En matematiko, 4-sternaĵo estas 4-dimensia topologia sternaĵo. glata 4-sternaĵo estas 4-sternaĵo kun glata strukturo. En dimensio kvar, en kontrasto kun subaj dimensioj, topologia kaj glata sternaĵoj estas sufiĉe malsamaj. Ekzistas topologiaj 4-sternaĵoj kiuj ne havas glatan strukturon. Se ekzistas glata strukturo ĝi ne nepre estas unika, kio estas ke ekzistas glataj 4-sternaĵoj kiu estas homeomorfaj sed ne difeomorfaj.

Topologiaj 4-sternaĵoj

La homotopeca speco de simple koneksa kompakta 4-sternaĵo nur dependas sur la komunaĵo formo sur la meza dimensia homologeco. Fama teoremo de Michael Freedman diras ke la homeomorfa speco de la sternaĵo nur dependas de ĉi tiu komunaĵa formo, kaj sur Z/2Z invarianto nomata kiel la invarianto de Kirby-Siebenmann, kaj ankaŭ ke ĉiu kombinaĵo unumodula formo kaj invarianto de Kirby-Siebenmann povas esti, escepte de tiu kie formo estas para kaj la invarianto de Kirby-Siebenmann egalas al la subskribo/8 (mod 2).

Ekzemploj:

• En la speciala okazo kiam la formo estas 0, ĉi tio implicas la 4-dimensian konjekton de Poincare.
• Se la formo estas E₈, ĉi tiu donas la E8 sternaĵon, kiu estas sternaĵo ne homeomorfa al ĉiu simpleca komplekso.
• Se la formo estas Z, estas du sternaĵoj dependante de la invarianto de Kirby-Siebenmann:
  • Unu estas 2 dimensia kompleksa projekcia spaco.
  • La alia estas falsa projekcia spaco, kun la sama homotopeca speco sed ne homeomorfa kaj sen glata strukturo.
• Kiam la rango de formo estas pli granda ol proksimume 28, la kvanto de pozitivaj definitivaj unumodulaj formoj pligrandiĝas ege rapide kun la rango, tiel estas grandegaj kvantoj de respektivaj simple koneksaj topologiaj 4-sternaĵoj, plejparto el kiu aspektas al esti preskaŭ ne interesaj.

Klasifiko de Freedman povas esti etendita al iuj okazoj kiam la fundamenta grupo estas ne tro komplika; ekzemple, kiam ĝi estas Z estas simila klasifiko uzanta Hermitajn formojn super la grupa ringo de Z. Se la fundamenta grupo estas ankaŭ granda (ekzemple, libera grupo sur 2 generiloj) tiam la manieroj de Freedman ŝajne malsukcesas kaj tre malmulto estas sciata pri ĉi tiaj sternaĵoj.

Por ĉiu finie prezentita grupo estas facile al konstrui glatan kompaktan 4-sternaĵo kun ĝi kiel ĝia fundamenta grupo. Ĉar ne estas algoritmo por kontroli ĉu du finie prezentitaj grupoj estas izomorfiaj (eĉ se unu el ili estas bagatela) ne estas algoritmo por kontroli ĉu du 4-sternaĵoj havas la saman fundamentan grupon. Ĉi tio estas unu kaŭzo de tio ke multo de la laboro pri 4-sternaĵoj konsideras la simple koneksan okazon, la ĝenerala okazo de multaj problemoj estas jam sciata al esti tro malfacila.

Glataj 4-sternaĵoj

Por sternaĵoj de dimensio maksimume 6, ĉiu popeca lineara (PL) strukturo povas esti glatigita en esence unika vojo, tiel en aparta la teorio de 4-dimensiaj PL sternaĵoj estas multo la sama kiel en la teorio de 4-dimensiaj glataj sternaĵoj.

Grava malfermita problemo en la teorio de glataj 4-sternaĵoj estas klasifiki la simple koneksajn kompaktajn sternaĵojn. Pro ti ke la topologiaj 4-sternaĵoj estas sciataj, ĉi tio disdividiĝas en du partojn:

• Difini kiuj topologiaj sternaĵoj estas glatigeblaj (havas glatajn strukturojn).
• Klasifiki la malsamajn glatajn strukturojn sur glatigebla sternaĵo.

Estas preskaŭ plena respondo al la unua problemo pri tio kiuj simple koneksaj kompaktaj 4-sternaĵoj havas glatajn strukturojn. Unue, la invarianto de Kirby Siebenmann devas esti 0.

• Se la komunaĵa formo estas definitiva, teoremo de Donaldson donas plenan respondo: estas glata strukturo se kaj nur se la formo estas diagonaligebla.
• Se la formo estas nedifinita kaj nepara estas glata strukturo.
• Se la formo estas nedifinita kaj para oni povas preni ke ĝi estas de nepozitiva per ŝanĝo de la orientiĝoj se necesas, en ĉi tiu okazo ĝi estas izomorfia al sumo de m kopioj de II_1,1 kaj 2n kopioj de E₈(-1) por iuj m kaj n. Se m≥3n (la dimensio estas minimume 11/8 fojoj de la |subskribo|) tiam estas glata strukturo, donita per preno de sumo de n K3 surfacoj kaj m-3n produtoj de du projekciaj linioj. Se m≤2n>0 (la dimensio estas maksimume 10/8 fojoj de la |subskribo|) tiam, kiel Donaldson kaj Furuta pruvis, glata strukturo ne ekzistas. Ĉi tiu lasas malgrandan intervalon inter 10/8 kaj 11/8 kie la respondo estas plejparte nekonata. La plej malgranda ĉi tia nekovrita okazo estas de n=2 kaj m=5, sed ĉi tiu estas solvita tiel la plej malgranda krado por kiu la respondo estas ne nun sciata estas la krado II_7,55 de rango 62 kun n=3 kaj m=7. La "11/8 konjekto" ŝtatas ke glataj strukturoj ne ekzistas se la dimensio estas malpli granda ol 11/8 fojoj de la |subskribo|.

En kontrasto, tre malmulto estas sciata (kiel en 2006) pri la dua demando de klasifiko de glataj strukturoj sur glatigebla 4-sternaĵo. Por neniu glatigebla 4-sternaĵo la respondo estas sciata. Donaldson montris ke estas iuj simple koneksaj kompaktaj 4-sternaĵoj kun kalkulebla malfinia kvanto de malsamaj glataj strukturoj. Estas nekalkulebla kvanto de malsamaj glataj strukturoj sur R⁴ (vidu en ekzotika R⁴).

Fintushel kaj Stern montris kiel uzi kirurgion por konstrui grandajn kvantojn da malsamaj glataj strukturoj (indeksitaj per ajnaj integralaj polinomoj) sur multaj malsamaj sternaĵoj, uzante invariantojn Seiberg-Witten por montri ke la glataj strukturoj estas malsamaj. Iliaj rezultoj sugestas ke ĉiu klasifiko de simple koneksaj glataj 4-sternaĵoj estas tre komplika. Ne estas nun kredeblaj konjektoj pri tio kiel ĉi tiu klasifiko povus aspekti. Iuj fruaj konjektoj ke ĉiuj simple koneksaj glataj 4-sternaĵoj povus esti koneksaj sumoj de algebraj surfacoj, aŭ kunplektitaj sternaĵoj, eble kun dorsflankitaj orientiĝoj, estas malpruvitaj.

Specialaj fenomenoj en 4-dimensioj

Estas kelkaj fundamentaj teoremoj pri sternaĵoj kiuj povas esti pruvita per malalte dimensiaj manieroj en dimensioj maksimume 3, kaj per plene malsamaj alte dimensiaj manieroj en dimensioj minimume 5, sed kiu estas malveraj en dimensio 4.

• En dimensioj escepte 4, la invarianto de Kirby-Siebenmann provizas la barilon al la ekzisto de PL strukturo; en aliaj vorta kompakta topologia sternaĵo havas PL strukturon se kaj nur se ĝia invarianto de Kirby-Siebenmann en H⁴(M,Z/2Z) estas 0. En dimensio 3 kaj suba, ĉiu topologia sternaĵo havas esence unikan PL strukturon. En dimensio 4 estas multaj ekzemploj kun nula invarianto de Kirby-Siebenmann invarianto sed sen PL strukturo.

• En ĉiu dimensio escepte 4, kompakta topologia sternaĵo havas nur finian kvanton de esence malsamaj PL aŭ glataj strukturoj. En dimensio 4, kompaktaj sternaĵoj povas havi numereble malfinian kvanton de ne-glate izomorfiaj glataj strukturoj.

• 4 estas la nura dimensio n por kiu Rⁿ povas havi ekzotikan glatan strukturon. R⁴ havas nekalkuleblan kvanton de ekzotikaj glataj strukturoj, vidu en ekzotika R⁴.

• La solvaĵo de la glata konjekto de Poincaré estas sciata en ĉiuj dimensioj escepte de 4 (ĝi estas kutime malvera en dimensioj minimume 7, vidu en ekzotika sfero). La konjekto de Poincaré por PL sternaĵoj havas estas pruvita por ĉiuj dimensioj escepte de 4, sed ĝi ne estas sciate ĉu ĝi estas vera en 4 dimensioj (ĝi estas ekvivalento al la glata Konjekto de Poincaré en 4 dimensioj).

• La glata h-ena homologaĵa teoremo tenas por enaj homologaĵoj se nek la ena homologaĵo nek ĝia rando havas dimension 4. Ĝi povas malsukcesi se la rando de la ena homologaĵo havas dimension 4 (kiel estas montrite de Donaldson). Se la ena homologaĵa havas dimension 4, tiam estas nekonate ĉu la h-ena homologaĵa teoremo veras.

• Topologia sternaĵo de dimensio ne egala al 4 havas ansokorpan malkomponaĵon. sternaĵo de dimensio 4 havas ansokorpan malkomponaĵon se kaj nur se ĝi estas glatigebla.

• Estas kompaktaj topologiaj 4-sternaĵoj kiuj estas ne homeomorfa al ĉiu simpleca komplekso. En dimensio almenaŭ 5 la ekzisto de topologiaj sternaĵoj ne homeomorfa al simpleca komplekso estas malfermita problemo (kiel en 2007).

Vidu ankaŭ

• 1-sternaĵo
• 2-sternaĵo
• 3-sternaĵo
• 5-sternaĵo
• Algebra surfaco
• Klasifiko de Enriques-Kodaira
• Kalkulo de Kirby
• Anso de Casson
• Kvara dimensio

Eksteraj ligiloj

• R. C. Kirby, L. R. Taylor, A survey of 4-manifolds through the eyes of surgery - Katastro de 4-sternaĵoj tra la okuloj de kirurgio
• R. Mandelbaum, Four-dimensional topology: an introduction - Kvar-dimensia topologio: enkonduko