Zassenhaus-Algorithmus
Der Zassenhaus-Algorithmus[1] ist ein Algorithmus zur Bestimmung von Schnitt- und Summenbasen von zwei Untervektorräumen in der Linearen Algebra. Der Algorithmus ist nach dem Mathematiker Hans Zassenhaus benannt, eine fachwissenschaftliche Veröffentlichung des Algorithmus durch Zassenhaus ist jedoch nicht bekannt.[2] Er findet Verwendung in Computeralgebrasystemen.[3][4]
Algorithmus
Voraussetzungen
Es sei ein Vektorraum und zwei endlichdimensionale Untervektorräume von , von denen jeweils ein Erzeugendensystem bekannt ist:
und
- .
Schließlich benötigt man noch linear unabhängige Vektoren , in denen die Darstellung
und
bekannt ist.
Ziel des Algorithmus
Gesucht sind Basen der Summe und der Schnittmenge .
Algorithmus
Man stelle die folgende -Matrix als Blockmatrix
auf. Mithilfe der Zeilenumformungen führe man diese Matrix über in eine Matrix in Stufenform der folgenden Gestalt:
Dabei seien die Vektoren für und für nicht die Nullvektoren.
Dann ist mit
eine Basis von und mit
eine Basis von .
Korrektheit
Die Korrektheit des Algorithmus basiert auf folgender Erkenntnis: Der Unterraum erfüllt und , wobei die Projektion auf die erste Komponente sei. Gleichzeitig ist der Kern der auf eingeschränkten Projektion. Insbesondere ist .
Der Zassenhaus-Algorithmus berechnet eine Basis von . In den ersten Spalten der Matrix wird dabei eine Basis von berechnet. Die Zeilen sind offenbar in enthalten und wegen der Zeilenstufenform linear unabhängig. Alle von Null verschiedenen Zeilen zusammen, also und müssen aber eine Basis von bilden, also stimmt die Anzahl der mit überein, d. h., es wurde eine Basis von berechnet.
Beispiel
Gegeben seien die beiden Untervektorräume und des .
Indem man als die Einheitsbasis des verwendet, muss man die folgende Matrix
mittels elementarer Zeilenumformungen auf Stufenform bringen. Dies liefert schließlich
- .
Demnach ist eine Basis von , und ist eine Basis von .
Literatur
- Gerd Fischer: Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-2378-6, S. 207–210, doi:10.1007/978-3-8348-2379-3.
Weblinks
- Mathematik-Online-Lexikon: Zassenhaus-Algorithmus. Abgerufen am 15. September 2012.
Einzelnachweise
- Eugene M. Luks, Ferenc Rákóczi, Charles R. B. Wright: Some Algorithms for Nilpotent Permutation Groups. 1996, S. 15 (online [abgerufen am 15. September 2012]).
- Fischer, S. 210.
- GAP – Matrices. Abgerufen am 15. September 2012.
- MeatAxe – Other Kernel Functions. Ehemals im (nicht mehr online verfügbar); abgerufen am 15. September 2012. (Seite nicht mehr abrufbar. Suche in Webarchiven)