Zahl

12500 Jahre alter, gekerbter Zählknochen aus der Grotte de Thais im französischen Vercors (Musée de Valence, Art et Archéologie)

Über das Zahlenverständnis von Menschen in der Zeit vor einer ersten schriftlichen Überlieferung lässt sich wegen fehlender Belege kaum Sicheres sagen. Die Bedeutung regelmäßiger Anordnungen von Strichen oder Kerben, die sich aus dieser Zeit erhalten haben, kann in der Regel nur vermutet werden.

Hinweise zur Vorstellung von Zahlen in einer vorgeschichtlichen Kultur können hingegen die jeweiligen Sprachen möglichst früher, geschichtlich dokumentierter Nachfolgerkulturen oder auch heute noch existierende, verwandte Sprachen sowie die bekannten Sprachen von alten, ähnlichen Kulturen geben. Durch systematische Vergleiche verschiedener Sprachen können Übereinstimmungen und Unterschiede zwischen diesen festgestellt werden, so dass die Eigenheiten jeder Sprache und Sprachgruppe ermittelt sowie gemeinsame oder verschiedene Herkünfte in gewissem Umfang gefunden werden können. So ergeben sich auch bei den Zahlwörtern Strukturen, die Rückschlüsse auf das Zahlenverständnis erlauben.[10]

Der fundamentale und überall in menschlichen Sprachen erkennbare Zahlbegriff – die Vorstellung von Zahlen – ist der von der unterschiedlich großen Anzahl bzw. Menge bestimmter Gegenstände, was am ehesten in der heutigen Mathematik dem Begriff der Kardinalzahl entspricht.[11] Am Anfang wird wohl der elementare Gegensatz von Einzahl und Mehrzahl gestanden haben, dem die weitere Aufteilung der Mehrzahl folgte.[12] In der Sprache der Pirahã in Brasilien etwa sind lediglich drei oder sogar nur zwei Wörter („wenig“ und „viel“) für relative Größenangaben bekannt.[13] Versuche, manchen Vertretern dieses Volkes das Zählen beizubringen, schlugen fehl.[14] Es gibt auch ethnologische Berichte über ein Volk in Südafrika und von vielen Völkern australischer Ureinwohner,[15] die in ihren Sprachen jeweils nur die Zahlwörter „ein“, „zwei“ und „viel“ kennen. Das Gleiche findet sich auch in indoeuropäischen Sprachen in Form des Singulars, des Duals (z. B. im Griechischen, im Latein und früher auch in germanischen Sprachen) und des Plurals von Substantiven wieder.[16][17]

Um „viel“ weiter unterscheiden und genauere Anzahlen sagen zu können, bildeten andere Völker weitere Zahlwörter.[18] Bis höchstens zehn (für größere Zahlen würden die Zahlwörter zu lang werden) ist dies einfach dadurch möglich, dass „zwei“ additiv so oft wiederholt wird, wie sie in der entsprechenden Zahl enthalten ist, und bei einer ungeraden Zahl wird noch ein „ein“ hinzugefügt. Einen anderen Weg, Wörter für größere Zahlen zu erhalten, haben Sprachen beschritten, die für kleinere Zahlen zusätzliche eigene Worte wie „drei“, „vier“ oder „fünf“ erfanden und diese wiederum additiv oder multiplikativ, z. B. „vier-zwei“ für acht,[19] zu neuen größeren Zahlen verbanden. Für die Bildung von wesentlich größeren Zahlen als zehn wird es notwendig, große Zahlen zu neuen, größeren Einheiten zusammenzufassen und für diese neue Zahlworte zu finden,[20] etwa in Stufen zu „zehn“, „hundert“ usw.

Auf diese Art lassen sich so große Zahlen bilden, dass es für deren genaue Erfassung erforderlich wird, eine entsprechende Anzahl von Gegenständen zu zählen. Dabei muss jedoch noch keine Trennung der Zahlen von der Art der gezählten Gegenstände vorliegen: bei manchen Sprachen gibt es so genannte Zählklassen, die für die gleiche Zahl jeweils ein eigenes Zahlwort haben.[21] So benutzt man für die gleiche Anzahl Lebewesen ein anderes Wort als bei langen Gegenständen, bei runden Gegenständen ein drittes Wort und bei noch anderen Gegenständen weitere Wörter.

Mit der Loslösung von der Art der Gegenstände, also wenn unabhängig von den gezählten Gegenständen das gleiche Zahlwort für die gleiche Anzahl benutzt wird, erhalten Zahlen Selbstständigkeit und werden als etwas Eigenes aufgefasst. Bei indoeuropäischen Sprachen ist dies allgemein für Zahlen größer als vier zu beobachten. Hier scheint es ursprünglich eine Stufung mit vier gegeben zu haben,[22] später wurden die Zahlen offenbar noch in mehreren Schritten erweitert (das erkennt man z. B. im Deutschen am Unterschied zwischen „dreizehn“ und „dreiundzwanzig“). Neben Zusammenfassungen von jeweils zwei, drei oder vier treten weltweit auch häufig noch Sprachen auf mit Stufen von fünf, zehn, zwölf oder zwanzig sowie mit Mischformen von diesen.[23][24]

Fragment des Papyrus Rhind, pBM 10057

Der nach der letzten Kaltzeit (nach 10.000 v. Chr.)[25] in der Mittelsteinzeit einsetzende Klimawandel[26] führte zur Austrocknung großer Gebiete von der Sahara im Westen bis zur Mongolischen Steppe im Osten. Die zunehmende Bevölkerung der betroffenen Gebiete wanderte in die Flussoasen, wo sich mit der Zeit differenziertere städtische Gesellschaften entwickelten. Mit der Erfindung der Schrift bei den frühen Hochkulturen an Euphrat und Tigris (Mesopotamien), am Nil (Altes Ägypten), am Indus (Indus-Kultur) und am Gelben Fluss (Altes China) begann zwischen dem Ende des 4. und dem Anfang des 3. Jahrtausends v. Chr. die geschichtliche Zeit.[27][28] Von Beginn an entstanden zusammen mit der Schrift auch Zahlzeichen, da offenbar beides zur Verwaltung der immer stärker organisierten Gesellschaften benötigt wurde.

Im alten Ägypten fand spätestens seit ca. 3000 v. Chr. zur Darstellung natürlicher Zahlen ein additives Zahlensystem zur Basis 10 Verwendung.[29] Dort wurden bereits die Grundrechenarten der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division betrieben. Für die ersteren beiden gab es besondere Schriftzeichen.[30] Besonders bedeutsame Zeugnisse mathematischer Fähigkeiten dieser Kultur sind der Moskauer Papyrus und der Papyrus Rhind – beide in hieratischer Schrift verfasst in der Zeit zwischen 2000 v. Chr. und 1800 v. Chr. Aus diesem lässt sich über die natürlichen Zahlen hinausgehend eine besondere Notation für Stammbrüche entnehmen. Andere Verhältnisse wurden systematisch in Summen von Stammbrüchen überführt (${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ besaß jedoch auch ein eigenes Zeichen).[31] Motivation der altägyptischen Mathematik waren meist Bauwesen, Landvermessung und Wirtschaft, Beweise finden sich nicht.[32] Jedoch finden sich auch Probleme, die als humorvoll oder unterhaltsam intendiert interpretiert werden.[33][34][35]

Ebenfalls gibt es reichhaltige mathematische Zeugnisse aus dem Mesopotamien des Altertums. In sumerischer Zeit entwickelte sich dort ein additives Zahlensystem, basierend auf den Basen 10 und 60. Aus altbabylonischer Zeit zwischen 1.800 und 1.600 v. Chr. gibt es zahlreiche Funde mit weitergehenden Errungenschaften: Es entstand ein sexagesimales Stellenwertsystem, jedoch mit der Einschränkung, dass es keine Ziffer Null gab und die Notation daher uneindeutig war. Innerhalb dieses Systems wurden auch allgemeinere rationale Zahlen in einer der heute gebräuchlichen Dezimalbruchentwicklung entsprechenden Weise dargestellt, d. h., es konnten etwa ${\displaystyle {\tfrac {1}{60}}}$- und ${\displaystyle {\tfrac {1}{3600}}}$-Stellen gebraucht werden. Auf diese Weise nicht darstellbare Brüche oder (in moderner Sprechweise) Logarithmen, wie sie bei der Zinsrechnung auftraten, wurden näherungsweise dargestellt. In Gestalt des babylonischen Wurzelziehens wurden auch systematische Approximationen vorgenommen.[36] Zudem wurden Lösungen für quadratische, kubische und biquadratische Gleichungen gefunden. Diese Gleichungen wurden mit geometrischen Begriffen beschrieben (ein in moderner Sprechweise in solchen Gleichungen auftretendes Quadrat wurde als Flächeninhalt beschrieben, von dem etwa eine Seitenlänge subtrahiert wird, dass als Flächeninhalte und als Längen bezeichnete Größen addiert werden konnten, legt jedoch ein recht abstraktes, algebraisches Verständnis nahe).[37][38] Diese Errungenschaften entstammten praktischen Bedürfnissen von Wirtschaft, Bauwesen und Astronomie.[39]

Aus dem antiken Griechenland sind eine Vielzahl mathematischer Erkenntnisse überliefert. Erstmals (soweit bekannt) kam es hier zum ausgeprägten Verständnis von Beweisen,[40] durch die die Ergebnisse in einer der heutigen Mathematik nahekommenden Strenge bewiesen wurden. Besondere Bedeutung hatte ab dem 6. Jahrhundert v. Chr. die Schule der Pythagoreer, gegründet von Pythagoras von Samos (ca. 570–510 v. Chr.), der vermutlich durch Reisen nach Ägypten, Mesopotamien und evtl. Indien beeinflusst war.[41] In dieser religiösen Gruppierung trennte sich die Mathematik vom aus den Notwendigkeiten des Alltags entspringenden Rechnen,[42] wobei (natürliche) Zahlen eine zentrale Rolle spielten. Die Überlieferungslage bezüglich dieser Zeit der Mathematikgeschichte, den mutmaßlich etwas früher lebenden Thales von Milet mit eingeschlossen, ist allerdings noch dünn, die meisten Dokumente stammen aus späterer Zeit, so dass sich nicht sicher sagen lässt, welche Konzepte dort schon bekannt waren, und mit welcher Methodik verfahren wurde.[43]

Aus nicht vollständig geklärten Gründen legte die darauffolgende griechische Mathematik großen Wert auf die Geometrie, trotz des Einflusses der Pythagoreer, unter denen die Arithmetik als grundlegend aufgefasst worden war.[44] Bedeutende Protagonisten waren hier Eudoxos von Knidos (* zw. ca. 397 und 390 v. Chr., † zw. ca. 345 und 338 v. Chr.) und Euklid (ca. 360–280 v. Chr.).

Bezüglich des Zahlbegriffs der Griechen muss festgestellt werden, dass sie nicht über ein Konzept rationaler Zahlen als algebraische Objekte oder Erweiterung der natürlichen Zahlen verfügten. Die aus moderner Sicht oft als Aussagen über solche interpretierten Ergebnisse wurden geometrisch als Aussagen über Längen- und Flächenverhältnisse formuliert: Eine Länge oder Fläche konnte ein ganzzahliges Vielfaches einer anderen sein, dementsprechend lassen sich Verhältnisse zwischen zwei solchen Vielfachen einer Länge oder Fläche im heutigen Verständnis als (positive – mit negativen Zahlen vergleichbare Konzepte waren nicht vorhanden) rationale Zahlen beschreiben, im griechischen Verständnis von Zahlen waren sie jedoch nicht enthalten. Erst recht gab es keine irrationalen Zahlen in der griechischen Mathematik – es traten lediglich geometrische Verhältnisse auf, die keinem Verhältnis von zwei ganzzahligen Vielfachen einer Größe entsprachen; man spricht von Inkommensurabilität.[45][46] Selbst die Eins wurde bei Euklid nicht zu den Zahlen gezählt.[47][48]

Die Existenz der inkommensurablen Verhältnisse war spätestens seit Aristoteles (384–322 v. Chr.), der einen recht allgemeinen Beweis lieferte, womöglich aber schon vor 400 v. Chr.[49] in Griechenland bekannt. Dies zeigte die Unmöglichkeit des pythagoreischen Ansatzes, die in der Geometrie auftretenden Verhältnisse mittels der Arithmetik zu beschreiben – in heutiger Begrifflichkeit eine Unzulänglichkeit der rationalen Zahlen.[50] Der Übergang zu einer geometrischen Grundlegung, die den Umgang mit solchen Verhältnissen erlaubte, wird maßgeblich auf Eudoxos zurückgeführt, der selbst noch Schüler des bedeutenden Pythagoreers Archytas von Tarent gewesen war, der die Arithmetik als einzige mögliche Grundlage für Beweise ansah.[51]

Eudoxos lieferte eine Definition der Gleichheit zweier geometrischer Verhältnisse (von Längen oder Flächen): Zwei Verhältnisse sind demzufolge gleich, wenn alle – in moderner Interpretation – rationalen Verhältnisse, die kleiner bzw. größer sind als das eine Verhältnis, auch kleiner bzw. größer sind als das andere.[52] Diese Definition gilt sogar analog für den heutigen Begriff der reellen Zahlen. Einige Stimmen sahen oder sehen hierin bereits ein Vorhandensein der reellen Zahlen in der griechischen Mathematik.[53][54][55] Diese Aussagen sind jedoch problematisch:[55] Zum einen war eben nicht einmal das Konzept der rationalen Zahlen vorhanden, zum anderen wurde nichts darüber ausgesagt, dass bestimmte Verhältnisse existieren, so dass diese etwa ordnungsvollständig sind, sondern vielmehr durch die Geometrie gegebene Verhältnisse untersucht. In jedem Fall ermöglichte diese Definition eine Vielzahl von Beweisen, deren Techniken wie die Exhaustionsmethode als Vorläufer heutiger Begriffe der Analysis gelten, wobei gewisse Abschätzungen bereits eine zentrale Rolle spielten. Zudem war Richard Dedekind bei seiner Definition der reellen Zahlen eigenen Angaben zufolge durch Eudoxos inspiriert.[55]

Archimedes, ein Gemälde von Domenico Fetti aus dem Jahr 1620

Archimedes von Syrakus (287–212 v. Chr.), der aufbauend auf Eudoxos besonders weitreichende Beweise für bestimmte geometrische Verhältnisse sowie bestimmte Näherungen lieferte, gilt auch als erste Person, die infinitesimale Größen einführte: Im Archimedes-Palimpsest wandte er ein Prinzip vergleichbar dem Prinzip von Cavalieri an, bei dem eine Fläche in unendlich viele infinitesimale Linien zerlegt wird. Eine solche Vorgehensweise entsprach schon damals nicht den Ansprüchen an einen mathematischen Beweis, Archimedes sah in diesem mechanisch motivierten Verfahren jedoch ein nützliches Werkzeug, um an ein Problem heranzugehen und später einfacher einen korrekten Beweis finden zu können.[56] Die Existenz von von Null verschiedenen infinitesimalen Größen widerspricht der Definition des Eudoxos von Gleichheit und auch dem von Archimedes selbst aufgestellten sogenannten Archimedischen Axiom.

Die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 … oder 0, 1, 2, 3, 4, 5 … bilden diejenige Menge von Zahlen, die üblicherweise zum Zählen verwendet wird, wobei je nach Definition die Null mit eingeschlossen wird oder nicht. Die natürlichen Zahlen sind mit einer Ordnung („kleiner“) versehen. Es gibt ein kleinstes Element (je nach Definition die Null oder die Eins), und jedes Element hat einen Nachfolger und ist kleiner als sein Nachfolger. Indem man ausgehend vom kleinsten Element immer wieder den Nachfolger bildet, erreicht man schließlich jede natürliche Zahl und sukzessive immer weitere, so dass es ihrer unendlich viele gibt. Die natürlichen Zahlen sind zudem mit Addition und Multiplikation versehen, je zwei natürlichen Zahlen lassen sich damit eine Summe und ein Produkt zuordnen, die wieder natürliche Zahlen sind. Diese Operationen sind assoziativ und kommutativ, zudem sind sie im Sinne des Distributivgesetzes miteinander verträglich: ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$. Diese drei Eigenschaften sind auch grundlegend für viele allgemeinere Zahlbereiche wie die ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen. Die Ordnung der natürlichen Zahlen ist in gewisser Hinsicht mit der Addition und Multiplikation verträglich: Sie ist verschiebungsinvariant, d. h., für natürliche Zahlen ${\displaystyle m,n,o}$ folgt aus ${\displaystyle m\leq n}$ auch ${\displaystyle m+o\leq n+o}$, zusätzlich zur Verschiebungsinvarianz folgt auch ${\displaystyle m\cdot o\leq n\cdot o}$.

Die Existenz der Menge aller natürlichen Zahlen wird in der Mengenlehre durch das Unendlichkeitsaxiom sichergestellt.

Diese Menge wird mit ${\displaystyle \mathbb {N} }$ oder ${\displaystyle \mathbf {N} }$ bezeichnet.

In der Menge der natürlichen Zahlen existiert für zwei Zahlen ${\displaystyle n<m}$ keine natürliche Zahl ${\displaystyle d}$, sodass ${\displaystyle m+d=n}$. Die ganzen Zahlen erweitern die natürlichen Zahlen so, dass für zwei beliebige Elemente eine solche Zahl ${\displaystyle d}$ existiert. Hierzu fügt man die negativen Zahlen den natürlichen Zahlen hinzu: Zu jeder natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$ existiert eine zweite ganze Zahl ${\displaystyle -n}$, so dass ${\displaystyle n+(-n)=0}$, welche als additives Inverses bezeichnet wird. Die obige Zahl ${\displaystyle d}$, genannt Differenz, ist dann als ${\displaystyle n+(-m)}$, kurz ${\displaystyle n-m}$, gegeben. Hierdurch ist die Subtraktion auf den ganzen Zahlen definiert, die jedoch im Wesentlichen eine Kurzschreibweise darstellt.

Die Ordnung über den natürlichen Zahlen wird auf die ganzen Zahlen erweitert. Hierbei gibt es kein kleinstes Element mehr; dafür hat jedes Element einen Vorgänger und einen Nachfolger (der Vorgänger der ${\displaystyle 0}$ ist die ${\displaystyle -1}$, der der ${\displaystyle -1}$ die ${\displaystyle -2}$ etc.). Die Verträglichkeit mit der Addition, die Verschiebungsinvarianz, bleibt dabei erhalten. Zudem ist das Produkt von zwei ganzen Zahlen größer Null stets wiederum größer Null.

Die ganzen Zahlen bilden einen Ring.

Die Menge der ganzen Zahlen wird mit ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ oder ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ bezeichnet.

Ebenso wie die natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen erweitert werden, um ein additives Inverses und die Subtraktion zu erhalten, erweitert man die ganzen Zahlen zu den rationalen Zahlen, um ein multiplikatives Inverses und die Division zu erhalten. D. h., die rationalen Zahlen enthalten die ganzen Zahlen, und zu jeder ganzen Zahl ${\displaystyle z\neq 0}$ fügt man die ${\displaystyle {\tfrac {1}{z}}}$ genannte Zahl (Stammbruch) als multiplikatives Inverses hinzu, so dass ${\displaystyle \textstyle z\cdot {\frac {1}{z}}=1}$. Zudem soll das Produkt zweier beliebiger rationaler Zahlen definiert sein, allgemein erhält man rationale Zahlen der Form ${\displaystyle \textstyle {\frac {x}{y}}=x\cdot {\frac {1}{y}}}$, genannt Bruch, wobei eine ganze Zahl ${\displaystyle z}$ mit dem Bruch ${\displaystyle \textstyle {\frac {z}{1}}}$ identifiziert wird. Für ganze Zahlen ${\displaystyle t\neq 0}$ werden die Brüche ${\displaystyle \textstyle {\frac {x}{y}}}$ und ${\displaystyle \textstyle {\frac {t\cdot x}{t\cdot y}}}$ miteinander identifiziert; diese Identifizierung wird auch als Erweitern und Kürzen bezeichnet. Somit erhält man eine mit der Multiplikation ganzer Zahlen kompatible Multiplikation und Division.

Mittels der Dezimalbruchdarstellung lässt sich eine mit der Ordnung der ganzen Zahlen kompatible Ordnung definieren, die auch die Verträglichkeit mit Addition und Multiplikation erhält.

Die rationalen Zahlen bilden einen (geordneten) Körper. Die Konstruktion der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen wird verallgemeinert als Quotientenkörperbildung zu einem Ring.

Die Menge der rationalen Zahlen wird mit ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ oder ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ bezeichnet. In der (deutschen) Schulmathematik kommt daneben die Bezeichnung ${\displaystyle \mathbb {B} (:=\mathbb {Q} _{0}^{+})}$ vor („Menge der (positiven) Bruchzahlen“), wenn die positiven Brüche vor den negativen ganzen Zahlen eingeführt werden.

Mit der Addition und Multiplikation ganzer oder rationaler Zahlen lassen sich sogenannte Polynomfunktionen definieren: Jeder ganzen bzw. rationalen Zahl wird dabei eine Summe von Potenzen multipliziert mit konstanten Zahlen (Koeffizienten) zugeordnet. Etwa einer beliebigen Zahl ${\displaystyle x}$ der Wert ${\displaystyle \textstyle 12\cdot x^{0}+4\cdot x^{2}+\left(-{\frac {1}{2}}\right)\cdot x^{3}}$ definiert als ${\displaystyle \textstyle 12+4\cdot x\cdot x+\left(-{\frac {1}{2}}\right)\cdot x\cdot x\cdot x}$. Für viele solcher Polynomfunktionen existiert keine rationale Zahl, so dass der Wert der Polynomfunktion an dieser Stelle gleich Null wird (Nullstelle). Fügt man nun Nullstellen bestimmter Polynomfunktionen den rationalen Zahlen hinzu, wobei Multiplikation und Addition wohldefiniert bleiben, erhält man eine algebraische Erweiterung. Erweitert man die rationalen Zahlen um solche Nullstellen für alle nicht-konstanten Polynome, erhält man die algebraischen Zahlen. Erweitert man die ganzen Zahlen um Nullstellen für alle nicht-konstanten Polynome, deren Koeffizienten ganzzahlig sind und deren Koeffizient zur höchsten Potenz ${\displaystyle 1}$ ist, so erhält man die ganzalgebraischen Zahlen.

Algebraische Erweiterungen werden in der Körpertheorie, insbesondere in der Galois-Theorie, untersucht.

Betrachtet man Probleme wie etwa das Finden von Nullstellen von Polynomfunktionen über den rationalen Zahlen, stellt man fest, dass sich in den rationalen Zahlen beliebig gute Näherungen konstruieren lassen: Etwa findet sich bei zahlreichen Polynomfunktionen zu jeder festgelegten Toleranz eine rationale Zahl, so dass der Wert der Polynomfunktion an dieser Stelle höchstens um die Toleranz von der Null abweicht. Zudem kann man die Näherungslösungen so wählen, dass sie „nah beieinander“ liegen, denn Polynomfunktionen sind stetig („weisen keine ‚Sprünge‘ auf“). Dieses Verhalten tritt nicht nur bei Nullstellen von Polynomfunktionen auf, sondern auch bei zahlreichen weiteren mathematischen Problemen, die eine gewisse Stetigkeit aufweisen, so dass man dazu übergeht, die Existenz einer Lösung zu garantieren, sobald beliebig gute Näherungen durch nahe beieinander gelegene rationale Zahlen existieren. Eine solche Lösung nennt man eine reelle Zahl. Um die Existenz solcher Lösungen zu zeigen, reicht es, zu fordern, dass es zu jeder Menge rationaler Zahlen, die nicht beliebig große Zahlen enthält, unter den reellen Zahlen, die größer oder gleich als all diese Elemente der Menge sind, eine kleinste gibt. Alternativ lassen sich die reellen Zahlen explizit als Folgen von rationalen Zahlen, die sich einander „annähern“, definieren.

Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar. Daher ist es nicht möglich, jede beliebige reelle Zahl sprachlich eindeutig zu beschreiben.

Die Abgeschlossenheit der reellen Zahlen unter solchen Näherungsprozessen bezeichnet man als Vollständigkeit. Diese erlaubt es, zahlreiche Begriffe aus der Analysis, wie den der Ableitung und den des Integrals, über Grenzwerte zu definieren. Grenzwerte erlauben zudem die Definition zahlreicher wichtiger Funktionen, etwa der trigonometrischen Funktionen (Sinus, Cosinus, Tangens etc.), was über den rationalen Zahlen nicht möglich ist.

Die reellen Zahlen behalten maßgebliche Eigenschaften der Addition, Multiplikation und der Ordnung in den rationalen Zahlen und bilden somit ebenfalls einen geordneten Körper. Sie lassen sich nicht erweitern, ohne diese Eigenschaft oder das archimedische Axiom zu verletzen, also „unendlich kleine strikt positive Zahlen“ einzuführen.

Die Idee des Übergangs von den rationalen zu den reellen Zahlen wird durch verschiedene Konzepte der Vervollständigung verallgemeinert.

Die Menge der reellen Zahlen wird mit ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbf {R} }$ bezeichnet.

Manche Polynomfunktionen besitzen keine Nullstellen in den reellen Zahlen. Beispielsweise nimmt die Funktion ${\displaystyle x\mapsto x^{2}+1}$ für jede reelle Zahl ${\displaystyle x}$ einen Wert größer als Null an. Es lässt sich zeigen, dass durch Hinzufügen einer Zahl ${\displaystyle i}$, genannt imaginäre Einheit, die die Gleichung ${\displaystyle i^{2}+1=0}$ erfüllt, wobei die grundlegenden Eigenschaften der Addition und Multiplikation erhalten bleiben sollen, bereits die reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen erweitert werden, in denen alle nicht konstanten Polynomfunktionen eine Nullstelle besitzen. Die komplexen Zahlen bilden damit den algebraischen Abschluss der reellen Zahlen. Grenzwertprozesse sind in den komplexen Zahlen ebenso möglich wie in den reellen Zahlen, jedoch sind die komplexen Zahlen nicht mehr geordnet. Sie lassen sich als Ebene (zweidimensionaler Vektorraum über den reellen Zahlen) auffassen. Jede komplexe Zahl lässt sich eindeutig in der Form ${\displaystyle a+b\cdot i}$ „darstellen“, wobei ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ reelle Zahlen sind und ${\displaystyle i}$ die imaginäre Einheit bezeichnen.

Die Funktionentheorie ist das Teilgebiet der Analysis, das sich mit den analytischen Eigenschaften von Funktionen über den komplexen Zahlen befasst.

Die Menge der komplexen Zahlen wird mit ${\displaystyle \mathbb {C} }$ oder ${\displaystyle \mathbf {C} }$ bezeichnet.

Die Ordinal- und Kardinalzahlen sind Konzepte aus der Mengenlehre. In der Mengenlehre definiert man die Kardinalität einer Menge als Kardinalzahl, die Kardinalität ist eine Verallgemeinerung des Konzepts der „Anzahl der Elemente“ einer endlichen Menge auf unendliche Mengen. Die Kardinalitäten endlicher Mengen sind somit natürliche Zahlen, die auch in den Kardinalzahlen enthalten sind.

Ordinalzahlen verallgemeinern das Konzept der „Position in einer (wohlgeordneten) Menge“ auf unendliche Mengen. Ordinalzahlen beschreiben dann eindeutig die Position eines Elementes in einer solchen Wohlordnung. Die Ordinalzahlen sind selbst wohlgeordnet, so dass die Reihenfolge von wohlgeordneten Objekten der Reihenfolge der ihnen zugeordneten „Positionen“ (also Ordinalzahlen) entspricht. Für Positionen in Anordnungen endlich vieler Objekte lassen sich natürliche Zahlen verwenden, die den kleinsten Ordinalzahlen entsprechen.

Kardinalzahlen werden heutzutage als spezielle Ordinalzahlen definiert, wodurch sie ebenfalls eine Ordnung erhalten. Neben der Ordnung sind auf Kardinalzahlen und Ordinalzahlen auch Addition, Multiplikation und Potenzierung definiert, die eingeschränkt auf die natürlichen Zahlen mit den üblichen Begriffen für natürliche Zahlen übereinstimmen, siehe hierzu Kardinalzahlarithmetik und transfinite Arithmetik.

Sowohl die Ordinalzahlen als auch die Kardinalzahlen bilden echte Klassen, das heißt, sie sind im Sinne der modernen Mengenlehre keine Mengen.

Die hyperreellen Zahlen sind eine Verallgemeinerung der reellen Zahlen und Untersuchungsgegenstand der Nichtstandardanalysis. Sie erlauben die Definition von Begriffen aus der Analysis, etwa die der Stetigkeit oder der Ableitung, ohne die Verwendung von Grenzwerten.

Die komplexen Zahlen lassen sich als zweidimensionaler Vektorraum über den reellen Zahlen auffassen (siehe Gaußsche Zahlenebene), das heißt als zweidimensionale Ebene, bei der neben der üblichen koordinatenweisen Addition eine Multiplikation zwischen zwei Punkten der Ebene definiert ist. Es gibt zahlreiche ähnliche Strukturen, die man unter dem Begriff hyperkomplexe Zahlen zusammenfasst. Diese Strukturen sind in der Regel endlichdimensionale Vektorräume über den reellen Zahlen (vorstellbar als zwei- oder höherdimensionaler Raum) mit einer zusätzlichen Multiplikation. Oftmals lassen sich die reellen Zahlen selbst in diese Strukturen einbetten, wobei die Multiplikation eingeschränkt auf die reellen Zahlen der üblichen Multiplikation von reellen Zahlen entspricht.

• p-adische Zahl, eine Verallgemeinerung der rationalen Zahlen unter Miteinbeziehung von unendlich vielen „Vorkomma-Stellen“, die in der Zahlentheorie Verwendung findet.
• Surreale Zahl, eine Verallgemeinerung der hyperreellen Zahlen und der Ordinalzahlen mit Anwendungen in der Spieltheorie.
• Restklassenringe können als Einschränkungen der ganzen Zahlen auf die ersten endlich vielen Elemente mit entsprechend definierter Arithmetik aufgefasst werden. Ihre Elemente werden mitunter auch als Zahlen bezeichnet.

Einige Beispiele für Darstellungen von Zahlen:

• „Vier“ bezeichnet im Deutschen als Zahlwort eine Zahl.
• Diese Zahl lässt sich als Strichliste |||| darstellen.
• In der indisch-arabischen Zahlschrift wird sie als 4 dargestellt.
• In der römischen Zahlschrift wird sie als IV dargestellt.
• Als Formel lässt sie sich z. B. als ${\displaystyle 1+1+1+1}$ darstellen, was einer mathematischen Definition gleichkommt, falls die Eins und die Addition zuvor definiert worden sind.
• Fasst man die natürlichen Zahlen als algebraische Struktur versehen mit Multiplikation und Addition auf, so lässt sich die Eins als einzige natürliche Zahl ${\displaystyle x}$ definieren, so dass ${\displaystyle x\cdot x=x}$ und ${\displaystyle x+x\neq x}$, das Symbol ${\displaystyle 1}$ steht dann für eine beliebige natürliche Zahl, die diese Bedingung erfüllt, und ist damit eindeutig.
• Definiert man natürliche Zahlen mengentheoretisch in der Variante von John von Neumann, so lässt sich die Vier über die übliche Darstellung endlicher Mengen als ${\displaystyle \left\{\emptyset ,\left\{\emptyset \right\},\left\{\emptyset ,\left\{\emptyset \right\}\right\},\left\{\emptyset ,\left\{\emptyset \right\},\left\{\emptyset ,\left\{\emptyset \right\}\right\}\right\}\right\}}$ darstellen.
• Rationale Zahlen lassen sich als Brüche darstellen, z. B. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$.
• Lösungen quadratischer Gleichungen über den rationalen Zahlen lassen sich als Formeln, bestehend aus Addition, Multiplikation und Quadratwurzelbildung rationaler Zahlen darstellen. Beispielsweise beschreibt die Formel ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ eine Lösung der Gleichung ${\displaystyle x^{2}=2}$ für die Variable ${\displaystyle x}$.
• Komplexe Zahlen werden oft als Summe von Realteil und dem Imaginärteil multipliziert mit der imaginären Einheit dargestellt, etwa ${\displaystyle \textstyle -{\frac {4}{3}}+{\frac {9}{2}}\cdot i}$.
• Im Dualsystem wird die natürliche Zahl Neun als ${\displaystyle 1001}$ dargestellt, dies entspricht der Darstellung als Formel ${\displaystyle 1\cdot 2\cdot 2\cdot 2+0\cdot 2\cdot 2+0\cdot 2+1}$.
• Jede reelle Zahl lässt sich als Reihe ${\displaystyle \textstyle z+\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\cdot 2^{-i}}$ mit einer ganzen Zahl ${\displaystyle z}$ und Koeffizienten ${\displaystyle a_{i}\in \left\{0,1\right\}}$ „darstellen“, solche Darstellungen sind jedoch im Allgemeinen nicht endlich beschreibbar, da es überabzählbar viele mögliche „Belegungen“ der Koeffizienten gibt. Falls ${\displaystyle a_{i}}$ für hinreichend große ${\displaystyle i}$ stets Null wird, entsprechen die ${\displaystyle a_{i}}$ dem Nachkommateil in einer Darstellung im Dualsystem (etwa ${\displaystyle 0{,}101}$ für ${\displaystyle 0{,}625}$).