Zinscap und Zinsfloor

Überschreitet der beobachtete Geldmarktsatz die Caprate, so zahlt der Cap am Datum der Zahlung das Produkt aus Nominalwert und Differenz zwischen Geldmarktsatz und Caprate. Umgekehrt zahlt ein Floor das Produkt aus Nominalwert und Differenz zwischen Floorrate und Geldmarktsatz. In beiden Fällen bezogen auf die Tage der Periode als Bruchteil des Jahres, da der Zinssatz ja einen p. a.-Zins darstellt.

• Auszahlungsfunktion Cap: ${\displaystyle P^{\text{cap}}=N\cdot \alpha \cdot \max(r^{\text{fixing}}-r^{\text{cap}},0)}$
• Auszahlungsfunktion Floor: ${\displaystyle P^{\text{floor}}=N\cdot \alpha \cdot \max(r^{\text{floor}}-r^{\text{fixing}},0)}$

Diese Variante ist in dem Artikel Chooser Option näher beschrieben. Hier wirkt der Cap bzw. der Floor nur über eine begrenzte Anzahl der vorhandenen Perioden, die sich der Käufer aussuchen kann.

Diese Ausprägung unterscheidet sich von der Plain-Vanilla-Ausprägung dadurch, dass das Datum des Fixings nicht ein bis zwei Bankarbeitstage vor Beginn, sondern vor Ende der Zinsperiode liegt.

Überschreitet das Fixing die Caprate, so zahlt der Cap unabhängig von der Höhe der Überschreitung einen festen Betrag ${\displaystyle d}$. Analog wird bei einem Floor ebenfalls ein fester Betrag gezahlt, sofern das Fixing unter der Floorrate lag.

Zusätzlich zu den oben beschriebenen vertraglich fixierten Punkten wird ein Index-Faktor ${\displaystyle i>0}$ vereinbart. Überschreitet das ${\displaystyle i}$-fache des beobachteten Geldmarktsatzes die Caprate, so zahlt der Cap am Datum der Zahlung das Produkt aus Nominalwert und Differenz aus dem ${\displaystyle i}$-fachen des Geldmarktsatzes und der Caprate. Umgekehrt zahlt ein Floor das Produkt aus Nominalwert und Differenz der Floorrate und dem ${\displaystyle i}$-fachen des Geldmarktsatzes und Geldmarktsatz.

• Auszahlungsfunktion Cap: ${\displaystyle P^{\text{cap}}=N\cdot \alpha \cdot \max(i\cdot r^{\text{fixing}}-r^{\text{cap}},0)}$
• Auszahlungsfunktion Floor: ${\displaystyle P^{\text{floor}}=N\cdot \alpha \cdot \max(r^{\text{floor}}-i\cdot r^{\text{fixing}},0)}$

Ein Collar ist die Kombination der Auszahlungsprofile aus einem Cap und einem Floor. Er entspricht dem Kauf eines Caps und dem Verkauf eines Floors mit ${\displaystyle r^{\text{cap}}>r^{\text{floor}}}$. An den Käufer eines Collar wird somit gezahlt, sofern das Zinsfixing über der Caprate liegt. Liegt das Fixing unter der Floorrate, so zahlt der Käufer.

• Auszahlungsfunktion Collar: ${\displaystyle P^{\text{collar}}={\begin{cases}N\cdot \alpha \cdot (r^{\text{fixing}}-r^{\text{cap}})&{\text{wenn }}r^{\text{cap}}<r^{\text{fixing}}\\0&{\text{wenn }}r^{\text{floor}}<r^{\text{fixing}}<r^{\text{cap}}\\-N\cdot \alpha \cdot (r^{\text{floor}}-r^{\text{fixing}})&{\text{wenn }}r^{\text{fixing}}<r^{\text{floor}}\\\end{cases}}}$

Bei einem Collar sichert sich eine Vertragspartei als Käufer eines Zinscaps gegen steigende Zinsen oberhalb eines Höchstzinssatzes ab, ihr Kontrahent kauft einen Floor gegen fallende Zinssätze unterhalb eines Mindestzinssatzes.[6]

Die übliche Bewertung für Caps erfolgt über das Modell von Fischer Black. Annahme des Modells ist, dass der zugrunde liegende Zins log-normalverteilt mit Volatilität ${\displaystyle \sigma }$ ist. In diesem Modell hat das Caplet auf einen Euribor-Zinssatz, welcher zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ gefixt wird und zum Zeitpunkt ${\displaystyle T}$ zahlt

${\displaystyle V=P(0,T)\left(FN(d_{1})-r^{\text{cap}}N(d_{2})\right)}$,

mit

${\displaystyle P(0,T)}$ ist der Diskontfaktor von ${\displaystyle T}$ auf heute.

${\displaystyle F}$ ist der Forward-Zinssatz. ${\displaystyle F}$ entspricht somit ${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {P(0,t)}{P(0,T)}}-1\right)}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln(F/r^{\text{cap}})+0.5\sigma ^{2}t}{\sigma {\sqrt {t}}}}}$

und

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {t}}}$.

Es existiert somit eine Äquivalenzrelation zwischen der Volatilität und dem Barwert des Cap. Weil alle anderen Variablen unstrittige Werte enthalten, macht es somit keinen Unterschied, ob der Preis eines Caps oder die Volatilität genannt wird. Entsprechend wird am Markt nicht über den Preis der Caps und Floors verhandelt, sondern über die Volatilität. Diese Volatilität wird auch Black Vola oder Implizite Volatilität genannt.

Es kann gezeigt werden, dass eine Caplet einer Bondoption ähnelt, sodass auch eine Bewertung über Bondoptionen möglich ist.