Zetafunktions-Regularisierung

Die riemannsche Zetafunktion

${\displaystyle \zeta (z):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{z}}}}$

ist absolut konvergent für ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)>1}$ und kann auf ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)\leq 1}$ durch analytische Fortsetzung erweitert werden, wobei sie an der Stelle ${\displaystyle z=1}$ eine Polstelle besitzt. Für nichtpositive ganze Werte gilt folgende Beziehung zu den Bernoulli-Zahlen

${\displaystyle \zeta (-z)=-{\frac {B_{z+1}}{z+1}},\quad z\geq 0}$

was zu neuen Ergebnissen für ansonsten divergente Reihen führt

${\displaystyle \zeta (0)\;\;=\sum _{n=1}^{\infty }1=1+1+1+\cdots ,\quad }$ aber auch ${\displaystyle \zeta (0)=-B_{1}=-{\tfrac {1}{2}},}$

${\displaystyle \zeta (-1)=\sum _{n=1}^{\infty }n=1+2+3+\cdots ,\quad }$ aber auch ${\displaystyle \zeta (-1)=-{\tfrac {1}{2}}B_{2}=-{\tfrac {1}{12}}.}$

Sei ${\displaystyle \Sigma }$ der Raum der Reihen. Die Zetafunktions-Regularisierung ersetzt die klassische Summation ${\displaystyle S:\Sigma \to {\overline {\mathbb {C} }}}$ durch eine neue Abbildung ${\displaystyle S_{\operatorname {z} }:\Sigma \to {\overline {\mathbb {C} }}}$, die divergenten Summen einen neuen Wert zuordnet, aber auf dem Bereich ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)>1}$ mit ${\displaystyle S}$ übereinstimmt.

Wir verallgemeinern nun die Zetafunktion

${\displaystyle \zeta _{A}(z):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}^{z}}}}$

für eine beliebige Folge ${\displaystyle (\lambda _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ und definieren ${\displaystyle \zeta _{A}(z)}$ wieder durch analytische Fortsetzung, sofern diese existiert. Typischerweise sind die ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots }$ Eigenwerte eines Operators ${\displaystyle A}$.

Sei ${\displaystyle \zeta _{A}(z)}$ die verallgemeinerte Zetafunktion für ${\displaystyle (\lambda _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, dann existiert folgender nützliche Zusammenhang zur Mellin-Transformation[1]

${\displaystyle \zeta _{A}(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }\exp(-\lambda _{n}t)\mathrm {d} t.}$

Falls der Satz von Fubini anwendbar ist, dann

${\displaystyle \zeta _{A}(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\exp(-\lambda _{n}t)\mathrm {d} t.}$

Die Zetafunktion eines Operators ${\displaystyle A}$ ist definiert als

${\displaystyle \zeta _{A}(z)=\operatorname {tr} (A^{-z}).}$

Falls die Eigenwerte ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots }$ von ${\displaystyle A}$ bekannt und abzählbar sind, dann lässt sich der Ausdruck zur spektralen Zetafunktion

${\displaystyle \zeta _{A}(z)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}^{z}}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }e^{-z\log \lambda _{n}}}$

umschreiben.[2]

Sind die Eigenwerte des Operators beispielsweise von der Form

• ${\displaystyle \lambda _{n}:=an}$ mit einer fixen Konstante ${\displaystyle a>0}$, so erhält man die riemannsche Zetafunktion multipliziert mit der Funktion ${\displaystyle a^{-z}}$
• ${\displaystyle \lambda _{n}=c(n+b)}$ mit fixen Konstanten ${\displaystyle c,b}$, so ergibt sich die hurwitzsche Zeta-Funktion.

Welche Zetafunktion man wählt, hängt somit von der Eigenwertstruktur des Operators ab.

Falls ${\displaystyle A}$ ein Differentialoperator (oder Pseudodifferentialoperator) ist und man nichts über die Eigenwerte von ${\displaystyle A}$ weiß, so kann man mit Hilfe der Wärmeleitungsgleichung

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}K(t,x,y)=A_{x}K(t,x,y)}$

Informationen über sie herausfinden, wobei ${\displaystyle K(t,x,y)}$ der Wärmeleitungskern ist und ${\displaystyle A_{x}}$ die Anwendung auf die ${\displaystyle x}$-Komponente bedeutet.[3]

Berechnen wir nun die Ableitung der spektralen Zetafunktion an der Stelle Null

${\displaystyle \zeta '_{A}(0)={\frac {\mathrm {d} \zeta }{\mathrm {d} z}}{\bigg \vert }_{z=0}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }(-\log \lambda _{n})e^{-0\log \lambda _{n}}=-\log \left(\prod \limits _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}\right),}$

dann können wir eine Funktionaldeterminante durch

${\displaystyle \operatorname {det} (A)=\prod \limits _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}=e^{-\zeta '_{A}(0)}}$

definieren, sofern ${\displaystyle \zeta '_{A}(0)}$ existiert.[4]

Wir betrachten vier-dimensionale ultrastatische Raumzeit mit ${\displaystyle 4}$-Metrik ${\displaystyle g_{4}=-(dx^{0})^{2}+g_{3},}$ somit haben wir eine Zerlegung des vier-dimensionalen Differentialoperator in

${\displaystyle D_{4}=-(\partial _{0})^{2}+D_{3}.}$

Seien ${\displaystyle \lambda _{n}}$ die Eigenwerte von ${\displaystyle D_{3}}$, dann sind die Eigenfrequenzen

${\displaystyle \omega _{n}=c{\sqrt {\lambda _{n}}},}$

wobei ${\displaystyle c}$ die Lichtgeschwindigkeit ist. Möchte man nun die Nullpunktenergie

${\displaystyle E_{\text{Casimir}}={\frac {\hbar }{2}}\sum \limits _{n}\omega _{n}}$

berechnen, so lässt sich diese als Zeta-Regularisierung

${\displaystyle E_{\text{Reg}}(s)={\frac {1}{2}}\hbar c\mu \zeta _{D_{3}}\left(-{\tfrac {1}{2}}+s\right)}$

berechnen, wobei ${\displaystyle \mu }$ ein Skalierungsparameter ist.[5][6] Eine vollständig Abhandlung lässt sich in ([6]) finden.