Zwölfeck

Das Zwölfeck ist darstellbar als:

• konkaves Zwölfeck, in dem mindestens ein Innenwinkel größer als 180° ist. Ein Zwölfeck kann höchstens sechs solche Winkel haben. Ein konkaves Zwölfeck kann regelmäßig oder unregelmäßig sein.
• konvexes Zwölfeck, in dem alle Innenwinkel kleiner als 180° sind. Ein konvexes Zwölfeck kann regelmäßig oder unregelmäßig sein.
• Sehnenzwölfeck, in dem alle Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen, aber die Seitenlängen (Sehnen) möglicherweise ungleich sind.
• regelmäßiges Zwölfeck, es ist bestimmt durch zwölf Punkte auf einem Umkreis. Die benachbarten Punkte haben zueinander stets den gleichen Abstand und sind mittels aneinandergereihten Seiten oder Kanten genannt, verbunden.
• regelmäßiges überschlagenes Zwölfeck, es ergibt sich, wenn beim Verbinden der zwölf Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen ${\displaystyle \left\{n/k\right\}}$, wobei ${\displaystyle n}$ die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder ${\displaystyle k}$-te Punkt verbunden wird.

Es gibt nur einen regelmäßigen Zwölfstrahlstern, auch Dodekagramm genannt.

Die „Sterne“ mit den Symbolen {12/2} und {12/10} sind regelmäßige Sechsecke, {12/3} und {12/9} Quadrate sowie {12/4} und {12/8} gleichseitige Dreiecke.

• Beispiele für gleichseitige und unregelmäßige konkave Zwölfecke
• 
  gleichseitig
• 
  gleichseitig
• 
  unregelmäßig
• 
  unregelmäßig

• Regelmäßiger Zwölfstrahlstern
• 
  ${\displaystyle \left\{12/5\right\}{,}\ \left\{12/7\right\}}$

Bei einem regelmäßigen Zwölfeck sind alle Seiten gleich lang und alle Eckpunkte liegen auf einem gemeinsamen Umkreis.

Formeln

Mathematische Formeln zum regelmäßigen Zwölfeck
Flächeninhalt	${\displaystyle A=(6+3\cdot {\sqrt {3}})\cdot a^{2}\approx 11{,}196\cdot a^{2}}$
	${\displaystyle A=(24-12\cdot {\sqrt {3}})\cdot r_{i}^{2}\approx 3{,}215\cdot r_{i}^{2}}$
	${\displaystyle A=3\cdot r_{u}^{2}}$
Länge der Diagonalen	${\displaystyle d_{2}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{2}}\cdot a\approx 1{,}932\cdot a}$
	${\displaystyle d_{3}=(1+{\sqrt {3}})\cdot a\approx 2{,}732\cdot a}$
	${\displaystyle d_{4}={\frac {{\sqrt {6}}+3\cdot {\sqrt {2}}}{2}}\cdot a\approx 3{,}346\cdot a}$
	${\displaystyle d_{5}=2\cdot r_{i}=(2+{\sqrt {3}})\cdot a\approx 3{,}732\cdot a}$
	${\displaystyle d=2\cdot r_{u}=({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})\cdot a\approx 3{,}864\cdot a}$
Inkreisradius	${\displaystyle r_{i}={\frac {2+{\sqrt {3}}}{2}}\cdot a\approx 1{,}866\cdot a}$
Umkreisradius	${\displaystyle r_{u}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{2}}\cdot a\approx 1{,}932\cdot a}$
Zentriwinkel	${\displaystyle \alpha ={\frac {360^{\circ }}{12}}=30^{\circ }}$
Innenwinkel	${\displaystyle \delta =180^{\circ }-\alpha =150^{\circ }}$

Konstruktion

Ein regelmäßiges Zwölfeck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar:

Konstruktion eines regelmäßigen Zwölfecks bei gegebenem Umkreis, Eckpunkte in 8 Schritten, Umkreis und Kreisbögen mit gleicher Zirkelöffnung.

Konstruktion eines regelmäßigen Zwölfecks bei gegebener Seitenlänge, Animation (Die Konstruktion ist sehr ähnlich der vom Achteck bei gegebener Seitenlänge.)

Threepence von 1942, Rückseite

Es gibt eine Vielzahl zwölfeckiger Münzen, z. B. das britische Threepence von 1942, die ehemalige 3–Pence–Münze aus Nigeria und die australische 50-cent-Münze, die 50-¢(= Seniti)-Münze von Tonga, sowie spezielle Sammlermünzen wie z. B. die spanische 300–Euro–Münze.

Vera-Cruz-Kirche in Segovia

Beispiele für Gebäude mit Zwölfeckstruktur sind:

Molekülmodell von Cyclododecan

Molekülmodell von Phenalen

Das Molekülmodell von Cyclododecan ist nur in der Draufsicht zwölfeckig. Aus der dreidimensionalen Gestalt dieses Moleküls ergibt sich, dass die Kohlenstoffatome nicht alle in einer Ebene liegen. Außerdem befindet sich das Molekül bei höherer Temperatur in ständiger Bewegung, nämlich in Pseudorotation, d. h., es existieren eine Vielzahl von Konformationen.

Ein gleichseitiges konkaves Zwölfeck wird vom Phenalen, einem polycyclischen aromatischen Kohlenwasserstoff, gebildet.

Commons: Zwölfecke – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Zwölfeck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Eric W. Weisstein: Dodecagon. In: MathWorld (englisch).

1. Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 161
2. Ross Honsberger: Mathematical Gems III, Mathematical Association of America, Washington 1985, S. 31
3. Martin Gardner: Mathematische Knobeleien, Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1984, ISBN 978-3-528-28321-6, Seite 44
4. Harry Lindgren: Geometric Dissections - Mathematics for everyday living series, Verlag Van Nostrand, 1964