XY-Modell

Das XY-Modell ist eine Verallgemeinerung des Ising-Modells der statistischen Mechanik, mit dem der Magnetismus und andere physikalischen Erscheinungen beschrieben werden können. Das XY-Modell ist der Spezialfall ${\displaystyle n=2}$ des allgemeineren n-Vektor-Modells (die anderen Spezialfälle dieses Modells sind das Ising-Modell mit ${\displaystyle n=1}$ und das Heisenberg-Modell mit ${\displaystyle n=3}$).

Es wurde schon 1950 von Yōichirō Nambu[1] in Zusammenhang mit dem zweidimensionalen Ising-Modell betrachtet. Elliott Lieb, Daniel Mattis und T. Schultz gaben 1961 eine exakte Lösung des XY-Modell von Spin 1/2-Teilchen in einer Dimension.[2] Dabei verwendeten sie die Jordan-Wigner-Transformation.

Das XY-Modell besteht aus ${\displaystyle N}$ Spins ${\displaystyle {\vec {s_{i}}}}$, die durch Einheitsvektoren dargestellt werden. Sie sind auf den Punkten eines Gitters beliebiger Dimension angeordnet, können aber nur in einer Ebene ausgerichtet sein; daher die Bezeichnung XY und der Spezialfall ${\displaystyle n=2}$.

Der Hamiltonian für das XY-Modell ist gegeben durch:

${\displaystyle H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }{\vec {s}}_{i}\cdot {\vec {s}}_{j}-{\vec {H}}\sum _{i=1}^{N}{\vec {s}}_{i}}$

wobei

• über die nächsten Nachbarspins summiert wird
• „${\displaystyle \cdot }$“ das Standardskalarprodukt für den zweidimensionalen euklidischen Raum und
• ${\displaystyle J}$ die Kopplungskonstante
• ${\displaystyle {\vec {H}}}$ ein externes Magnetfeld ist.

Der Ordnungsparameter des XY-Modells ist die Magnetisierung ${\displaystyle {\vec {M}}=(M_{x},M_{y})}$ und somit ein Vektor in der XY-Ebene. Ein Phasenübergang kann für zwei- und höherdimensionale Gitter auftreten. In zwei Dimensionen ist dies kein normaler kontinuierlicher Phasenübergang oder Phasenübergang erster Ordnung, sondern der durch keinen herkömmlichen lokalen Ordnungsparameter beschreibbare Kosterlitz-Thouless-Übergang. Dieser ist der Hauptgrund, warum das XY-Modell für die theoretische Physik interessant ist.