Zerlegungssatz von Lebesgue

Auf einem Maßraum ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ lässt sich mit einer quasiintegrierbaren Funktion ${\displaystyle f}$, durch

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\mathrm {d} \mu }$

ein signiertes Maß ${\displaystyle \nu }$ auf ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ definieren. Die Funktion ${\displaystyle f}$ wird dann als Dichte von ${\displaystyle \nu }$ bezüglich ${\displaystyle \mu }$ bezeichnet. ${\displaystyle \nu }$ ist dann absolut stetig bezüglich ${\displaystyle \mu }$, das heißt jede ${\displaystyle \mu }$-Nullmenge ist auch eine ${\displaystyle \nu }$-Nullmenge.

Jedes signierte Maß mit einer Dichte ${\displaystyle f}$ bezüglich ${\displaystyle \mu }$ ist folglich absolut stetig bezüglich ${\displaystyle \mu }$. Der Satz von Radon-Nikodým liefert die Umkehrung: Ist ein signiertes Maß absolut stetig bezüglich ${\displaystyle \mu }$, so existiert auch eine Dichtefunktion ${\displaystyle f}$, so dass sich das signierte Maß wie oben darstellen lässt.

Diese Fragestellung lässt sich nun erweitern: Kann ${\displaystyle \nu }$ , unter der Annahme, dass ${\displaystyle \nu }$ nicht absolut stetig bezüglich ${\displaystyle \mu }$ ist, in einen absolut stetigen Teil ${\displaystyle \nu _{a}}$ und einen "singulären" Teil ${\displaystyle \nu _{s}}$ zerlegt werden? Existieren also signierte Maße ${\displaystyle \nu _{a},\nu _{s}}$ mit ${\displaystyle \nu =\nu _{a}+\nu _{s}}$, so dass ${\displaystyle \nu _{a}}$ absolut stetig bezüglich ${\displaystyle \mu }$ ist und ${\displaystyle \nu _{s}}$ singulär bezüglich ${\displaystyle \mu }$ ist? Der Zerlegungssatz von Lebesgue beantwortet diese Frage positiv.

Gegeben sei ein Messraum ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ und ein σ-endliches Maß ${\displaystyle \mu }$ und ein σ-endliches signiertes Maß ${\displaystyle \nu }$ auf diesem Messraum. Dann existiert eine eindeutige Zerlegung

${\displaystyle \nu =\nu _{a}+\nu _{s}}$

in zwei σ-endliche signierte Maße ${\displaystyle \nu _{a},\nu _{s}}$, so dass

• ${\displaystyle \nu _{a}\ll \mu }$ ist. ${\displaystyle \nu _{a}}$ ist also absolut stetig bezüglich ${\displaystyle \mu }$
• ${\displaystyle \nu _{s}\perp \mu }$ ist. ${\displaystyle \nu _{s}}$ und ${\displaystyle \mu }$ sind also zueinander singulär.

Die signierten Maße ${\displaystyle \nu _{a},\nu _{s}}$ sind genau dann endlich, wenn ${\displaystyle \nu }$ endlich ist. Der Zerlegungssatz gilt auch, wenn ${\displaystyle \nu }$ ein σ-endliches Maß ist, dann sind ${\displaystyle \nu _{a},\nu _{s}}$ ebenfalls Maße.

• V.V. Sazonov: Lebesgue decomposition. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
• Eric W. Weisstein: Lebesgue Decomposition. In: MathWorld (englisch).

1. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 286.

• Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.