Zahmheits-Satz

Jede vollständige, 3-dimensionale hyperbolische Mannigfaltigkeit mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe ist topologisch zahm, das heißt ist homöomorph zum Inneren einer kompakten Mannigfaltigkeit.

Aus der topologischen Zahmheit folgt unmittelbar, dass sich jede orientierbare vollständige 3-dimensionale hyperbolische Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe zerlegen lässt in einen kompakten Kern ${\displaystyle K}$ (welcher homöomorph zu ${\displaystyle M}$ ist) und endlich viele zusammenhängende „Enden“, welche von der Form ${\displaystyle S_{i}\times (0,\infty )}$ sind. Dabei sind die Flächen ${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{k}}$ homöomorph zu den Zusammenhangskomponenten von ${\displaystyle \partial K}$.

Die Annahme, dass ${\displaystyle M}$ hyperbolisch ist, spielt eine wesentliche Rolle im Beweis der Zahmheits-Vermutung. Es gibt Gegenbeispiele von (nicht-hyperbolischen) 3-Mannigfaltigkeiten mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe, deren Enden nicht zahm sind.

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