Zentralpolygonale Zahlen

Die maximale Zahl ${\displaystyle p}$ an Kuchenstücken kann erschaffen werden durch die vorgegebene Zahl an Schnitten ${\displaystyle n}$, wobei dieses größer gleich null sein muss.

${\displaystyle p={\frac {n^{2}+n+2}{2}}}$

Auch diese Darstellung ist möglich

${\displaystyle p=1+{\binom {n+1}{2}}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}+{\binom {n}{2}}}$.

Es ergibt sich folgende Zahlenreihe, beginnend mit ${\displaystyle n=0}$:

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, …(Folge A000124 in OEIS)

Durch Subtraktion der Zahl 1 wird aus der Folge der zentralpolygonalen Zahlen die Folge der Dreieckszahlen.

Die maximale Anzahl von Stücken, mit möglichst wenig Schnitten, ergibt die Zahlenreihe des faulen Kellners.

Für ${\displaystyle n=0}$ gilt für die Zahl der Stücke ${\displaystyle p=1}$ (ganzer Kuchen). Durch einen (beliebigen) Schnitt (${\displaystyle n=1}$) erhöht sich die Zahl der Stücke um 1 auf ${\displaystyle p=2}$.

Für den ${\displaystyle n}$-ten Schnitt (${\displaystyle n>1}$) erreicht man die maximale Anzahl von Stücken dadurch, dass die neue Schnittlinie alle bisher vorhandenen ${\displaystyle n-1}$ Schnittlinien im Inneren schneidet; dabei darf die neue Schnittlinie nicht durch einen Kreuzungspunkt schon vorhandener Schnittlinien gehen. Auf diese Weise erhöht sich durch den ${\displaystyle n}$-ten Schnitt die Zahl der Stücke um ${\displaystyle n}$.

Insgesamt ergibt sich damit für die Anzahl der Stücke

${\displaystyle p=1+\left(1+2+\ldots +(n-1)+n\right)}$.

Drückt man die Summe in der Klammer durch die gaußsche Summenformel aus, so erhält man

${\displaystyle p=1+{\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {2+n(n+1)}{2}}={\frac {n^{2}+n+2}{2}}}$,

wodurch die Behauptung bewiesen ist.

• Eric W. Weisstein: Circle Division by Lines. In: MathWorld (englisch).