Yamabe-Problem

Von Yamabe stammt folgendes Resultat. Sei ${\displaystyle n}$ die Dimension von ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle f}$ eine zu ${\displaystyle g}$ konform äquivalente Metrik, dann existiert eine Funktion ${\displaystyle h\in C^{\infty }(M)}$, so dass ${\displaystyle f=e^{2h}g}$. Sei ${\displaystyle \Delta h}$ der Laplace-Beltrami-Operator angewendet auf ${\displaystyle h}$ und ${\displaystyle \nabla h}$ seine kovariante Ableitung, dann gilt für die Skalarenkrümmungen folgende Beziehung[2]

${\displaystyle S_{f}=e^{-2h}(S_{g}+2(n-1)\Delta h-(n-1)(n-2)|\nabla h|^{2}).}$

Mit der Substitution ${\displaystyle e^{2h}=\varphi ^{p-2}}$ für eine positive Funktion ${\displaystyle \varphi \in C^{\infty }(M)}$ und ${\displaystyle p={\tfrac {2n}{n-2}}}$ erhält man die Yamabe-Gleichung

${\displaystyle 4{\frac {n-1}{n-2}}\Delta \varphi +S_{g}\varphi =S_{f}\varphi ^{p-1}}$

welches ein nicht-lineares Eigenwertproblem

${\displaystyle T\varphi =S_{f}\varphi ^{p-1}.}$

für den Operator ${\displaystyle T=4{\tfrac {n-1}{n-2}}\Delta +S_{g}}$ ist. Wenn ${\displaystyle \varphi }$ die Gleichung für eine Konstante ${\displaystyle S_{f}:=\lambda }$ erfüllt, dann hat ${\displaystyle f=\varphi ^{p-2}g}$ eine konstante Skalarkrümmung.

Yamabe fand heraus, dass die Yamabe-Gleichung die Euler-Lagrange-Gleichung des Funktionals[2]

${\displaystyle Q(f)={\frac {\int _{M}S_{f}\mathrm {d} V_{f}}{\left(\int _{M}\mathrm {d} V_{f}\right)^{2/p}}}}$

ist, wobei ${\displaystyle f}$ über die zu ${\displaystyle g}$ konform äquivalenten Metriken variieren darf. Die Konstante

${\displaystyle \lambda (M):=\inf\{Q(f):f\;{\text{konform äquivalent}}\;g\}}$

nennt man Yamabe-Invariante und ist eine Invariante der Konformal-Klasse von ${\displaystyle (M,g)}$. Die Konformal-Klasse von ${\displaystyle g}$ ist ${\displaystyle [g]=\{{\tilde {g}}:{\tilde {g}}\;{\text{konform äquivalent}}\;g\}}$.