Zwanzigeck

Die Konstruktion im Bild 1 ist nahezu gleich der des Zehnecks bei gegebenem Umkreis.[1]

Es beginnt mit dem gegebenen Durchmessers ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ und dessen Halbierung im Mittelpunkt ${\displaystyle M.}$ Nach dem Ziehen des Umkreises um ${\displaystyle M}$ durch ${\displaystyle A}$ wird senkrecht zum Durchmesser ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ die Mittelachse eingezeichnet; Schnittpunkte sind die beiden ersten Eckpunkte ${\displaystyle E_{6}}$ und ${\displaystyle E_{16}}$ des entstehenden Zwanzigecks. Es folgt die Halbierung der Strecke ${\displaystyle {\overline {AM}}}$ in ${\displaystyle F}$, dabei ergeben sich die Schnittpunkte ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle D}$ auf dem Umkreis. Nun wird ein Kreisbogen um ${\displaystyle F}$ mit dem Radius ${\displaystyle |FE_{6}|}$ gezogen, bis er die Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ in ${\displaystyle G}$ schneidet. Die Strecke ${\displaystyle {\overline {AG}}}$ ist somit nach dem goldenen Schnitt mit äußerer Teilung geteilt. Noch einen kurzen Kreisbogen um ${\displaystyle E_{6}}$ mit dem Radius ${\displaystyle |E_{6}G|}$ der den Umkreis im Eckpunkt ${\displaystyle E_{2}}$ schneidet, anschließend die Verbindung des Eckpunktes ${\displaystyle E_{2}}$ mit dem Punkt ${\displaystyle B}$, jetzt auch zugleich ${\displaystyle E_{1},}$ dann ist die erste Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des Zwanzigecks konstruiert. Abschließend die Seitenlänge ${\displaystyle a}$ fünfzehn Mal gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis abtragen und die benachbarten Eckpunkte miteinander verbinden, das regelmäßige Zwanzigeck ist somit konstruiert.

Bild 1: Regelmäßiges Zwanzigeck bei gegebenem Umkreis

Bild 2: Alternative Konstruktion des regelmäßigen Zwanzigecks
Anzahl der Konstruktionsschritte nahezu gleich denen im Bild 1

Bild 3: Regelmäßiges Zwanzigeck bei gegebener Seitenlänge
Animation siehe

Die Konstruktion im Bild 3 ist nahezu gleich der des Zehnecks bei gegebener Seitenlänge. Die gepunkteten Linien sind für die Konstruktion nicht erforderlich, sie dienen lediglich zur Veranschaulichung der folgenden Beschreibung.

Zuerst werden die Enden der Seitenlänge ${\displaystyle a}$ mit den ersten Eckpunkten ${\displaystyle E_{1}}$ (rechts) und ${\displaystyle E_{20}}$ bezeichnet. Es folgt je ein Kreisbogen mit dem Radius ${\displaystyle a}$ um die Punkte ${\displaystyle E_{1}}$ und ${\displaystyle E_{20}}$; deren Schnittpunkte sind ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B.}$ Anschließend wird eine Halbgerade ab ${\displaystyle B}$ durch ${\displaystyle A}$ gezogen; sie halbiert die Seitenlänge ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle C.}$ Eine Senkrechte auf ${\displaystyle {\overline {E_{1}E_{20}}}}$ ab ${\displaystyle E_{1}}$ schließt sich an und erzeugt den Schnittpunkt ${\displaystyle D.}$ Verlängert man nun die Strecke ${\displaystyle {\overline {E_{20}E_{1}}}}$ über ${\displaystyle E_{1}}$ hinaus um ca. den gleichen Längenbetrag und schlägt danach einen Kreisbogen um ${\displaystyle C}$ mit dem Radius ${\displaystyle |E_{20}D|}$, wird der Schnittpunkt ${\displaystyle F}$ auf der Verlängerung erzeugt. Die Strecke ${\displaystyle {\overline {E_{20}F}}}$ ist somit nach dem goldenen Schnitt mit äußerer Teilung geteilt. Jetzt wird um ${\displaystyle E_{20}}$ ein Kreisbogen mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {E_{20}F}}}$ geschlagen, der die senkrechte Halbgerade in ${\displaystyle G}$ schneidet. In dem damit entstandenen gleichschenkligen Dreieck ${\displaystyle E_{20}E_{1}G}$ entspricht der Winkel am Winkelscheitel ${\displaystyle G}$ dem Zentriwinkel ${\displaystyle \mu '}$ eines regelmäßigen Zehnecks,

denn bei einer Seitenlänge ${\displaystyle a=1}$ gilt im rechtwinkligen Dreieck ${\displaystyle E_{20}CG}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\mu '}{2}}&={\frac {\frac {a}{2}}{{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}}}={\frac {a}{2\cdot \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)}}\end{aligned}}}$

mit eingesetzten Werten

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\mu '}{2}}&={\frac {\frac {1}{2}}{{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}}}\\\end{aligned}}}$

daraus folgt für Winkel ${\displaystyle {\frac {\mu '}{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mu '}{2}}&=\arcsin \left({\frac {\frac {1}{2}}{{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}}}\right)=18^{\circ }\end{aligned}}}$

somit ist der Winkel ${\displaystyle \mu '=36^{\circ }}$ und damit gleich dem Zentriwinkel des Zehnecks.

Es geht weiter mit dem Kreisbogen um den Punkt ${\displaystyle G}$ mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {E_{20}G}}}$, der die Halbgerade, die ab ${\displaystyle B}$ durch ${\displaystyle A}$ verläuft, in ${\displaystyle O}$ und in ${\displaystyle H}$ schneidet. Wegen ${\displaystyle {\overline {E_{20}G}}={\overline {GO}}={\overline {GH}}}$ ist nach dem Zentriwinkelsatz der Winkel ${\displaystyle \mu }$ am Winkelscheitel ${\displaystyle O}$ halb so groß, als der Zentriwinkel ${\displaystyle \mu '}$ des Zehnecks. Aufgrund dessen ist ${\displaystyle O}$ der Mittelpunkt des gesuchten Zwanzigecks mit dessen Zentriwinkel ${\displaystyle 18^{\circ }.}$ Jetzt nur noch den Umkreis um den Mittelpunkt ${\displaystyle O}$ ziehen, die Seitenlänge ${\displaystyle a}$ sechzehn Mal gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis abtragen und die benachbarten Eckpunkte miteinander verbinden, danach ist das regelmäßige Zwanzigeck konstruiert.