la konduton de amplifo de tri-polusa amplifilo, figuro 6 komparas la logaritmajn amplitudo-frekvencajn karakterizojn por la amplifo sen retrokuplo (la malfermita-cikla amplifo) A_m kun la amplifo kun retrokuplo A_f (la fermita-cikla amplifo).

En ĉi tiu ekzemplo, A_m = 100 dB je malaltaj frekvencoj, kaj 1 / β = 58 dB. Je malaltaj frekvencoj, A_f ≈ 58 dB.

La frekvenco f_0dB estas difinita per la kondiĉo |A_m| = 1 / β. La retrokupla amplifo je malaltaj frekvencoj kaj por granda A_m estas A_f ≈ 1 / β.

Proksime de ĉi tiu f_0dB, la kriterioj estas preskaŭ kontentigitaj en ĉi tiu ekzemplo, kaj la retrokupla amplifilo havas fortan akraĵon en amplifo (ĝi devus esti malfinio se estus β |A_m| = -1). Preter la frekvenco de unuobla amplifo f_0dB, la malfermita-cikla amplifo estas sufiĉe malgranda kaj do A_f ≈ A_m.

Figuro 7 montras la respektivajn fazajn karakterizojn. La fazo de la retrokupla amplifilo estas preskaŭ nulo antaŭ la frekvenco f₁₈₀ kie la malfermita-cikla amplifo havas fazon -180°. En ĉi tiu apudaĵo, la fazo de la retrokupla amplifilo plonĝas krute suben por iĝi preskaŭ la sama kiel la fazo de la malfermita-cikla amplifilo, ĉar, A_f ≈ A_m por malgranda A_m.

Komparante la markitajn punktojn en figuro 6 kaj figuro 7, videblas ke la frekvencoj f_0dB kaj f₁₈₀ estas preskaŭ egalaj en ĉi tiu amplifilo, f₁₈₀ ≈ f_0dB ≈ 3,332 kHz, kio signifas ke la amplifa marĝeno kaj faza marĝeno estas preskaŭ nulaj. La amplifilo estas apud rando de stabileco.

Figuroj 8 kaj 9 ilustras la amplifan kaj fazan marĝenojn por malsama kvanto de retrokuplo β. La retrokupla faktoro estas elektita pli malgranda ol en figuro 6 aŭ 7, movante la kondiĉon |βA_m| = 1 al pli suba frekvenco. En ĉi tiu ekzemplo, 1 / β = 77 dB, kaj je malaltaj frekvencoj A_f ≈ 77 dB same bone.

Figuro 8 montras la amplitudo-frekvencan karakterizon. De figuro 8, la intersekco de 1 / β kaj A_m okazas je f_0dB = 1 kHz. La akraĵo de la fermito-cikla amplifo A_f proksime de f_0dB preskaŭ forestas. (La kritika kvanto de retrokuplo ĉe kiu la akraĵo en la amplifo ĝuste plene malaperas estas la maksimume plata dizajno kiel en filtrilo de Butterworth.)

Figuro 9 montras la fazo-frekvencan karakterizon. Uzante la valoron f_0dB = 1 kHz trovitan de figuro 8, la malfermita-cikla fazo je f_0dB estas -135°, kaj do estas faza marĝeno 45° pli supre de -180°.

Uzante figuron 9, por fazo -180°, estas la valoro f₁₈₀ = 3,332 kHz (la sama rezulto kiel en figuro 7, ĉar ĝi ne dependas de β, ĝi estas propraĵo de la malfermito-cikla amplifo). La malfermita-cikla amplifo de figuro 8 je f₁₈₀ estas 58 dB, kaj 1 / β = 77 dB, do la amplifa marĝeno estas 19 dB.

Figuro 6: retrokupla amplifo |Af| en dB kaj respektiva malfermita-cikla amplifo |Am|. Parametro 1/β = 58 dB.	Figuro 8: retrokupla amplifo |Af| en dB kaj respektiva malfermita-cikla amplifo |Am|. Parametro 1/β = 77 dB.
Figuro 7: fazo de retrokupla amplifo Af en gradoj kaj respektiva fazo de malfermita-cikla amplifo Am. Parametro 1/β = 58 dB.	Figuro 9: fazo de retrokupla amplifo Af en gradoj kaj respektiva fazo de malfermita-cikla amplifo Am. Parametro 1/β = 77 dB.

Desegnilo de frekvencaj karakterizoj

Figuro 10: amplitudo-frekvenca karakterizo de 10-a orda filtrilo de Ĉebiŝev grafike prezentita per desegnilo de frekvencaj karakterizoj. La tradona funkcio estas difinita per polusoj kaj nuloj kiuj estas aldonitaj per klakado sur grafika diagramo.

La desegnilo de frekvencaj karakterizoj aŭ desegnilo de Bode estas elektronika instrumento simila al oscilografo, kiu produktas diagramon de frekvencaj karakterizoj, aŭ grafikaĵon de cirkvita elektra tensia amplifo aŭ faza ŝovo grafike prezentata kontraŭ frekvenco en retrokupla rega sistemo aŭ filtrilo. Ekzemplo de ĉi tio estas montrita en figuro 10. Ĝi estas ege utila por analizado kaj testado de filtriloj kaj de la stabileco de retrokuplaj regaj sistemoj, per la mezurado de fortranĉaj frekvencoj kaj amplifaj kaj fazaj marĝenoj.

Ĉi tio estas identa al la funkcio plenumata per vektora reta analizilo, sed la reta analizilo estas tipe uzata je multe pli altaj frekvencoj.

Rilatantaj grafikaĵoj

Grafikaĵo de Nyquist

Grafikaĵo de Nichols de la sama respondo

Du rilatantaj grafikaĵoj, kiuj montras la samajn datumojn en malsamaj koordinatsistemoj estas la grafikaĵo de Nyquist kaj la grafikaĵo de Nichols. Ĉi tiuj estas parametraj grafikaĵoj, kun frekvenco kiel la enigo. La grandeco de amplifo kaj faza ŝovo estas la eligoj. La grafikaĵo de Nyquist montras ĉi tiujn en polusaj koordinatoj, kun grandeca kiel la radiuso kaj fazo kiel la angulo. La grafikaĵo de Nichols montras ĉi tiujn en ortangulaj koordinatoj en la logaritma skalo.

Historio

Inter liaj kelkaj gravaj kontribuoj al cirkvita teorio kaj rega teorio, inĝeniero Hendrik Wade Bode (1905-1982), laborante en Bell Labs en Usono en la 1930-aj jaroj, ellaboris ĉi tiun manieron por grafikigi amplifon kaj fazan ŝovon.

Vidu ankaŭ

• Tradona funkcio
• Grafikaĵo de Nyquist
• Grafikaĵo de Nichols
• Retrokuplo
• Amplifo
• Fazo
• Frekvenco

Eksteraj ligiloj

• Detala ekspliko de logaritma amplituda kaj faza frekvencaj karakterizoj
• Ekspliko de logaritma amplituda kaj faza frekvencaj karakterizoj kun filmoj kaj ekzemploj Arkivigite je 2005-04-23 per la retarkivo Wayback Machine
• Kiel desegni popecajn asimptotajn frekvencajn karakterizojn
• Reguloj de desegnado Arkivigite je 2007-02-22 per la retarkivo Wayback Machine
• Grafika apleto - Akceptas koeficientoj de tradona funkcio kiel enigoj, kaj kalkulas grandecon de amplifo kaj fazan respondon
• Cirkvita analizo en elektrokemio Arkivigite je 2012-07-21 per la retarkivo Wayback Machine
• Operacia amplifila stabileco Arkivigite je 2012-02-13 per la retarkivo Wayback Machine inkluzivas iun enkondukon en frekvencajn karakterizojn