Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)

Gegeben sei die Ergebnismenge

${\displaystyle \Omega =\{1,2,3\}}$,

versehen mit dem Ereignissystem

${\displaystyle \Sigma$ :=\{\Omega ,\emptyset ,\{1\},\{2,3\}\}} .

Dann sind zum Beispiel die Mengen ${\displaystyle \{1\}}$ und die Mengen ${\displaystyle \{2,3\}}$ Ereignisse, da sie im Ereignissystem enthalten sind. Die Menge ${\displaystyle \{2\}}$ ist kein Ereignis. Sie ist zwar eine Teilmenge der Ergebnismenge, aber nicht im Ereignissystem enthalten. Da das Ereignissystem eine σ-Algebra ist, sind die Ergebnismenge ${\displaystyle \Omega }$ und die leere Menge ${\displaystyle \emptyset }$ immer Ereignisse.

Für beliebige diskrete Ergebnismengen ${\displaystyle \Omega }$, also solche mit höchstens abzählbar unendlich vielen Elementen, setzt man meist die Potenzmenge ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )}$ als Ereignissystem. Dann ist jede Teilmenge der Ergebnismenge ein Ereignis, da die Potenzmenge genau die Menge aller Teilmengen ist.

Für reelle Ergebnismengen setzt man meist die Borelsche σ-Algebra als Ereignissystem. Hier sind dann zum Beispiel alle offenen Intervalle, also Mengen der Form ${\displaystyle (a,b)}$ mit ${\displaystyle a<b}$, Ereignisse. Tatsächlich sind diese Mengensysteme so groß, dass fast alles, was man sinnvoll definieren kann, ein Ereignis ist. Dennoch gibt es Mengen, die – bezogen auf die Borelsche σ-Algebra als Ereignissystem – keine Ereignisse sind, wie zum Beispiel die Vitali-Mengen.

Falls ein Ereignis ${\displaystyle A}$ eine Teilmenge eines weiteren Ereignisses ${\displaystyle B}$ ist (notiert als ${\displaystyle A\subseteq B}$), dann tritt mit dem Ereignis ${\displaystyle A}$ stets auch das Ereignis ${\displaystyle B}$ ein. Man sagt dann auch: Das Ereignis ${\displaystyle A}$ zieht das Ereignis ${\displaystyle B}$ nach sich. Für die Wahrscheinlichkeiten gilt in diesem Fall ${\displaystyle P(A)\leq P(B)}$. Das heißt: Zieht das Ereignis ${\displaystyle A}$ das Ereignis ${\displaystyle B}$ nach sich, dann ist die Wahrscheinlichkeit von ${\displaystyle B}$ mindestens so groß wie die von ${\displaystyle A}$.

Es gilt ${\displaystyle A=B}$ genau dann, wenn ${\displaystyle A\subseteq B}$ und ${\displaystyle B\subseteq A}$ gilt. Gleichheit von Ereignissen bedeutet also, dass das Ereignis ${\displaystyle A}$ das Ereignis ${\displaystyle B}$ in gleicher Weise nach sich zieht wie das Ereignis ${\displaystyle B}$ das Ereignis ${\displaystyle A}$.

Die Schnittmenge ${\displaystyle A\cap B}$ zweier Ereignisse ist wieder ein Ereignis. Es tritt genau dann ein, wenn ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ beide eintreten.

Wenn ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$ gilt, also das gemeinsame Eintreten von ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ unmöglich ist, dann sagt man, die zwei Ereignisse schließen einander aus. Die Ereignisse ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ werden dann auch disjunkt oder unvereinbar genannt.

Sind allgemeiner ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ Ereignisse, dann ist der Schnitt

${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}}$

das Ereignis, das genau dann eintritt, wenn alle ${\displaystyle A_{n}}$ eintreten. Die Ereignisse heißen paarweise disjunkt, wenn ${\displaystyle A_{m}\cap A_{n}=\emptyset }$ für alle ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle m\neq n}$ gilt.

Auch die Vereinigungsmenge ${\displaystyle A\cup B}$ zweier Ereignisse ist wieder ein Ereignis. Es tritt genau dann ein, wenn entweder ${\displaystyle A}$ oder ${\displaystyle B}$ oder beide Ereignisse eintreten. Anders ausgedrückt: ${\displaystyle A\cup B}$ tritt ein, wenn mindestens eines der beiden Ereignisse ${\displaystyle A}$ oder ${\displaystyle B}$ eintritt.

Für die Wahrscheinlichkeit von Schnitt- und Vereinigungsmenge gilt stets die Formel

${\displaystyle P(A\cap B)+P(A\cup B)=P(A)+P(B)\,.}$

Speziell ist im Falle disjunkter Ereignisse ${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)}$.

Sind allgemeiner ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ Ereignisse, dann ist die Vereinigung

${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$

das Ereignis, das genau dann eintritt, wenn mindestens eines der ${\displaystyle A_{n}}$ eintritt.

Es gilt stets die sogenannte σ-Subadditivität

${\displaystyle P\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\leq \sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n})\,.}$

Im Falle paarweise disjunkter Ereignisse gilt hierbei Gleichheit.

Für die Wahrscheinlichkeit von beliebigen Vereinigungen endlich vieler Ereignisse gilt die Siebformel.

Das komplementäre Ereignis ${\displaystyle \Omega \setminus A}$ tritt genau dann ein, wenn das Ereignis ${\displaystyle A}$ nicht eintritt. Es wird auch Gegenereignis genannt und mit ${\displaystyle {\overline {A}}}$ (alternativ auch mit ${\displaystyle A^{\mathsf {c}}}$) bezeichnet. Seine Wahrscheinlichkeit ist

${\displaystyle P({\overline {A}})=1-P(A)\,.}$

Für die Komplemente von Schnitt- und Vereinigungsmengen gelten die de Morganschen Formeln

${\displaystyle {\overline {\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}}}=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\overline {A_{n}}}\,,}$

${\displaystyle {\overline {\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }{\overline {A_{n}}}\,.}$

Speziell für zwei Ereignisse gilt ${\displaystyle {\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$ sowie ${\displaystyle {\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}}$.

Die Differenzmenge ${\displaystyle A\setminus B}$ ist das Ereignis, das genau dann eintritt, wenn das Ereignis ${\displaystyle A}$, aber nicht gleichzeitig das Ereignis ${\displaystyle B}$ eintritt. Es gilt

${\displaystyle A\setminus B=A\cap {\overline {B}}\,.}$

Für seine Wahrscheinlichkeit gilt ${\displaystyle P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)}$. Im Spezialfall ${\displaystyle B\subseteq A}$ folgt ${\displaystyle P(A\setminus B)=P(A)-P(B)}$.

Eine weitere Mengenoperation ist die symmetrische Differenz

${\displaystyle A\bigtriangleup B=\left(A\setminus B\right)\cup \left(B\setminus A\right)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)}$

zweier Ereignisse ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$. Das Ereignis ${\displaystyle A\bigtriangleup B}$ tritt genau dann ein, wenn entweder ${\displaystyle A}$ oder ${\displaystyle B}$ eintritt (aber nicht beide), also wenn genau eines der beiden Ereignisse eintritt. Es gilt

${\displaystyle P(A\bigtriangleup B)=P(A)+P(B)-2P(A\cap B)\,.}$

Mitunter werden die einelementigen Ereignisse ${\displaystyle \{\omega \}\subseteq \Omega }$ auch als Elementarereignisse bezeichnet.[1] Ist ${\displaystyle \Omega }$ höchstens abzählbar, dann lässt sich durch Festlegen der Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle p(\omega ):=P(\{\omega \})}$ aller Elementarereignisse mit Hilfe von

${\displaystyle P(A)=\sum _{\omega \in A}p(\omega )}$

die Wahrscheinlichkeit aller Ereignisse ${\displaystyle A\subseteq \Omega }$ bestimmen. Hierbei müssen die ${\displaystyle p(\omega )}$ so gewählt sein, dass ${\displaystyle 0\leq p(\omega )\leq 1}$ sowie

${\displaystyle \sum _{\omega \in \Omega }p(\omega )=1}$

gilt.

Es ist allerdings zu beachten, dass mitunter in der Literatur die Ergebnisse ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ selbst Elementarereignisse genannt werden. Diese sind dann jedoch keine Ereignisse, denn es handelt sich nicht um Teilmengen von ${\displaystyle \Omega }$.

Weiterhin muss für ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ die einelementige Menge ${\displaystyle \{\omega \}}$ nicht unbedingt im Ereignisraum ${\displaystyle \Sigma }$ liegen. Sie ist dann kein Ereignis.

Ein Ereignis ${\displaystyle A}$ heißt fast sicher, falls ${\displaystyle P(A)=1}$ gilt.[2]

Ein Ereignis ${\displaystyle A}$ heißt fast unmöglich, falls ${\displaystyle P(A)=0}$ gilt.[2]

Bezogen auf ein System von Ereignissen ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ heißt ein Ereignis ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ atomares Ereignis, wenn es keine zwei Ereignisse ${\displaystyle E_{1},E_{2}\in {\mathcal {A}}}$ mit ${\displaystyle A=E_{1}\cup E_{2}}$, ${\displaystyle A\neq E_{1}}$, ${\displaystyle A\neq E_{2}}$ gibt.[2]

• Jedes Elementarereignis, das in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ enthalten ist, ist ein atomares Ereignis.
• Nicht jedes atomare Ereignis ist ein Elementarereignis. Beispielsweise sind in der Ereignisalgebra

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{\emptyset ,\{1\},\{2,3\}\{1,2,3\}\}}$

die Ereignisse ${\displaystyle \{1\}}$ und ${\displaystyle \{2,3\}}$ atomare Ereignisse, aber nur ${\displaystyle \{1\}}$ ist auch ein Elementarereignis.

Ein Ereignis ${\displaystyle A\in \Sigma }$ heißt Atom des Wahrscheinlichkeitsraums ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$, falls ${\displaystyle P(A)>0}$ gilt und falls für jedes Ereignis ${\displaystyle B\in \Sigma }$ mit ${\displaystyle B\subset A}$ entweder ${\displaystyle P(B)=0}$ oder ${\displaystyle P(A)=P(B)}$ gilt. Ein Wahrscheinlichkeitsraum heißt atomlos, wenn kein Ereignis ein Atom ist.[3]

Atomlose Wahrscheinlichkeitsräume sind von Interesse, da sie reelle Zufallsvariablen mit stetiger Verteilungsfunktion zulassen.[4] Insbesondere existiert eine Zufallsvariable mit einer stetigen Gleichverteilung auf dem Intervall ${\displaystyle (0,1)}$.[5]