Zeta-Funktion

Ursprünglich war mit Zeta-Funktion oder ${\displaystyle \zeta }$-Funktion in der Mathematik die holomorphe[1] komplexe Funktion

${\displaystyle \zeta (z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{z}}}\quad }$, mit ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ,\,\Re (z)>1}$

gemeint. Heute heißt diese genauer riemannsche Zeta-Funktion, zu Ehren von Bernhard Riemann, der um 1850 bedeutende Arbeiten zur Untersuchung dieser Funktion im Komplexen leistete. Als reelle Funktion geht das Studium der Zeta-Funktion auf Leonhard Euler in den 1730er und 1740er Jahren zurück, der unter anderem die Werte der Zeta-Funktion bei positiven geradzahligen Argumenten bestimmte und die Produktformel fand.

Einige Werte sind[2]

${\displaystyle \zeta (1)=\infty }$

${\displaystyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

${\displaystyle \zeta (3)=1{,}2020569032...}$

${\displaystyle \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}}$

${\displaystyle \zeta (5)=1{,}0369277551...}$

${\displaystyle \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}}}$

${\displaystyle \zeta (7)=1{,}0083492774...}$

${\displaystyle \zeta (8)={\frac {\pi ^{8}}{9450}}}$

${\displaystyle \zeta (9)=1{,}0020083928...}$

Seither wurden viele in Definition oder Eigenschaften ähnliche oder verallgemeinernde Funktionen untersucht, denen dann auch der Name Zeta-Funktion zusammen mit dem ihres Entdeckers gegeben wurde.

Die wichtigsten weiteren Zetafunktionen sind:

• Airysche Zeta-Funktion
• Artin-Mazursche Zeta-Funktion
• Dedekindsche Zeta-Funktion
• Epsteinsche Zeta-Funktion
• Hasse-Weil-Zetafunktion
• Hurwitzsche Zeta-Funktion
• Igusa-Zetafuntkion
• Ihara-Zetafunktion
• Jacobische Zetafunktion
• Lefschetzsche Zeta-Funktion
• Lerchsche Zeta-Funktion
• Ninitsche Zeta-Funktion
• Ruelle-Zetafunktion oder Dynamische Zetafunktion
• Selbergsche Zeta-Funktion
• Weierstraßsche Zeta-Funktion
• Primzetafunktion

Ebenfalls mit der riemannschen Zeta-Funktion verwandt, ohne das „Zeta“ im Namen zu tragen, sind die dirichletschen L-Funktionen, die dirichletsche Eta-Funktion ${\displaystyle \eta }$ und die dirichletsche Beta-Funktion ${\displaystyle \beta }$.