Zusammenhang (Prinzipalbündel)

Sei ${\displaystyle \pi \colon P\rightarrow M}$ ein Prinzipalbündel mit der Strukturgruppe ${\displaystyle G}$. Die Gruppe wirke durch

${\displaystyle R\colon P\times G\rightarrow P}$.

Ferner bezeichne ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ die Lie-Algebra der Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$.

Ein Zusammenhang ist dann eine ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-wertige 1-Form ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})}$, die ${\displaystyle G}$-äquivariant ist und deren Einschränkung auf die Fasern mit der Maurer-Cartan-Form übereinstimmt. Es sollen also die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sein:

${\displaystyle D(R_{g})\omega =\operatorname {Ad} (g^{-1})(\omega )}$ für alle ${\displaystyle g\in G}$

und

${\displaystyle \omega (X^{\sharp })=X}$ für alle ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$.

Hierbei ist ${\displaystyle R_{g}\colon P\to P}$ definiert durch ${\displaystyle R_{g}(p)=R(p,g)}$. ${\displaystyle D(R_{g})}$ bezeichnet das Differential von ${\displaystyle R_{g}}$. ${\displaystyle \operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}})}$ ist die adjungierte Wirkung und ${\displaystyle X^{\sharp }}$ ist das sogenannte fundamentale Vektorfeld. Es wird durch

${\displaystyle X^{\sharp }(p):=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}R_{\exp(tX)}(p)}$ für ${\displaystyle p\in P}$

auf ${\displaystyle P}$ definiert.

Die Krümmung einer Zusammenhangsform ist definiert durch

${\displaystyle \Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ].}$

Hierbei ist der Kommutator Lie-Algebra-wertiger Differentialformen durch

${\displaystyle [\omega \wedge \eta ](v_{1},v_{2})=[\omega (v_{1}),\eta (v_{2})]-[\omega (v_{2}),\eta (v_{1})]}$

und die äußere Ableitung ${\displaystyle d\omega }$ durch

${\displaystyle d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y])}$

definiert.

Die Krümmungsform ist ${\displaystyle G}$-invariant und definiert deshalb eine 2-Form ${\displaystyle \Omega \in \Omega ^{2}(M,{\mathfrak {g}})}$ auf ${\displaystyle M}$.

Für eine Zusammenhangsform ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})}$ auf einem ${\displaystyle G}$-Prinzipalbündel ${\displaystyle \pi :P\rightarrow M}$ sind die horizontalen Unterräume ${\displaystyle H_{p},p\in P}$ definiert durch

${\displaystyle H_{p}:=\ker(\omega :T_{p}P\rightarrow {\mathfrak {g}})}$.

Die horizontalen Unterräume sind transversal zu den Tangentialräumen der Fasern von ${\displaystyle \pi }$, und sie sind ${\displaystyle G}$-invariant, d. h. ${\displaystyle H_{gp}=DR_{g}(H_{p})}$ für alle ${\displaystyle g\in G,p\in P}$.

Aus den horizontalen Unterräumen kann man die Zusammenhangsform zurückgewinnen (nach Identifikation des Tangentialraums der Faser mit ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$) durch Projektion von ${\displaystyle T_{p}P}$ entlang ${\displaystyle H_{p}}$ auf den Tangentialraum der Faser.

Zu jedem Weg ${\displaystyle \gamma$ :\left[0,1\right]\rightarrow M} und jedem ${\displaystyle x\in \pi ^{-1}(\gamma (0))}$ gibt es einen Weg ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}:\left[0,1\right]\rightarrow P}$ mit ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{x}(0)=x}$ und ${\displaystyle \pi ({\tilde {\gamma }}_{x})=\gamma }$. (Das folgt aus dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen.)

Insbesondere hat man zu jedem Weg ${\displaystyle \gamma$ :\left[0,1\right]\rightarrow M} eine durch

${\displaystyle P_{\gamma }(x)={\tilde {\gamma }}_{x}(1)}$

definierte Abbildung

${\displaystyle P_{\gamma }:\pi ^{-1}(\gamma (0))\rightarrow \pi ^{-1}(\gamma (1))}$,

den sogenannten Paralleltransport entlang des Weges ${\displaystyle \gamma }$.

Zu einem Punkt ${\displaystyle b\in B}$ definiert man die Holonomiegruppe als Untergruppe der Diffeomorphismen der Faser ${\displaystyle F_{b}:=\pi ^{-1}(b)}$ wie folgt. Zu einem geschlossenen Weg ${\displaystyle \gamma$ :\left[0,1\right]\rightarrow B} mit ${\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)=b}$ und einem ${\displaystyle x\in F_{b}}$ gibt es eine eindeutige Hochhebung ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ mit ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)=x}$ und wir definieren ${\displaystyle f_{\gamma }(x):={\tilde {\gamma }}(1)}$. Die Gruppe der ${\displaystyle f_{\gamma }}$ für alle ${\displaystyle \gamma }$ ist die Holonomiegruppe.

Für eine riemannsche Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ ist das Rahmenbündel ein Prinzipalbündel mit der linearen Gruppe ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$.

Sei ${\displaystyle A}$ die Matrix, die mit Hilfe einer lokalen Basis durch

${\displaystyle A(v)=\nabla _{X}v}$

definiert wird, wobei ${\displaystyle \nabla }$ der Levi-Civita-Zusammenhang ist, so wird durch

${\displaystyle \theta (X):=A}$

die riemannsche Zusammenhangform definiert. Es gilt

${\displaystyle \theta \in \Omega ^{1}(M,{\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} ))}$.

Seien ${\displaystyle (x_{i})_{i}}$ lokale Koordinaten in einer Umgebung von ${\displaystyle p\in M}$ und ${\displaystyle (\omega _{i})_{i}}$ die kanonischen 1-Formen des Rahmenbündels, dann hängt die Krümmungsform des Levi-Civita-Zusammenhangs mit dem Riemannschen Krümmungstensor über die Gleichung ${\displaystyle \Omega _{ij}={\frac {1}{2}}\sum _{kl}R_{ijkl}\omega _{k}\wedge \omega _{l}}$ zusammen.

• David Bleecker (1981). Gauge Theory and Variational Principles. Addison-Wesley Publishing. ISBN 0-486-44546-1 (Dover edition).
• Shlomo Sternberg: Curvature in Mathematics and Physics. Dover, Mineola 2012, ISBN 0-486-47855-6.

• Manifold Atlas