Zyklus (Funktionentheorie)

Unter einer Kette auf ${\displaystyle X:=\mathbb {C} }$ beziehungsweise auf einer riemannschen Fläche ${\displaystyle X}$ versteht man eine formale endliche ganzzahlige Linearkombination

${\displaystyle \Gamma$ :=\sum _{i=1}^{k}n_{i}\gamma _{i}\quad n_{i}\in \mathbb {Z} }

von stetigen Kurven ${\displaystyle \gamma _{i}\colon [0,1]\to X}$. Die Menge aller Ketten auf ${\displaystyle X}$, die auf natürliche Weise eine abelsche Gruppe bilden, wird mit ${\displaystyle C_{1}(X)}$ notiert.

Sei ${\displaystyle \omega }$ eine geschlossene komplexe (1,0)-Differentialform, dann ist das Integral über die Kette ${\displaystyle \Gamma }$ durch

${\displaystyle \int _{\Gamma }\omega$ :=\sum _{i=1}^{k}n_{i}\int _{\gamma _{i}}\omega }

definiert. Ist ${\displaystyle X}$ die komplexe Ebene ${\displaystyle \mathbb {C} }$, so ist das Kalkül der Differentialformen nicht notwendig. In diesem Fall gilt nämlich ${\displaystyle \omega =f(z)\mathrm {d} z}$, wobei ${\displaystyle f\colon D\subset \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ eine differenzierbare Funktion ist. Die Definition vereinfacht sich dann zu

${\displaystyle \int _{\Gamma }f(z)\mathrm {d} z:=\sum _{i=1}^{k}n_{i}\int _{\gamma _{i}}f(z)\mathrm {d} z}$.

Ein Zyklus ist eine Kette, bei der jeder Punkt ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ unter Berücksichtigung der Vielfachheit ${\displaystyle n_{i}}$ genauso oft als Anfangs- wie als Endpunkt der Kurven ${\displaystyle \gamma _{i}}$ auftritt.

Diese Definition kann man mit Hilfe der Divisorengruppe ${\displaystyle \operatorname {Div} (X)}$ umformulieren. Sei

${\displaystyle \partial \colon C_{1}(X)\to \operatorname {Div} (X)}$

eine Abbildung. Für eine Kurve ${\displaystyle c\colon [0,1]\to X}$ setzt man ${\displaystyle \partial c=0}$, falls ${\displaystyle c(0)=c(1)}$. Andernfalls ist ${\displaystyle \partial c}$ der Divisor, der den Wert +1 in ${\displaystyle c(1)}$, den Wert −1 in ${\displaystyle c(0)}$ und sonst den Wert 0 annimmt. Für eine Kette ${\displaystyle \Gamma }$ ist ${\displaystyle \partial }$ durch ${\displaystyle \textstyle \partial \Gamma$ :=\sum _{i=1}^{n}n_{i}\partial \gamma _{i}} definiert. Der Kern

${\displaystyle Z_{1}(X):=\operatorname {Kern} (\partial )}$

der Abbildung ${\displaystyle \partial }$ ist die Gruppe der Zyklen.

Die Spur ist die Vereinigung der Bilder der einzelnen Kurven, d. h.

${\displaystyle \operatorname {Spur} \,\Gamma$ :=\bigcup _{i=1}^{N}\operatorname {im} \,\gamma _{i}} .

Ist ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ eine Teilmenge, dann heißt ${\displaystyle \Gamma }$ ein Zyklus in ${\displaystyle D}$ genau dann, wenn die Spur ${\displaystyle \operatorname {Spur} \,\Gamma \subseteq D}$ in ${\displaystyle D}$ liegt.

Die Umlaufzahl wird analog zu der einer geschlossenen Kurve definiert, nur unter Verwendung des oben definierten Integrals, d. h. für ${\displaystyle z\not \in \operatorname {Spur} \,\Gamma }$ schreibt man

${\displaystyle \operatorname {ind} _{\Gamma }(z):={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma }{\frac {\mathrm {d} \zeta }{\zeta -z}}\in \mathbb {Z} }$.

Das Innere (Interior) eines Zyklus sind genau diejenigen Punkte, für die die Windungszahl nicht verschwindet:

${\displaystyle \operatorname {Int} \,\Gamma$ :=\{z\in \mathbb {C} \setminus \operatorname {Spur} \,\Gamma :\operatorname {ind} _{\Gamma }(z)\neq 0\}}

Analog dazu ist das Äußere (Exterior) genau die Menge der Punkte, für die die Windungszahl verschwindet:

${\displaystyle \operatorname {Ext} \,\Gamma$ :=\{z\in \mathbb {C} \setminus \operatorname {Spur} \,\Gamma :\operatorname {ind} _{\Gamma }(z)=0\}}

Ein Zyklus heißt nullhomolog in ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ genau dann, wenn das Innere ${\displaystyle \operatorname {Int} \,\Gamma }$ vollständig in ${\displaystyle D}$ liegt. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Windungszahl für alle Punkte aus ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus D}$ verschwindet.

Zwei Zyklen ${\displaystyle \Gamma _{1}}$, ${\displaystyle \Gamma _{2}}$ heißen homolog in ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ genau dann, wenn ihre formale Differenz ${\displaystyle \Gamma _{1}-\Gamma _{2}}$ nullhomolog in ${\displaystyle D}$ ist.