Hypergeometrische Verteilung

Gelegentlich wird auch als Wahrscheinlichkeitsfunktion

${\displaystyle Hyp_{B_{1},B_{2},n}(\{k\}):={\frac {\displaystyle {B_{2} \choose k}{B_{1} \choose n-k}}{\displaystyle {B_{1}+B_{2} \choose n}}}}$

verwendet. Diese geht mit ${\displaystyle N=B_{1}+B_{2}}$ und ${\displaystyle M=B_{2}}$ in die obige Variante über.

Es gelten folgende Symmetrien:

• Vertauschung von gezogenen Kugeln und Erfolgen: ${\displaystyle h(k|N;M;n)=h(k|N;n;M)}$
• Vertauschung von Erfolgen und Misserfolgen: ${\displaystyle h(k|N;M;n)=h(n-k|N;N-M;n)}$

Der Erwartungswert der hypergeometrisch verteilten Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ ist

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{k=0}^{n}k{\frac {\displaystyle {M \choose k}{\displaystyle {N-M} \choose {n-k}}}{\displaystyle {N \choose n}}}=n{\frac {M}{N}}}$.

Der Modus der hypergeometrischen Verteilung ist

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {(n+1)(M+1)}{N+2}}\right\rfloor }$.

Dabei ist ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ die Gaußklammer.

Die Varianz der hypergeometrisch verteilten Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ ist

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sum _{k=0}^{n}k^{2}{\frac {\displaystyle {M \choose k}{\displaystyle {N-M} \choose {n-k}}}{\displaystyle {N \choose n}}}-\left(n{\frac {M}{N}}\right)^{2}=n\,{\frac {M}{N}}\left(1-{\frac {M}{N}}\right){\frac {N-n}{N-1}}}$,

wobei der letzte Bruch der so genannte Korrekturfaktor (Endlichkeitskorrektur) beim Modell ohne Zurücklegen ist.

Die Schiefe der hypergeometrischen Verteilung ist

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\frac {(N-2M)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nM(N-M)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}}$.

Die charakteristische Funktion hat die folgende Form:

${\displaystyle \phi _{X}(t)={{{N-M \choose n}\,_{2}F_{1}(-n,-M;N-M-n+1;e^{it})} \over {N \choose n}}}$

Wobei ${\displaystyle _{2}F_{1}(\cdot$ ;\cdot ;\cdot )} die gaußsche hypergeometrische Funktion bezeichnet.

Auch die momenterzeugende Funktion lässt sich mittels der hypergeometrischen Funktion ausdrücken:

${\displaystyle M_{X}(t)={\frac {{N-M \choose n}\,_{2}F_{1}(-n,-M;N-M-n+1;e^{t})}{N \choose n}}}$

Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ist gegeben als

${\displaystyle m_{X}(t)={\frac {{N-M \choose n}\,_{2}F_{1}(-n,-M;N-M-n+1;t)}{N \choose n}}}$

Im Gegensatz zur Binomialverteilung werden bei der hypergeometrischen Verteilung die Stichproben nicht wieder in das Reservoir zur erneuten Auswahl zurückgelegt. Ist der Umfang ${\displaystyle n}$ der Stichprobe im Vergleich zum Umfang ${\displaystyle N}$ der Grundgesamtheit relativ klein (etwa ${\displaystyle n/N<0{,}05}$), unterscheiden sich die durch die Binomialverteilung bzw. die hypergeometrische Verteilung berechneten Wahrscheinlichkeiten nicht wesentlich voneinander. In diesen Fällen wird dann oft die Approximation durch die mathematisch einfacher zu handhabende Binomialverteilung vorgenommen.

Die hypergeometrische Verteilung ist ein Spezialfall der Pólya-Verteilung (wähle ${\displaystyle c=-1}$).

Die hypergeometrische Verteilung entsteht aus der diskreten Gleichverteilung durch das Urnenmodell. Aus einer Urne mit insgesamt ${\displaystyle N}$ Kugeln sind ${\displaystyle M}$ eingefärbt und es werden ${\displaystyle n}$ Kugeln gezogen. Die hypergeometrische Verteilung gibt für ${\displaystyle \max\{0,n+M-N\}\leq k\leq \min\{n,M\}}$ die Wahrscheinlichkeit an, dass ${\displaystyle k}$ gefärbte Kugeln gezogen werden. Andernfalls kann auch mit der Binomialverteilung in der Praxis modelliert werden. Siehe hierzu auch das Beispiel.

Die multivariate hypergeometrische Verteilung ist eine Verallgemeinerung der hypergeometrischen Verteilung. Sie beantwortet die Frage nach der Anzahl der gezogenen Kugeln einer Farbe aus einer Urne, wenn diese mehr als zwei unterscheidbare Farben von Kugeln enthält. Für zwei Farben stimmt sie mit der hypergeometrischen Verteilung überein.

Ein Beispiel für die praktische Anwendung der hypergeometrischen Verteilung ist das Lotto: Beim Zahlenlotto gibt es 49 nummerierte Kugeln; davon werden bei der Auslosung 6 gezogen. Auf dem Lottoschein werden 6 Zahlen angekreuzt.

${\displaystyle h(x|49;6;6)}$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, genau ${\displaystyle x\in \{0,1,2,3,4,5,6\}}$ Richtige zu erzielen.

• Wahrscheinlichkeit beim deutschen Lotto
• 
  In linearer Auftragung
• 
  In logarithmischer Auftragung

Bei der Pokervariante Texas Hold’em werden von den 52 Spielkarten fünf Community Cards aufgedeckt. Wenn die diskrete Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ die Anzahl der Asse zählt, die aufgedeckt werden, ergibt sich für ${\displaystyle X}$ die hypergeometrische Verteilung ${\displaystyle h(k|52;4;5):=P(X=k)={\frac {\displaystyle {4 \choose k}{52-4 \choose 5-k}}{\displaystyle {52 \choose 5}}}}$ mit ${\displaystyle N=52}$ Spielkarten, ${\displaystyle M=4}$ Assen und ${\displaystyle n=5}$ Community Cards.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den fünf Community Cards genau zwei Asse sind.

Gesamtanzahl der Spielkarten	${\displaystyle N=52}$
Anzahl der Asse	${\displaystyle M=4}$
Umfang der Stichprobe	${\displaystyle n=5}$
Anzahl der Treffer (Asse)	${\displaystyle k=2}$

Also ${\displaystyle h(2|52;4;5)}$.

Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus:

Anzahl der Möglichkeiten, genau zwei Asse auszuwählen

geteilt durch

Anzahl der Möglichkeiten, genau fünf von 52 Spielkarten auszuwählen

Es gibt

${\displaystyle {M \choose k}={4 \choose 2}=6}$

Möglichkeiten, genau zwei der vier Asse auszuwählen.

Es gibt

${\displaystyle {{N-M} \choose {n-k}}={48 \choose 3}=17296}$

Möglichkeiten, genau drei der 48 anderen Spielkarten auszuwählen.

Da jedes Ass mit jeder anderen Spielkarte kombiniert werden kann, ergeben sich

${\displaystyle {M \choose k}\cdot {{N-M} \choose {n-k}}={4 \choose 2}\cdot {48 \choose 3}=6\cdot 17296=103776}$

Möglichkeiten für genau zwei Asse und drei andere Spielkarten.

Es gibt insgesamt

${\displaystyle {N \choose n}={52 \choose 5}=2598960}$

Möglichkeiten, fünf von 52 Spielkarten aufzudecken.

Wir erhalten also die Wahrscheinlichkeit

${\displaystyle P(X=2)=h(2|52;4;5)={\frac {{4 \choose 2}\cdot {48 \choose 3}}{52 \choose 5}}={\frac {103776}{2598960}}\approx 0{,}0399}$,

das heißt, in etwa vier Prozent der Fälle werden genau zwei Asse aufgedeckt.

Die Werte und die Wahrscheinlichkeiten für die hypergeometrische Verteilung ${\displaystyle h(k|52;4;5)}$ lassen sich in folgender Tabelle zusammenfassen:

${\displaystyle X=x_{i}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 4}$
${\displaystyle P(X=x_{i})=p_{i}}$	${\displaystyle {\frac {1712304}{2598960}}}$	${\displaystyle {\frac {778320}{2598960}}}$	${\displaystyle {\frac {103776}{2598960}}}$	${\displaystyle {\frac {4512}{2598960}}}$	${\displaystyle {\frac {48}{2598960}}}$

Der Erwartungswert beträgt

${\displaystyle {\color {BrickRed}\mu }=n\cdot {\frac {M}{N}}=5\cdot {\frac {4}{52}}={\color {BrickRed}{\frac {5}{13}}}}$.

Die Varianz ist demnach gegeben durch

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum _{i=0}^{4}(x_{i}-{\color {BrickRed}\mu })^{2}p_{i}=\left(0-{\color {BrickRed}{\frac {5}{13}}}\right)^{2}\cdot {\frac {1712304}{2598960}}+\left(1-{\color {BrickRed}{\frac {5}{13}}}\right)^{2}\cdot {\frac {778320}{2598960}}+\left(2-{\color {BrickRed}{\frac {5}{13}}}\right)^{2}\cdot {\frac {103776}{2598960}}+\left(3-{\color {BrickRed}{\frac {5}{13}}}\right)^{2}\cdot {\frac {4512}{2598960}}+\left(4-{\color {BrickRed}{\frac {5}{13}}}\right)^{2}\cdot {\frac {48}{2598960}}\approx 0{,}327}$

Für die Standardabweichung ergibt sich damit:

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\sigma ^{2}}}\approx {\sqrt {0{,}327}}\approx 0{,}572}$.

In einem Behälter befinden sich 45 Kugeln, von denen 20 gelb sind. Es werden zehn Kugeln ohne Zurücklegen entnommen.

Die hypergeometrische Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass genau x = 0, 1, 2, 3, …, 10 der entnommenen Kugeln gelb sind.

Zu dem oben aufgeführten Beispiel der farbigen Kugeln soll die Wahrscheinlichkeit ermittelt werden, dass genau 4 gelbe Kugeln resultieren.

Gesamtanzahl der Kugeln	${\displaystyle N=45}$
Anzahl mit der Eigenschaft gelb	${\displaystyle M=20}$
Umfang der Stichprobe	${\displaystyle n=10}$
Anzahl der Treffer (gelb)	${\displaystyle k=4}$

Also ${\displaystyle h(4|45;20;10)}$.

Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus:

Anzahl der Möglichkeiten, genau 4 gelbe (und damit genau 6 violette) Kugeln auszuwählen

geteilt durch

Anzahl der Möglichkeiten, genau 10 von 45 Kugeln beliebiger Farbe auszuwählen

Es gibt

${\displaystyle {M \choose k}={20 \choose 4}=4845}$

Möglichkeiten, genau 4 gelbe Kugeln auszuwählen.

Es gibt

${\displaystyle {{N-M} \choose {n-k}}={25 \choose 6}=177\,100}$

Möglichkeiten, genau 6 violette Kugeln auszuwählen.

Da jede gelbe Kugel mit jeder violetten Kugel kombiniert werden kann, ergeben sich

${\displaystyle {M \choose k}\cdot {{N-M} \choose {n-k}}=4845\cdot 177100=858\,049\,500}$

Möglichkeiten für genau 4 gelbe und 6 violette Kugeln.

Es gibt insgesamt

${\displaystyle {N \choose n}={45 \choose 10}=3\,190\,187\,286}$

Möglichkeiten, 10 Kugeln zu ziehen.

Wir erhalten also die Wahrscheinlichkeit

${\displaystyle P(X=4)=h(4|45;20;10)={\frac {{20 \choose 4}\cdot {25 \choose 6}}{45 \choose 10}}={\frac {858049500}{3190187286}}\approx 0{,}269}$,

das heißt, in rund 27 Prozent der Fälle werden genau 4 gelbe (und 6 violette) Kugeln entnommen.

Alternativ kann das Ergebnis auch mit folgender Gleichung gefunden werden

${\displaystyle P(X=4)=h(4|45;10;20)={\frac {{10 \choose 4}\cdot {35 \choose 16}}{45 \choose 20}}\approx 0{,}269}$

Es befinden sich in der Stichprobe von 10 Kugeln nämlich 4 gelbe Kugeln. Die restlichen 16 gelben Kugeln befinden sich unter den 35 übriggebliebenen Kugeln, die nicht zur Stichprobe gehören.