Reihe (Mathematik)

Das Konzept der Reihe spielt disziplinübergreifend eine zentrale Rolle in der Mathematik. Hauptanwendungsgebiet ist zunächst die Analysis, jedoch auch alle durch diese Sparte beeinflussten Bereiche, nicht zuletzt angewandte Gebiete wie die Ingenieurwissenschaften.

Es entfalten Reihen ihre Nützlichkeit zum Beispiel dann, wenn es darum geht, bestimmte Funktionen annähernd auszurechnen, die für Anwendungen zwar nützlich, aber dennoch kompliziert sind. Ein besonders berühmtes und zugleich wichtiges Beispiel ist die Darstellung der natürlichen Exponentialfunktion durch ihre Taylorreihe im Punkt ${\displaystyle x=0}$:

${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots ,}$

wobei ${\displaystyle n!}$ die Fakultät von ${\displaystyle n}$ bezeichnet. Bemerkenswert ist, dass sich jeder Term auf der rechten Seite durch die vier Grundrechenarten berechnen lässt, was auf ${\displaystyle e^{x}}$ nicht mehr zutrifft. Die Konstruktion dieser Reihe motiviert sich aus dem Fakt, dass die (termweise) Ableitung der rechten Seite die Reihe unverändert lässt und diese in ${\displaystyle x=0}$ den Wert 1 annimmt (was beides auch auf ${\displaystyle e^{x}}$ zutreffen „soll“). Für kleine Werte ${\displaystyle x}$ nähert sich diese Reihe relativ schnell dem Grenzwert ${\displaystyle e^{x}}$ an und ist dort für eine Berechnung durchaus geeignet. Neben der (punktweisen) Berechnungsmöglichkeit liefert diese Reihendarstellung auch erste Analysemöglichkeiten: Da für ${\displaystyle x>0}$ alle Terme positiv sind, ist erkennbar, dass die Exponentialfunktion für ${\displaystyle x\to \infty }$ jede Art polynomiellen Wachstums übersteigen wird, da beliebig hohe Potenzen ${\displaystyle x^{n}}$ in der Summation auftreten.

Animation der Approximation des Sinus durch seine Taylorreihe

Ein weiteres Beispiel sind die Winkelfunktionen, etwa der Sinus. Es gibt auch hier kein einfaches, „geschlossenes“ Verfahren, für Eingabewerte ${\displaystyle x}$ den Ausgabewert ${\displaystyle \sin(x)}$ zu berechnen, aber mittels Reihen können gute Näherungswerte relativ schnell berechnet werden, die in der Praxis ausreichen. Es gilt die Reihenentwicklung[3]

${\displaystyle \sin(x)={\frac {x}{1}}-{\frac {x^{3}}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}}+\cdots =x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{7}}{5040}}+\cdots ,}$

kurz:

${\displaystyle \sin(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}.}$

Etwa ist ${\displaystyle \sin(1)=0{,}84147098\ldots }$ und, wegen ${\displaystyle 1^{2k+1}=1}$ für alle ${\displaystyle k}$, als Näherung bis zum ${\displaystyle x^{7}}$-Term

${\displaystyle 1-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{120}}-{\frac {1}{5040}}\approx 0{,}8414682.}$

Münzwurf mit einer Euromünze

Bei der Untersuchung bestimmter Zufallsexperimente in der Wahrscheinlichkeitstheorie spielen Reihen eine wichtige Rolle. Ein einfaches Beispiel betrifft den „potenziell unendlichen Münzwurf“: Eine faire Münze wird dabei so oft geworfen, bis sie das erste Mal „${\displaystyle K}$“ (= Kopf) zeigt. Mit der anderen Option „${\displaystyle Z}$“ (= Zahl) gibt es damit folgende Möglichkeiten, wie das Experiment endet:

${\displaystyle K,\quad ZK,\quad ZZK,\quad ZZZK,\quad }$ usw.

Da sowohl ${\displaystyle K}$ als auch ${\displaystyle Z}$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ auftreten, und die Würfe unabhängig ablaufen, haben die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten die Werte ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\,\,(K),{\tfrac {1}{4}}\,\,(ZK),{\tfrac {1}{8}}\,\,(ZZK),\ldots }$ usw. Da aber gleichzeitig fast sicher irgendeines dieser Ereignisse eintreten muss, folgt

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =1,}$

wobei die ${\displaystyle 1}$ als die zum fast sicheren Ereignis gehörige Wahrscheinlichkeit („100 %“) zu interpretieren ist.[4] Die besondere Bedeutung der Theorie der Reihen in der Praxis wird in diesem Kontext jedoch beim Übergang zu Erwartungswerten ersichtlich. Um dies zu sehen, hilft es, das obige Experiment als ein Glücksspiel zu deuten, bei dem zum Beispiel stets die Zahl an Euro ausgezahlt wird, die angibt, wie oft „Zahl“ geworfen wurde (also zum Beispiel 3 Euro bei ZZZK) – zu Beginn aber eine Gebühr von 2 Euro verlangt wird. Es muss der Gewinn stets mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit gewichtet werden, und somit beträgt der zu erwartende Gewinn

${\displaystyle (-2)+\left({\frac {0}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {3}{16}}+\cdots \right)=-1}$

pro Runde.[5] Die Teilnahme an diesem Glücksspiel ist demnach nicht zu empfehlen, da der Spieler pro Runde durchschnittlich 1 Euro verlieren wird. Für die Grenzwertermittlung der Reihe, die nicht ganz einfach ist, werden Methoden aus der Analysis herangezogen.

Eine Reihe wird selten Summenfolge[6] oder unendliche Summe[7][8] und vor allem in älteren Darstellungen auch unendliche Reihe genannt.[9]

Ist eine beliebige reelle (oder komplexe) Folge ${\displaystyle \left(a_{j}\right)_{j\in \mathbb {N} _{0}}}$ gegeben (${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ist die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen und ${\displaystyle \in }$ bezeichnet die „ist-Element-von“-Relation), kann man aus ihr eine neue Folge ${\displaystyle \left(s_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ der Partialsummen bilden. Die ${\displaystyle n}$-te Partialsumme ist die Summe der ersten ${\displaystyle n+1}$ Glieder von ${\displaystyle \left(a_{j}\right)_{j\in \mathbb {N} _{0}}}$, ihre Definition lautet:

${\displaystyle s_{n}:=a_{0}+a_{1}+\dotsb +a_{n}.}$

Die Folge ${\displaystyle \left(s_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ der ${\displaystyle n}$-ten Partialsummen heißt Reihe.

Zu bemerken ist, dass aus der Definition folgt, dass andersherum jede Zahlenfolge ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\dots }$ zu einer Reihe wird, wenn man diese als Partialsummen der Folge ${\displaystyle a_{0},(a_{1}-a_{0}),(a_{2}-a_{1}),(a_{3}-a_{2}),\dots }$ auffasst. Eine Reihe ist also nichts anderes als eine Folge spezieller „Bauart“, deren Glieder rekursiv durch ${\displaystyle s_{0}:=a_{0}}$ und ${\displaystyle s_{n+1}:=s_{n}+a_{n+1}}$ definiert sind. Allerdings führt die einfache rekursive Struktur der Reihen zu vergleichsweise sehr handlichen Konvergenzkriterien, siehe unten.[10]

Obwohl Reihen auch als formale Objekte studiert werden können, also „ohne Wert“, sind in der Mathematik die Fälle von besonderem Interesse, in denen sich die Reihe langfristig einem ganz bestimmten Wert annähert. Falls die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$, also die Folge der Partialsummen

${\displaystyle s_{0}=a_{0}}$

${\displaystyle s_{1}=a_{0}+a_{1}}$

${\displaystyle s_{2}=a_{0}+a_{1}+a_{2}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k},\ldots }$ (${\displaystyle \textstyle \sum }$ ist das Summenzeichen)

konvergiert, so nennt man ihren Grenzwert

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}}$

den Wert der Reihe[11] oder die Summe der Reihe.[12] Dieser ist eindeutig bestimmt und wird meistens als ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$ notiert.[10][Anm. 2] Reihen, die nicht konvergieren, nennt man divergent.

Bildliche Veranschaulichung des Konvergenzprinzips. Um den Grenzwert lassen sich beliebig dünne „Schläuche“ mit Breite ${\displaystyle \varepsilon >0}$ legen, und in jedem noch so dünnen Schlauch liegen fast alle Folgeglieder.

Anschaulich bedeutet Konvergenz, dass sich eine Folge auf Dauer einer reellen oder komplexen Zahl beliebig nah annähert. Da der Umgang mit „dem Unendlichen“ zunächst nicht sinnvoll ist, umgeht man diese Schwierigkeit, indem man den Konvergenzbegriff mit endlichen Mitteln erklärt. Die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$ nennt man dann konvergent gegen den Grenzwert ${\displaystyle S}$, wenn es zu jeder noch so kleinen Zahl ${\displaystyle \varepsilon >0}$ einen Index ${\displaystyle N(\varepsilon )}$ gibt, sodass für alle noch größeren Indizes ${\displaystyle N>N(\varepsilon )}$

${\displaystyle \left|a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}-S\right|<\varepsilon }$

erfüllt ist. Hat eine Reihe ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots }$ etwa den Grenzwert ${\displaystyle 1}$, so besagt die Wahl ${\displaystyle \varepsilon =0{,}01}$, dass alle bis auf endlich viele Partialsummen

${\displaystyle a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{N}}$

zwischen ${\displaystyle 0{,}99}$ und ${\displaystyle 1{,}01}$ liegen. Ebenso lässt sich mit ${\displaystyle \varepsilon =0{,}0001}$ – ab einem gewissen Index liegen also alle Partialsummen zwischen ${\displaystyle 0{,}9999}$ und ${\displaystyle 1{,}0001}$ – usw. verfahren. In den meisten Fällen ist dieses Kriterium für Konvergenz jedoch nicht brauchbar, da bereits ein Grenzwert ${\displaystyle S}$ bekannt sein muss, um es überhaupt anwenden zu können. Es ist im Allgemeinen jedoch überaus schwierig, den Grenzwert einer konvergenten Reihe anzugeben. Dies kann aber leicht umgangen werden, denn es kann gezeigt werden, dass eine Reihe genau dann konvergiert, wenn es für jede Zahl ${\displaystyle \varepsilon >0}$ einen Index ${\displaystyle N(\varepsilon )}$ gibt, sodass für alle größeren Indizes ${\displaystyle M\geq N>N(\varepsilon )}$ bereits

${\displaystyle |a_{N}+a_{N+1}+\cdots +a_{M-1}+a_{M}|<\varepsilon }$

gilt.[13] Man bezeichnet dies als das Cauchy-Kriterium, und es kommt ohne Verwendung eines expliziten Grenzwertes aus. Allerdings eignet sich das Cauchy-Kriterium im Rahmen praktischer Konvergenztests von Reihen eher selten. Hierfür sind speziellere, aber dafür leichter handzuhabende Kriterien entwickelt worden, die jedoch nicht allgemeingültig sind (siehe unten). Häufigere Anwendung findet das Cauchy-Kriterium aber innerhalb mathematischer Beweise, etwa wenn aus der Konvergenz einer Reihe eine Schlussfolgerung gezogen werden soll. Ein erstes Beispiel ist die Aussage, dass aus der Konvergenz einer Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ bereits ${\displaystyle a_{n}\to 0}$ für ${\displaystyle n\to \infty }$ folgt, also dass die Folge der Summanden ${\displaystyle a_{n}}$ eine Nullfolge bildet. In der Tat, ist ${\displaystyle \varepsilon >0}$ beliebig gewählt, folgt mit dem Cauchy-Kriterium, angewandt auf den Spezialfall ${\displaystyle M=N>N(\varepsilon )}$ schon

${\displaystyle |a_{N}|<\varepsilon }$ für alle ${\displaystyle N>N(\varepsilon )}$.

Damit muss ${\displaystyle a_{n}}$ gegen 0 konvergieren. Zu beachten ist, dass die Rückrichtung dieser Aussage nicht richtig ist. Dies ist einer der Gründe schlechthin, weshalb die Theorie der unendlichen Reihen so schwierig ist.

In manchen Fällen müssen auch Reihen der Form ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}=\ldots +a_{-2}+a_{-1}+a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots }$ untersucht werden. Diese heißen konvergent genau dann, wenn die beiden Reihen

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n},\qquad \sum _{n=1}^{\infty }a_{-n}}$

konvergieren.[14]

Hinsichtlich divergenter Reihen ist zu beachten, dass das Phänomen der Divergenz keinesfalls mit der Unbeschränktheit der Partialsummen gleichzusetzen ist. So existieren divergente Reihen, deren Partialsummen beschränkt sind, zum Beispiel

${\displaystyle 1-1+1-1+1-1+\cdots }$

Das Themenfeld der Reihenkonvergenz ist bis heute ein schwieriges Gebiet, und es gibt kein allgemeingültiges und zugleich brauchbares Kriterium, um schnell zu entscheiden, ob eine vorgelegte Reihe konvergiert oder divergiert. Ein Grund hierfür ist, dass es keinen „klaren Übergang“ zwischen Konvergenz und Divergenz gibt. So existiert etwa keine „am langsamsten konvergierende Reihe“, und ebenso keine „am langsamsten divergierende Reihe“.[15] Ist etwa ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(r_{n-1}-r_{n})}$ mit einer Nullfolge ${\displaystyle r_{n}>0}$ konvergent, so auch ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }({\sqrt {r_{n-1}}}-{\sqrt {r_{n}}})}$, und letztere Reihe konvergiert langsamer als die vorherige. Darüber hinaus zeigte Alfred Pringsheim, dass die Glieder einer konvergenten Reihe keinesfalls mit einer „Mindestgeschwindigkeit“ gegen ${\displaystyle 0}$ streben müssen. Es kann sogar jede konvergente Reihe für einen Beweis dieser Behauptung herangezogen werden.[16]

Konvergenzschema einer alternierenden Reihe, also mit wechselnden Vorzeichen gekoppelt mit monoton gegen Null fallenden Summanden

Es gibt unterschiedliche Arten der Konvergenz. Dies betrifft nicht die Konvergenzdefinition, die stets dieselbe ist, sondern die „Güte“ der Konvergenz. So kann man zwei Typen konvergenter Reihen angeben: jene, die gewissermaßen „stabil“ konvergieren, und solche, bei denen größere Vorsicht zum Nachweis einer Konvergenz geboten ist, etwa bei der Umordnung von Summanden innerhalb der Reihe.

Eine Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$ heißt absolut konvergent, wenn auch die zugehörige Reihe der Absolutbeträge ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }|a_{k}|}$ konvergiert. Darin ist ${\displaystyle |\cdot |}$ die Betragsfunktion.

Durch das Summieren der Beträge werden alle möglichen Vorzeichen bzw. Ausrichtungen der ${\displaystyle a_{k}}$ quasi „ignoriert“, was den Nachweis einer Konvergenz erschwert, da dann kein „Wegkürzen“ mehr möglich ist. Etwa ist die alternierende Reihe

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }$

konvergent, nicht aber die harmonische Reihe

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots .}$

Es ist ${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{4}}+\cdots }$ ein erstes Beispiel einer bedingt konvergenten Reihe, also einer, die nicht absolut konvergiert.[17] Zudem zeigt das Beispiel der harmonischen Reihe, dass die Eigenschaft der Glieder, eine Nullfolge zu sein, nicht ausreicht, um Konvergenz zu erreichen. Es lässt sich das Nullfolgenkriterium also nicht umkehren.

Aus mathematischer Sicht ist absolute Konvergenz ein Vorteil, da dies das Rechnen mit Reihen vereinfacht. Etwa ist es im Falle bedingter Konvergenz nicht ohne Weiteres erlaubt, die Reihenfolge der Summanden zu ändern, ohne dabei möglicherweise den Grenzwert zu verändern. Damit entfällt bei bedingt konvergenten Reihen das noch für endliche Summen gültige Kommutativgesetz. Im Gegensatz dazu ist es bei absolut konvergenten Reihen unerheblich, in welcher Reihenfolge summiert wird, da der Grenzwert stets derselbe bleibt.[18] Zusätzlich besagt der Riemannsche Umordnungssatz, dass bei einer bedingt konvergenten Reihe mit reellen Gliedern durch Umordnungen jede reelle Zahl als Grenzwert und auch die Divergenz der neu entstehenden Reihe erzwungen werden kann.

Die absolute Konvergenz kann auch auf Multireihen ausgedehnt werden.[19] Konvergiert ${\displaystyle \textstyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }|a_{m,n}|}$ für jedes ${\displaystyle n}$, und konvergiert ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }|a_{m,n}|\right)}$, dann konvergieren die Reihen

• ${\displaystyle \textstyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m,n}}$ für jedes ${\displaystyle n}$,
• ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{m,n}}$ für jedes ${\displaystyle m}$,
• ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m,n}\right)}$

und es gilt

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m,n}\right)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{m,n}\right)}$.

Die Kurve hat dieselbe Länge wie das entsprechende gerade Segment.

Reihen wurden in der Mathematik hauptsächlich eingeführt, um geometrische Probleme zu lösen. Ihre zunächst eher sporadische Verwendung gewann um 1650 an Bedeutung und war zum Beispiel entscheidend für die Entstehung der Infinitesimalrechnung. Besonders zu Zeiten von Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz wurden viele Ergebnisse erzielt, und ein großer Teil des frühen Wissens um die Reihen geht auf sie zurück.[20]

Obwohl Reihen schon früher gelegentlich vorkamen, wurden sie in der Mathematik erst ab dem 17. Jahrhundert wirklich bedeutsam. Ihre Verwendung erfolgte vor allem im Zusammenhang mit dem Problem der Quadratur und der Abmessung von Kurven durch Einteilung in lineare Segmente (siehe auch Rektifizierbarkeit). Im 17. Jahrhundert versuchten die Mathematiker, neue Methoden für die Quadratur gekrümmter Linien zu finden, die die Schwierigkeiten der sogenannten Exhaustionsmethode vermeiden.[21]

Der Geistliche und Mathematiker Pietro Mengoli veröffentlichte 1650 in seinem Werk Novae quadraturae arithmeticae, seu de additione fractionum Resultate bezüglich unendlicher Reihen und baute seine Argumente auf zwei Axiome auf.[22] Unter anderem fand er die Grenzwerte:[23]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+2)}}={\frac {3}{4}},\quad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+3)(2n+5)}}={\frac {1}{12}}.}$

Ferner fragte er nach dem Grenzwert der Reihe

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+\cdots ,}$

blieb bei dessen Suche aber erfolglos. Dieses Problem wurde später von Jakob Bernoulli aufgegriffen, und schließlich als Basler Problem bekannt. Erst Leonhard Euler fand den korrekten Grenzwert ${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{2}}{6}}}$ mit der Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ im Jahr 1735 und veröffentlichte ihn in seinem Werk De Summis Serierum Reciprocarum.[24]

Isaac Newton im Jahr 1689

Im Jahr 1666 verfasste Newton eine Schrift De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas, die zwar erst 1711 publiziert wurde, aber zuvor in Manuskriptform Wellen schlug. In dieser entwickelte er das heute als Newtonverfahren bekannte Prinzip, Nullstellen einer Funktion numerisch anzunähern. Er betrachtete den Spezialfall analytischer Funktionen, und es gibt nirgends einen Hinweis darauf, dass er das Verfahren auf geometrische Weise erhalten hat. Er wandte diese Technik auf die Umkehrung von Reihen an und gewann unter anderem dadurch die Reihenentwicklungen für Sinus und Kosinus.[25] Durch Inspiration über das von John Wallis verfasste Werk Arithmetica infinitorum entdeckte er zudem die allgemeine Binomialreihe, in heutiger Notation

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{k}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}x^{2}+\cdots \quad (\alpha \in \mathbb {R} ,|x|<1),}$

die sich zur numerischen Annäherung von Wurzeln eignet. Dies geht aus einem Brief von Newton an Leibniz aus dem Jahre 1676 hervor.[26] Newton hat für sein Theorem jedoch nie einen Beweis geliefert, denn für ihn gab es genug numerische und experimentelle Evidenz.[27]

Fast zur gleichen Zeit, ab 1672, befasste sich Gottfried Wilhelm Leibniz mit der Theorie der unendlichen Reihen. Diese spielte eine wichtige Rolle bei seinen späteren Beiträgen zum Aufbau der Infinitesimalrechnung.[28] Leibniz untersuchte Reihen oft mit einer geometrischen Fragestellung oder Anschauung; Beispiele hierfür sind seine Behandlung der geometrischen Reihe[29] und der berühmten Leibniz-Reihe

${\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}},}$

die er über die Geometrie des Kreises erklärte.[30]

Brook Taylor

Im Laufe des 18. Jahrhunderts wurde die hauptsächlich von den gegenseitigen Widersachern Newton und Leibniz initiierte Theorie der unendlichen Reihen systematisch ausgebaut. Einen ersten Höhepunkt erlebte sie durch das Werk Methodus incrementorum von Brook Taylor, das 1715 veröffentlicht wurde. In diesem entwickelte Taylor die heute nach ihm benannte Taylorreihe

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}$

systematisch, also die Möglichkeit, eine hinreichend gute Funktion anhand all ihrer Ableitungen in einem Punkt in Umgebung dieses Punktes zu rekonstruieren. Dabei bezeichnet ${\displaystyle f^{(n)}(a)}$ die ${\displaystyle n}$-te Ableitung der Funktion ${\displaystyle f}$ im Punkt ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle n!:=1\cdot 2\cdot 3\cdots n}$ die Fakultät von ${\displaystyle n}$. Dieser Ansatz war bereits Newton bekannt gewesen, jedoch hatte er diesbezüglich nur kurze Ausführungen geliefert und es bleibt unklar, ob er die Wichtigkeit der Potenzreihen richtig einschätzte.[31] Diese wurde in den folgenden Jahren jedoch zunehmend erfasst. Abraham de Moivre bewies einen Satz über Potenzreihen zu rekursiven Folgen und erkannte, wie andere Mathematiker dieser Zeit, dass diese eng mit sogenannten charakteristischen Polynomen der entsprechenden Rekursion zusammenhingen. Etwa gab Daniel Bernoulli 1728 mit deren Hilfe eine geschlossene Formel für die sonst nur über eine Rekursion definierte Fibonacci-Folge an.[32]

James Stirling argumentierte in seiner 1730 publizierten Methodus differentialis, dass langsam konvergente Reihen „ebenso unnütz“ wie divergente Reihen seien, und präsentierte Verfahren, um die Konvergenz gewisser Reihen zu beschleunigen.[33] Diese sollten auch dazu dienen, die Werte gewisser endlicher Summen schnell ausrechnen oder zumindest approximieren zu können. Unter seinen Entdeckungen fand sich auch die nach ihm benannte Stirlingformel, welche die Fakultät einer natürlichen Zahl über einen asymptotischen Reihenausdruck sehr schnell für große ${\displaystyle n}$ annähert.[34] Die 1742 von Colin Maclaurin veröffentlichte und zeitgleich auch von Leonhard Euler entdeckte und genutzte Euler-Maclaurin-Formel, die die Arbeiten von Newton zur geometry of fluxions aufgriff,[35] ging in eine ähnliche Richtung.[36] Mit ihrer Hilfe konnte Maclaurin neue Beweise zu Aussagen von Newton und Stirling über Taylorreihen anfertigen und die Reihenkonvergenz durch seinen neuartigen Zugang in einigen Fällen beschleunigen.[37]

Leonhard Euler

Besonders wichtige Beiträge zur Theorie der Reihen lieferte jedoch Leonhard Euler. Sie galten als eines seiner Lieblingsthemenfelder, und alleine drei Bände seiner Opera Omnia sind ihnen gewidmet.[38] Zahlreiche bedeutende Entdeckungen Eulers fußen letztlich auf seiner Intuition. Darunter fallen seine Verallgemeinerung der Fakultät über die Gammafunktion,[39] die Lösung des Basler Problems und zahlreiche weitere gefundene Grenzwerte bestimmter Reihen, wie etwa[40]

${\displaystyle {\frac {1}{15}}+{\frac {1}{63}}+{\frac {1}{80}}+{\frac {1}{255}}+{\frac {1}{624}}+\cdots ={\frac {7}{4}}-{\frac {\pi ^{2}}{6}}\quad }$ (die Nenner sind „perfekte Quadrate minus 1, die selbst auch andere Potenzen sind“, etwa ${\displaystyle 16=4^{2}=2^{4}}$ usw.)[41]

sowie seine Entdeckung der Euler-Maclaurin-Formel im Jahr 1732 (Beweis 1736).[42] Euler zog praktischen Nutzen aus dieser Formel, um unendliche Reihen, die langsam konvergieren, schnell numerisch anzunähern. So gab er gute Näherungen für die Werte ${\displaystyle \zeta (3)}$ und ${\displaystyle \zeta (4)}$, wobei ${\displaystyle \zeta (s)}$ die Riemannsche Zeta-Funktion bezeichnet, und fand ${\displaystyle \zeta (2)}$ auf 20 Stellen genau:

${\displaystyle \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\approx 1{,}64493406684822643647.}$

Erwiesenermaßen etablierte Eulers ursprüngliche Methode der Berechnung von ${\displaystyle \zeta (m)}$ für höhere Werte von ${\displaystyle m}$ die numerische Mathematik als ein neues Forschungsgebiet.[43] Neuartig war auch sein Zugang zur Zahlentheorie über unendliche Reihen. Mit dem sog. Satz von Euler zeigte er, dass

${\displaystyle \sum _{p\ {\text{Primzahl}}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+\cdots =\infty }$

gilt und deutete sein Resultat dahingehend, dass Primzahlen dichter in den natürlichen Zahlen liegen müssten als Quadratzahlen. Es war zudem Euler, der als erster divergente Reihen systematisch untersuchte.[44] Dabei entging Euler jedoch keinesfalls die Problematik, welche die Zuweisung eines Summenwertes zu einer divergenten Reihe mit sich bringen konnte. So hatte schon Guido Grandi aus

„${\displaystyle {\frac {1}{2}}=1-1+1-1+\cdots }$“

die Gleichheit ${\displaystyle 0={\tfrac {1}{2}}}$ abgeleitet, und damit die Möglichkeit der Erschaffung der Welt aus dem Nichts „bewiesen“. Später bemerkte man weitere Widersprüche, die durch das unbedarfte Rechnen mit divergenten Reihen entstehen können.[45] Obwohl Euler für seinen Umgang mit divergenten Reihen kritisiert wurde, wird ihm bis heute ein sehr intuitiver Zugang zugestanden. So konnte er einige korrekte Resultate mit dessen Hilfe entdecken, und seine Intuition nahm Ideen aus der Theorie der Limitierungsverfahren, die den Umgang mit divergenten Reihen ab dem 19. Jahrhundert systematisch formalisierte, vorweg.[46]

Nach 1760 entwickelte sich die Theorie der unendlichen Reihen schließlich maßgeblich in die Richtung, die Euler vorgegeben hatte. Der formale Zugang (es wurden etwa Fragen der Konvergenz oft ignoriert, und Terme wurden abstrakt umgeformt) bereitete vielen bemerkenswerten Resultaten den Boden, etwa der Lagrangeschen Inversionsformel, 1768 gezeigt von Joseph-Louis Lagrange in seiner Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries,[47] und der Theorie erzeugender Funktionen von Pierre-Simon Laplace.[48] Im Jahr 1797 konnte Lagrange schließlich die Theorie der analytischen Funktionen konstruieren mit dem Ziel, die Differentialrechnung rein durch formale Betrachtungen aufzubauen.[49]

Augustin-Louis Cauchy

Zu Beginn des 19. Jahrhunderts fand die formale Herangehensweise an die Theorie der unendlichen Reihen, also etwa jenseits von Fragen der Konvergenz, zunehmend Ablehnung. Ziel war es, zu einem „quantitativen Verständnis“ von Reihen zu gelangen. Die erste Arbeit in diese Richtung stammt von Carl Friedrich Gauß aus dem Jahr 1813. Zuvor hatte Joseph Fourier bereits Reihen trigonometrischer Funktionen untersucht, dabei aber einen anderen Ansatz gewählt als vorher Euler und Lagrange. Schließlich gab Augustin-Louis Cauchy die erste systematische Abhandlung eines rein quantitativen Zugangs zur Theorie der Reihen im Jahr 1821. Ein wesentlicher Grund, weshalb die formale Herangehensweise nicht mehr breite Akzeptanz fand, war, dass sie an einen Punkt gelangt war, an der die Analysis nicht weiter wachsen konnte.[50] Cauchy erklärte dazu:

Im weiteren Verlauf verlagerte sich der Forschungsschwerpunkt entsprechend auf den „quantitativen Umgang“ mit Reihen, der sich in vielerlei Hinsicht als schwieriger und gleichzeitig fruchtbarer erwies. So kam die Frage nach Kriterien auf, wie man entscheiden könnte, ob eine unendliche Reihe überhaupt konvergiert. Beiträge in diese Richtung stammen unter anderem von Niels Henrik Abel, Augustin-Louis Cauchy, Peter Gustav Lejeune Dirichlet und Carl Friedrich Gauß. In dieser Zeit machten sich auch Cauchy und Karl Weierstraß um den Aufbau der modernen Funktionentheorie verdient. Besonders Weierstraß verwendete dafür systematisch eine moderne, bis heute gebräuchliche Theorie der Potenzreihen.[52] In seinem 1859 verfassten Artikel Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse.[53] nutzte Bernhard Riemann diese „strenge“ Funktionentheorie, um Primzahlen zu untersuchen. Die Schwierigkeit lag darin, der Reihe

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }$

auch außerhalb ihres Konvergenzbereichs einen „quantitativen Sinn“ zu geben.[54] Zuvor hatte Euler ebenfalls diese sogenannte Zeta-Funktion studiert, jedoch nur als formales Objekt und nicht über den komplexen Zahlen, weshalb ihm strenge Beweise, etwa für ihre Funktionalgleichung, verwehrt geblieben waren. Auch wurden die Unterschiede zwischen bedingter und absoluter Konvergenz herausgearbeitet. So zeigte Riemann im Jahr 1866 den Riemannschen Umordnungssatz.[55] Auch konnten mit Hilfe der Reihen pathologische Beispiele in der Analysis konstruiert werden. Karl Weierstraß zeigte 1872, dass die Weierstraß-Funktion

${\displaystyle W(x):=\sum _{n=1}^{\infty }b^{n}\cos(a^{n}x)}$, mit ${\displaystyle a\in \mathbb {N} _{>1}}$ und ${\displaystyle 0<b<1}$ mit ${\displaystyle ab>1+{\frac {3\pi }{2}}}$

in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ zwar überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist.[56]

Die Theorie der divergenten Reihen wurde jedoch nicht gänzlich verworfen. War sie von Cauchy und Abel noch als „Erfindung des Teufels“ gebrandmarkt worden, lieferte ironischerweise der Abelsche Grenzwertsatz einen Grundstein für eine moderne und widerspruchsfreie Theorie der Limitierungsverfahren divergenter Reihen, die ab der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts von Émile Borel und Ferdinand Georg Frobenius vorangetrieben wurde.[57]

Im Laufe des 20. Jahrhunderts wurde unter anderem eine „strenge“ Theorie der divergenten Reihen, unter Vorbehalt gewisser Voraussetzungen, aufgebaut. Bei diesen Limitierungsverfahren wird, unter Berücksichtigung des quantitativen Verständnisses von Reihen, durch Limesbildung der Konvergenzbegriff verallgemeinert, sodass die Klasse „konvergenter Reihen“ ausgedehnt wird.[58] Der Autodidakt Srinivasa Ramanujan hatte 1910 unter anderem durch die Behauptung

Srinivasa Ramanujan

„${\displaystyle 1+2+3+4+5+6+\cdots =-{\frac {1}{12}}}$“

für Aufmerksamkeit gesorgt, wobei neben weitestgehender Ablehnung (wegen der offensichtlichen Divergenz der Reihe zur linken Seite) der Brite Godfrey Harold Hardy darin eine korrekte „Auswertung“ des Funktionswertes ${\displaystyle \zeta (-1)}$ mit der Riemannschen Zeta-Funktion ${\displaystyle \textstyle \zeta (s):=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}}$ wiedererkannte (siehe auch Summe aller natürlichen Zahlen). Ramanujan hatte, ähnlich wie Leonhard Euler, eine gute Intuition für Limitierungsverfahren gehabt, und damit einige tiefe Resultate vorhergesagt, ohne dafür strenge Beweise anzugeben.[59] Zu seinen zahlreichen Entdeckungen gehörten Reihenformeln wie[60]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+z^{2}+{\frac {z^{4}}{n^{2}}}}}={\frac {\pi }{2z{\sqrt {3}}}}{\frac {\sinh(\pi z{\sqrt {3}})-{\sqrt {3}}\sin(\pi z)}{\cosh(\pi z{\sqrt {3}})-\cos(\pi z)}}\qquad (z\notin e^{\pm {\frac {\pi i}{3}}}\mathbb {N} )}$

und auch[61]

${\displaystyle \alpha \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sinh(2\alpha nk)}{e^{2\alpha ^{2}k}-1}}+\beta \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\beta nk)}{e^{2\beta ^{2}k}-1}}={\frac {\alpha \coth(\alpha n)}{4}}-{\frac {\beta \cot(\beta n)}{4}}-{\frac {1}{2}}n,\qquad (\alpha ,\beta ,n>0,\alpha \beta =\pi ,0<\beta n<\pi ).}$

${\displaystyle \sinh ,\cosh ,\cot }$ und ${\displaystyle \coth }$ bezeichnen respektive den Sinus hyperbolicus, Cosinus hyperbolicus, Kotangens und den Kotangens hyperbolicus, ${\displaystyle e}$ bezeichnet die Eulersche Zahl.

Der Ramanujanexperte Bruce Berndt wies darauf hin, dass unter den Veröffentlichungen im 20. Jahrhundert, die durch Ramanujan vorhergesagte Formeln im Nachhinein bewiesen, ein Großteil zum Thema der unendlichen Reihen gehörte.[62]

Konvergenzklassen in der Theorie der Limitierungsverfahren wurden als unterschiedlich groß erkannt. Zum Beispiel wurde bereits von Abel gezeigt, dass, falls ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ konvergiert, auch der Grenzwert

${\displaystyle \lim _{r\to 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}r^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

existieren muss. Die Umkehrung dieses Resultats ist jedoch nicht richtig: Es existieren Reihen, die sich im obigen Sinne limitieren lassen mit divergenter Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$. Das Resultat Abels, das also eine Konvergenzklasse, nämlich die „klassische Konvergenz“, in eine größere Klasse einbettet, ist Spezialfall eines Abelschen Theorems. Sätze, die hinreichende Bedingungen für Umkehrungen von Abelschen Sätzen herausarbeiten, wurden durch Arbeiten von Alfred Tauber initiiert.[63] Tauber zeigte, dass, falls ${\displaystyle \textstyle \lim _{r\to 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}r^{n}}$ existiert und ${\displaystyle na_{n}\to 0}$, die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ konvergieren muss. Die sogenannten Tauber-Theoreme spielen bis heute in der Zahlentheorie, etwa beim Beweis des Primzahlsatzes, eine bedeutende Rolle.[64] Besonders Godfrey Harold Hardy und John Edensor Littlewood griffen die Ideen Taubers auf und verallgemeinerten sie. Im Jahr 1949 erschien Hardys Buch mit dem Titel Divergent Series.[65]

Auch in der Theorie der Fourierreihen wurden weitere Erfolge erzielt. 1923 konstruierte Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow eine ${\displaystyle L^{1}}$-integrable Funktion, deren Fourierreihe fast überall divergiert.[66] Dies widersprach Vermutungen seines Lehrers Nikolai Nikolajewitsch Lusin, der die punktweise Konvergenz solcher Fourierreihen vermutete. Für quadratintegrable Funktionen (Klasse ${\displaystyle L^{2}}$) vermutete man ebenfalls lange, dass sich Gegenbeispiele finden lassen würden, bis Lennart Carleson 1966 Lusins Vermutung für diese Klasse bewies.[67]

Im weiteren Verlauf des 20. Jahrhunderts wurden Reihen verstärkt auch in formalen algebraischen Rahmen, also jenseits von Konvergenzfragen, als abstrakte Strukturen untersucht. So formen etwa die formalen Potenzreihen ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ mit Koeffizienten ${\displaystyle a_{n}\in R}$ in einem Ring ${\displaystyle R}$ zusammen mit komponentenweiser Addition und dem Cauchyprodukt einen Ring ${\displaystyle R[[z]]}$.[68] Häufig wird die Wahl ${\displaystyle R=\mathbb {C} }$ getroffen. In diesem Fall ist ${\displaystyle \mathbb {C} [[z]]}$ sogar faktoriell.[69] Im Jahr 1959 konnten E. D. Cashwell und C. J. Everett zeigen, dass der Ring der formalen Dirichletreihen isomorph zu einem Potenzreihenring mit abzählbar vielen Veränderlichen, und damit insbesondere faktoriell, ist.[70] Ferner erwies sich der „algebraische“ Umgang mit Reihen auch für die Kombinatorik von großem Nutzen. Diese Initiative wurde unter anderem von George Andrews seit den 1970er Jahren vorangetrieben, der zahlreiche kombinatorische Fragen, etwa zu den Partitionen, durch Reihenumformungen beantworten konnte, und an einem systematischen Ausbau der Theorie sogenannter „${\displaystyle q}$-Reihen“ maßgeblich beteiligt war.[71][72] Allerdings waren derartige Ansätze bereits zu den Zeiten Leonhard Eulers bekannt, der unter anderem den Pentagonalzahlensatz bewies.[73]

Bis zum heutigen Tage sind Konvergenzfragen von Reihen von höchster Bedeutung und keinesfalls gelöst. So wird etwa die Riemannsche Vermutung, eines der sieben Millennium-Probleme, auf dessen Lösung der Preis von 1 Million US-Dollar ausgesetzt ist, von der Konvergenz der Reihe

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{x}}}=1-{\frac {1}{2^{x}}}-{\frac {1}{3^{x}}}-{\frac {1}{5^{x}}}+{\frac {1}{6^{x}}}-{\frac {1}{7^{x}}}+\cdots }$

für alle Werte ${\displaystyle x>{\tfrac {1}{2}}}$ impliziert.[74] Dabei hängt die Möbiusfunktion ${\displaystyle \mu (n)}$ eng mit der Verteilung der Primzahlen zusammen. Bis dato ist lediglich Konvergenz für ${\displaystyle x\geq 1}$ und die Tatsache

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0}$

bekannt, was äquivalent zum Primzahlsatz ist.[75]

Man kann konvergente Reihen gliedweise addieren, subtrahieren oder mit einem festen Faktor (aber nicht einer anderen Reihe) multiplizieren (vervielfachen). Die resultierenden Reihen sind ebenfalls konvergent, und ihr Grenzwert ist die Summe bzw. Differenz der Grenzwerte der Ausgangsreihen bzw. das Vielfache des Grenzwertes der Ausgangsreihe. D. h.:

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }(a_{j}\pm b_{j})=\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}\pm \sum _{j=0}^{\infty }b_{j}=s\pm t}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }Aa_{j}=A\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}=As}$,

wenn ${\displaystyle \textstyle \sum _{j=0}^{\infty }a_{j}=s}$ und ${\displaystyle \textstyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{j}=t}$.[76]

Man kann absolut konvergente Reihen gliedweise miteinander multiplizieren. Die Produktreihe ist ebenfalls absolut konvergent und ihr Grenzwert ist das Produkt der Grenzwerte der Ausgangsreihen. D. h.:[77]

${\displaystyle \sum _{j,k=0}^{\infty }(a_{j}b_{k})=\left(\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)}$

Da die Schreibweise (auf der linken Seite der Gleichung) der Produktreihe mit zwei Indizes in bestimmten Zusammenhängen „unhandlich“ ist, wird die Produktreihe auch in Form des Cauchyprodukts geschrieben. Der Name ergibt sich daraus, dass die Glieder der Produktreihe mit Hilfe des Cauchyschen Diagonalverfahrens gebildet werden, dabei werden die Glieder der Ausgangsfolgen in einem quadratischen Schema paarweise angeordnet, und die (durchnummerierten) Diagonalen dieses Schemas bilden die Produktglieder. Für die Produktreihe braucht man dann nur noch einen einzelnen Index. Die Produktreihe hat dann die folgende Form:

${\displaystyle \sum _{j,k=0}^{\infty }(a_{j}b_{k})=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+\dotsb +a_{n-1}b_{1}+a_{n}b_{0})=\sum _{n=0}^{\infty }\underbrace {\left(\sum _{m=0}^{n}a_{m}b_{n-m}\right)} _{:=c_{n}}}$

Der Satz von Mertens besagt, dass das Produkt ${\displaystyle \textstyle \sum c_{n}}$ beider Reihen ${\displaystyle \textstyle \sum a_{j}}$ und ${\displaystyle \textstyle \sum b_{k}}$ auch noch dann gegen das Produkt der Grenzwerte konvergiert, wenn mindestens eine der beiden Reihen absolut konvergiert.[78] Es konvergiert die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }c_{k}}$ mit ${\displaystyle \textstyle c_{k}=\sum _{j=0}^{k}a_{j}b_{k-j}}$ genau dann für alle konvergenten ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }b_{k}}$, falls ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$ absolut konvergiert.[79]

Anwendungen haben Reihenprodukte zum Beispiel beim Nachweis von Funktionalgleichungen. Setzt man etwa

${\displaystyle \exp(x):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+\cdots ,}$

so konvergiert die betroffene Reihe für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ absolut. Mit dem binomischen Lehrsatz erhält man für ${\displaystyle a_{j}:={\tfrac {x_{1}^{j}}{j!}}}$ und ${\displaystyle b_{k}:={\tfrac {x_{2}^{k}}{k!}}}$:

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x_{1}^{k}x_{2}^{n-k}}{k!(n-k)!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}x_{1}^{k}x_{2}^{n-k}={\frac {(x_{1}+x_{2})^{n}}{n!}}.}$

Damit folgt mit dem Cauchyprodukt für alle ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \exp(x_{1})\exp(x_{2})=\exp(x_{1}+x_{2}),}$

was die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion ist.[80]

Man kann innerhalb einer konvergenten Reihe die Glieder beliebig durch Klammern zusammenfassen. Man kann also beliebig viele Klammern in den „unendlichen Summenausdruck“ einfügen, man darf sie nur nicht innerhalb eines (aus mehreren Termen zusammengesetzten) Gliedes setzen. Der Wert der Reihe ändert sich durch die zusätzlich eingefügte Klammerung dann nicht.

Dies gilt für divergente Reihen im Allgemeinen nicht, was man leicht am folgenden Beispiel erkennt: Die Reihe

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}=1-1+1-1+\dotsb }$

divergiert, während die beklammerte Reihe

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }((-1)^{2k}+(-1)^{2k+1})=(1-1)+(1-1)+\dotsb =0+0+\dotsb =0}$

gegen Null konvergiert und die anders beklammerte Reihe

${\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }((-1)^{2k-1}+(-1)^{2k})=1+(-1+1)+(-1+1)+\dotsb =1+0+0+\dotsb =1}$

gegen noch eine andere Zahl konvergiert.[81]

Andererseits kann man aber keine Klammern ohne Weiteres weglassen. Man kann das aber immer dann, wenn die resultierende Reihe wieder konvergent ist. In diesem Falle bleibt auch der Reihenwert unverändert: Sind die Glieder ${\displaystyle A_{k}}$ einer konvergenten Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }A_{k}}$ selbst in Summenform ${\displaystyle A_{k}=a_{\nu _{k}+1}+\cdots +a_{\nu _{k+1}}}$ (mit ${\displaystyle k=0,1,\dots }$ und ${\displaystyle \nu _{0}=-1}$), so „darf“ man die sie umschließenden Klammern genau dann weglassen, wenn die dadurch entstehende neue Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ wieder konvergiert.[81]

Eine Umordnung einer Reihe wird durch eine Permutation ihrer Indexmenge dargestellt. Ist die Indexmenge zum Beispiel die Menge ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ der natürlichen Zahlen mit Null und ${\displaystyle \sigma \colon \mathbb {N} _{0}\rightarrow \mathbb {N} _{0},\ k\mapsto \sigma (k)}$ eine bijektive Abbildung der natürlichen Zahlen auf sich, so heißt

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{\sigma (k)}}$

eine Umordnung der Reihe[82]

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}.}$

Man kann konvergente Reihen unter Beibehaltung ihres Wertes dann und nur dann beliebig umordnen, wenn sie unbedingt bzw. absolut konvergent sind. Es gilt für unbedingt (oder absolut) konvergente Reihen:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{\sigma (k)}}$ für alle bijektiven ${\displaystyle \sigma \colon \mathbb {N} _{0}\to \mathbb {N} _{0}}$.

Bedingt konvergente Reihen dürfen zur Erhaltung des Grenzwerts nur endlich umgeordnet werden, d. h. ab einem gewissen Index muss für die Umordnung ${\displaystyle \sigma (k)=k}$ gelten. Der Riemannsche Umordnungssatz sagt aus, dass durch geeignete Umordnung einer fixierten, bedingt konvergenten Reihe reeller Zahlen jeder reelle Grenzwert erreicht werden kann.[83]

Ein zentrales Problem der Analysis besteht darin, „komplizierte“ Funktionen zu studieren. Dabei bedeutet „kompliziert“ zum Beispiel, dass die Rechenvorschrift nicht aus einer endlichen Abfolge aus Anwendungen der vier Grundrechenarten besteht. Eine in diesem Sinne „einfache“ Vorschrift wäre: Nimm die Eingangszahl mal Zwei, dann das Ergebnis plus Eins, multipliziere dies mit sich selbst, teile dann alles durch die Drei. In Kurzform: ${\displaystyle \textstyle x\mapsto {\frac {1}{3}}(2x+1)^{2}}$. Jedoch lassen sich sehr viele Phänomene in der Natur nicht so einfach beschreiben. Die Mathematik ist demnach bestrebt, Analyseverfahren nichttrivialer Funktionen zu entwickeln. Solche Verfahren kommen in den unterschiedlichsten Bereichen innerhalb der Mathematik und auch ihrer Anwendungen zum Einsatz.

Haben die betrachteten Funktionen Zielmengen ${\displaystyle B}$, in denen nicht gerechnet werden kann, so ist keine Darstellung als unendliche Reihe möglich.

Eine naheliegende Möglichkeit, „komplizierte“ Funktionen ${\displaystyle f(x)}$ zu konstruieren und untersuchen, ist, sie als Reihe von Funktionen ${\displaystyle f_{n}(x)}$ zu schreiben, wobei jeder einzelne Summand in der Praxis „einfache Eigenschaften“ besitzt:[84]

${\displaystyle f(x):=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\cdots .}$

Anstatt also Folgen von Zahlen kann man auch Folgen von Funktionen betrachten und entsprechend Reihen definieren. Zudem ist zu beachten, dass im Darstellungsbereich alle ${\displaystyle f_{n}}$ notwendigerweise an allen Stellen ${\displaystyle x}$ aus dem Definitionsbereich von ${\displaystyle f}$ definiert sein müssen. Ferner muss im Zielbereich der Funktionen ${\displaystyle f,f_{1},f_{2},\dots }$ die Addition von Termen definiert sein, da sonst keine sinnvolle Reihe gebildet werden kann.

Zudem kommt zur Frage der Konvergenz noch die nach den Eigenschaften der Grenzfunktion ${\displaystyle f}$ hinzu. Meistens wird gefragt: „Falls die ${\displaystyle f_{n}}$ einzeln betrachtet alle stetig/differenzierbar/integrierbar sind, ist es auch die Funktion ${\displaystyle f}$?“ Antworten bzw. hinreichende Entscheidungskriterien auf diese Fragen, liefern Sätze aus der Analysis. Häufig nützt es zum Beispiel, wenn die Funktionenreihe nicht nur in jedem Punkt gegen die Grenzfunktion konvergiert, sondern im Definitionsbereich sogar gleichmäßige Konvergenz vorliegt. In einem solchen Fall ist, falls die ${\displaystyle f_{n}}$ alle stetige Funktionen waren, auch die Grenzfunktion stetig.[85] Ähnliche Voraussetzungen gelten für Beschränktheit (falls alle Partialsummen beschränkt sind),[86] Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit der Grenzfunktion, falls alle Summanden die entsprechenden Eigenschaften haben. Im Gebiet ${\displaystyle [a,b]}$ der gleichmäßigen Konvergenz darf eine Reihe gliedweise integriert werden; ebenso darf sie gliedweise differenziert werden, sofern die entstehende Reihe gleichmäßig konvergiert:[87]

${\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{t_{0}}^{t}f_{n}(x)\mathrm {d} x,\qquad t_{0},t\in [a,b],}$

${\displaystyle \left(\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)\right)'=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}'(x),\qquad x\in [a,b].}$

Es gibt auch hinreichende Kriterien für die Holomorphie der Grenzfunktion. Genauer lässt sich der Weierstraßsche Konvergenzsatz auf unendliche Reihen anwenden:[88] Ist ${\displaystyle f_{n}\colon U\to \mathbb {C} }$ eine Folge holomorpher Funktionen, so konvergiert ${\displaystyle \textstyle f=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$ gegen eine holomorphe Funktion ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$, falls sie in ${\displaystyle U}$ normal konvergiert, d. h. für jeden Punkt ${\displaystyle z\in U}$ gibt es eine Umgebung ${\displaystyle z\in V\subset U}$, sodass

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sup _{w\in V}|f_{n}(w)|<\infty .}$

Umgekehrt kann man fragen, durch welche Reihe sich eine Funktion darstellen lässt. So eine Darstellung nennt sich Reihenentwicklung. Es existieren je nach Kontext verschiedene relevante Reihenentwicklungen für gewisse Klassen von Funktionen.

Bei analytischen Funktionen wird eine Funktion um einen „Definitionspunkt“ herum über Polynome angenähert. Eine Möglichkeit, dies zu realisieren und zu verstehen, besteht darin, die Funktion zunächst sehr stark einzuschränken, also nur Eingabewerte aus einem sehr „kleinen“ Vorrat einzusetzen. Klein bedeutet in diesem Kontext, dass die betrachteten Eingabewerte sehr nahe beieinander liegen. Soll eine Funktion etwa um 0 herum studiert werden, würden Werte wie 0,000001 vielleicht noch in Betracht gezogen, möglicherweise aber nicht mehr 1, geschweige denn 100. In diesem Kontext nennt man die 0 auch den Entwicklungspunkt. Hinter diesem Prinzip steckt eine gewisse Form der „Stetigkeit“: Wurde eine analytische Funktion im Punkt 0 gut verstanden, so lässt sich daraus schon auf ihr Verhalten in zum Beispiel 0,000001 schließen, und das nur anhand der vier Grundrechenarten. Präziser wird die Annäherung über Polynome realisiert, also Ausdrücke wie ${\displaystyle x+2}$, ${\displaystyle x^{3}-4x^{2}+3x-1}$ und ganz allgemein

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}.}$

Eine analytische Funktion kann also um jeden Wert ihres Definitionsbereichs durch Anwendung der Grundrechenarten entwickelt werden. Dabei ist zu beachten, dass es sich bei hinreichend „komplizierten“ Funktionen nur um eine Näherung handelt. Eine zentrale Eigenschaft der Analytizität ist aber, dass für solche komplizierten Funktionen beliebig lange Polynomketten, also addierte ${\displaystyle x^{n}}$-Terme, zur Annäherung gefunden werden können. Je länger diese Terme sind, desto besser. Lässt man diesen Prozess gegen Unendlich streben, ist die Annäherung in den umliegenden Punkten perfekt, es herrscht also Gleichheit. In diesem Sinne sind also analytische Funktionen, zumindest lokal, gerade „unendlich lange Polynome“. Diese werden auch als Potenzreihen bezeichnet. Obwohl dabei unendlich viele Terme addiert werden, kann Konvergenz vorliegen, wenn das Funktionsargument nahe genug am Entwicklungspunkt liegt. Wählt man zum Beispiel den Entwicklungspunkt 0 und für die Koeffizienten die Dezimalstellen der Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$, also

${\displaystyle f(x):=3+x+4x^{2}+x^{3}+5x^{4}+9x^{5}+2x^{6}+6x^{7}+\cdots ,}$

so gilt

${\displaystyle f\left({\frac {1}{10}}\right)=3+{\frac {1}{10}}+{\frac {4}{100}}+{\frac {1}{1000}}+{\frac {5}{10000}}+\cdots =3{,}1415926\dotsc =\pi .}$

Für Werte ${\displaystyle |x|<{\tfrac {1}{10}}}$ wird dann ${\displaystyle f(x)}$ „erst recht“ endlich sein. Diesem Gedanken folgend kann man etwa über das Majorantenkriterium (siehe unten) zeigen, dass Potenzreihen entweder überall oder innerhalb von Intervallen (für komplexe Zahlen Kreisscheiben) mit dem Entwicklungspunkt als Zentrum konvergieren.

Sinus und Kosinus bilden die Länge eines Kreisbogens auf die Länge zweier gradliniger Lote ab. Zu beachten ist, dass die Kreisbogenlänge b eigentlich der krummen „Strecke“ zwischen den Punkten A und B (sprich b = OAB) entspricht. Wegen der Wahl Radius = r = 1 beträgt der volle Kreisumfang ${\displaystyle 2\pi }$ Längeneinheiten, was auch im dimensionslosen Maß genau 360 Grad entspricht und damit eine Identifizierung des Kreisbogens mit dem einschließenden Winkel erlaubt.

Beispiel: Eine in der Schule behandelte Funktion, die sich im Allgemeinen nicht durch nur endlichfache Anwendung der vier Grundrechenarten berechnen lässt, ist der Sinus, also die Vorschrift ${\displaystyle x\mapsto \sin(x)}$. Hier wird die Vorschrift zunächst nicht über eine Zahlenrechnung, sondern geometrisch erklärt. Zur Länge eines Kreisbogens soll die zugehörige gerade Strecke gefunden werden, die den Endpunkt des Bogens mit der Grundachse verbindet, analog beim Kosinus (siehe Bild). Alle betrachteten Strecken haben Längen, im Verhältnis zur Einheit dimensionslos, also entspricht dies einer Abbildung von Zahlen auf Zahlen. Krumme Kreislinien („komplizierte Strecken“) werden auf ungleich lange gerade Linien („einfache Strecken“) abgebildet, was vermuten lässt, dass sich diese Umrechnung nicht in einfacher Weise mit den vier Grundrechenarten darstellen lässt. Es zeigt sich jedoch, dass der Sinus eine analytische Funktion ist, weshalb eine Annäherung durch einfache Terme möglich ist. Es gilt zum Beispiel für sehr kleine Werte von ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \sin(x)\approx x-{\frac {x^{3}}{6}}.}$

Dies entspricht einem „Studium“ der Sinusfunktion in oben erklärtem Sinne, da die komplizierte Sinusfunktion durch eine einfache Abbildung ${\displaystyle \textstyle x\mapsto x-{\frac {x^{3}}{6}}}$ angenähert wurde. Dabei war der Entwicklungspunkt 0, in der Tat ist wegen ${\displaystyle \sin(0)=0}$ die Annäherung hier perfekt, doch auch für umliegende Werte ist sie brauchbar. Es gilt zum Beispiel ${\displaystyle \sin(0{,}2)=0{,}1986693308\dots }$ und ${\displaystyle \textstyle 0{,}2-{\frac {0{,}2^{3}}{6}}=0{,}1986666\dots }$. Zur exakten Berechnung erhält man für den Sinus[89]

${\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{7}}{5040}}+{\frac {x^{9}}{362880}}-{\frac {x^{11}}{39916800}}+{\frac {x^{13}}{6227020800}}-{\frac {x^{15}}{1307674368000}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},}$

wobei ${\displaystyle$ !} die Fakultät bezeichnet. Die Formel erweitert sich auch auf alle komplexen Zahlen und setzt den Sinus dort als holomorphe Funktion fort, wobei dort keine geometrische Interpretation über Dreiecke mehr zur Verfügung steht, aber im Gegenzug die enge Verbindung zur komplexen Exponentialfunktion deutlicher wird.

Über das Beispiel des Sinus erklärt sich auch das allgemeine Verfahren zum Aufstellen einer Taylorreihe zu einer analytischen Funktion ${\displaystyle f(x)}$. Wird als Entwicklungspunkt ${\displaystyle x_{0}}$ gewählt, so gilt die Formel

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n},\quad }$ mit ${\displaystyle f^{(n)}(x_{0})=n}$-te Ableitung von ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$,

für alle ${\displaystyle x}$, die nahe genug an ${\displaystyle x_{0}}$ liegen. Dabei bezeichnet ${\displaystyle f^{(n)}(x_{0})}$ die ${\displaystyle n}$-te Ableitung von ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$. Genau genommen muss ${\displaystyle |x-x_{0}|<R}$ gelten, wobei die Zahl ${\displaystyle R}$ den Konvergenzradius der Taylorreihe bezeichnet.[90] Ist der Entwicklungspunkt ${\displaystyle x_{0}=0}$, spricht man gelegentlich auch von einer Maclaurinschen Reihe.[91] Sind auch negative ganzzahlige Exponenten von ${\displaystyle (x-x_{0})}$ vorhanden, verallgemeinert sich das Konzept zu Laurent-Reihen.

Beispiel: Approximation der Zahl ${\displaystyle {\sqrt {26}}}$

Taylorentwicklungen lassen sich zum Beispiel an der Wurzelfunktion ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}$ demonstrieren, etwa um den Punkt ${\displaystyle c=25}$. Diese ist dort analytisch, man hat die Ableitungen ${\displaystyle \textstyle ({\sqrt {x}})'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$ und ${\displaystyle \textstyle ({\sqrt {x}})''=-{\frac {1}{4{\sqrt {x}}^{3}}}}$. Also gilt mit der Taylor-Formel die Approximation ${\displaystyle {\sqrt {x}}\approx {\sqrt {25}}+{\frac {1}{2{\sqrt {25}}}}(x-25)-{\frac {1}{8\cdot {\sqrt {25}}^{3}}}(x-25)^{2}=5+{\frac {1}{10}}(x-25)-{\frac {1}{1000}}(x-25)^{2}}$ für Zahlen ${\displaystyle x}$, die nahe an ${\displaystyle 25}$ liegen. Der Ausdruck ${\displaystyle \textstyle 5+{\tfrac {1}{10}}(x-25)-{\tfrac {1}{1000}}(x-25)^{2}}$ auf der rechten Seite kann, wie oben, durch Anwendung nur der vier Grundrechenarten schnell berechnet werden. Er stimmt nach Einsetzen von ${\displaystyle x=25}$ exakt mit dem Funktionswert ${\displaystyle 5}$ überein, doch auch in der näheren Umgebung von ${\displaystyle 25}$ ist die Annäherung noch sehr genau. Man hat etwa ${\displaystyle {\sqrt {26}}\approx 5+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{1000}}=5{,}099}$ und es gilt für den exakten Wert ${\displaystyle {\sqrt {26}}=5{,}0990195\dots }$.

Die Theorie der analytischen Funktionen wird erst über den komplexen Zahlen vollständig erfassbar. Hier spricht man synonym von holomorphen Funktionen und es gilt der Cauchysche Entwicklungssatz: Ist ${\displaystyle c\in U}$ mit offenem ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle B_{r}(c)}$ die größte Kreisscheibe um ${\displaystyle c}$ in ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ holomorph, so ist ${\displaystyle f}$ um ${\displaystyle c}$ in eine Taylorreihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$ entwickelbar, die in ${\displaystyle B_{r}(c)}$ auf kompakten Teilmengen absolut und gleichmäßig konvergiert. Die Koeffizienten sind gegeben durch[92]