Satz von Vieta

Der Satz von Vieta besagt: Sind ${\displaystyle x_{1}}$und ${\displaystyle x_{2}}$ Lösungen der quadratischen Gleichung ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$, dann ist

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-p\quad {\text{und}}\quad x_{1}\cdot x_{2}=q.}$[2]

Es gilt auch die Umkehrung des Satzes: Erfüllen ${\displaystyle x_{1},x_{2},p}$ und ${\displaystyle q}$ die Gleichungen ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-p}$ und ${\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}=q}$, so sind ${\displaystyle x_{1}}$ und ${\displaystyle x_{2}}$ Lösungen der Gleichung

${\displaystyle x^{2}+px+q=0.}$

Für den Satz und seine Umkehrung gibt es drei wichtige Anwendungen:

• Es lassen sich damit quadratische Gleichungen zu vorgegebenen Lösungen konstruieren. Möchte man beispielsweise eine quadratische Gleichung ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$ mit den Lösungen ${\displaystyle x_{1}=2}$ und ${\displaystyle x_{2}=3}$ konstruieren, so setzt man ${\displaystyle p:=-(x_{1}+x_{2})=-5}$ und ${\displaystyle q:=x_{1}\cdot x_{2}=6}$ und erhält damit die gesuchte Gleichung ${\displaystyle x^{2}-5x+6=0}$. Hieraus lassen sich durch Äquivalenzumformungen alle weiteren quadratischen Gleichungen mit den Lösungen ${\displaystyle x_{1}=2}$ und ${\displaystyle x_{2}=3}$ erzeugen.
• Es lassen sich Gleichungssysteme der Form

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&=-p\\x_{1}\cdot x_{2}&=q\end{aligned}}}$

lösen. Beispielsweise sind die Lösungen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ des Systems ${\displaystyle x+y=-(-5),x\cdot y=6}$ die Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung ${\displaystyle x^{2}-5x+6=0}$. Nach der Lösungsformel ergibt sich ${\displaystyle x=2}$, ${\displaystyle y=3}$ oder ${\displaystyle x=3}$, ${\displaystyle y=2}$.

• Der Satz kann manchmal (insbesondere, wenn vermutet wird, dass die Gleichung ganzzahlige Lösungen hat) helfen, die Lösungen einer quadratischen Gleichung durch Probieren zu finden: Ist die quadratische Gleichung

${\displaystyle x^{2}-7x+10=0}$

gegeben, dann muss für potenzielle Nullstellen ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ gelten:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&=-(-7)=7\\x_{1}\cdot x_{2}&=10\,.\end{aligned}}}$

Ganzzahligen Nullstellen müssen also Teiler und Gegenteiler der 10 sein, deren Summe 7 ist. Als Teilerpaare kommen ${\displaystyle (1,10)}$, ${\displaystyle (2,5)}$, ${\displaystyle (-2,-5)}$, oder ${\displaystyle (-1,-10)}$ in Frage. 2 und 5 sind tatsächlich Nullstellen, da ${\displaystyle 2+5=7}$ und ${\displaystyle 2\cdot 5=10}$ ist.

Der Satz von Vieta über quadratische Gleichungen lässt sich auf Polynomgleichungen bzw. Polynome beliebigen Grades verallgemeinern. Diese Verallgemeinerung des Satzes von Vieta ist die Grundlage für das Lösen von Gleichungen höheren Grades durch Polynomdivision. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gilt:

Jedes (normierte) Polynom ${\displaystyle n}$-ten Grades mit Koeffizienten in den komplexen Zahlen lässt sich als Produkt von ${\displaystyle n}$ Linearfaktoren darstellen:

${\displaystyle P(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}=(x-x_{1})(x-x_{2})\dotsm (x-x_{n}).}$

${\displaystyle x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}}$ sind die Nullstellen des Polynoms; auch wenn alle Koeffizienten ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n-1}}$ reell sind, können die Nullstellen komplex sein. Nicht alle ${\displaystyle x_{i}}$ müssen verschieden sein.

Nun ergibt sich der Satz von Vieta durch Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich:

${\displaystyle a_{n-j}=(-1)^{j}\sigma _{j},\quad j=1,\dotsc ,n}$,

wobei

${\displaystyle \sigma _{k}=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\dotsb <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{k}}}$

die sogenannten Elementarsymmetrischen Polynome in ${\displaystyle x_{1}}$ bis ${\displaystyle x_{n}}$ sind.

Der Aufbau der Koeffizienten für das oben gezeigte Polynom ${\displaystyle \textstyle P(x)}$ vom Grad ${\displaystyle n}$ in Normalform lässt sich ganz allgemein so angeben[3]:

${\displaystyle {\begin{array}{r c l}a_{n-1}&=&-(x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{n})\\a_{n-2}&=&+(x_{1}\cdot x_{2}+x_{1}\cdot x_{3}+\dotsb +x_{2}\cdot x_{3}+\dotsb +x_{n-1}\cdot x_{n})\\a_{n-3}&=&-(x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}+x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{4}+\dotsb +x_{2}\cdot x_{3}\cdot x_{4}+\dotsb +x_{n-2}\cdot x_{n-1}\cdot x_{n})\\&\vdots &\\a_{0}&=&(-1)^{n}\cdot x_{1}\cdot x_{2}\dotsm x_{n}\\\end{array}}}$

• Walter Gellert: Lexikon der Mathematik. Leipzig: Bibliographisches Institut, 1990, S. 578, 200.

• Beweis durch direkte Rechnung (für Schüler) auf der Web-Site von Rudolf Brinkmann

1. Heinz-Wilhelm Alten: 4000 Jahre Algebra. Geschichte, Kulturen, Menschen. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-43554-9, S. 268.
2. Franz Lemmermeyer: Mathematik à la Carte. Quadratische Gleichungen mit Schnitten von Kegeln. Springer, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50340-9, S. 24.
3. Bibliographisches Institut (Hrsg.): MEYERS Großer Rechenduden. Bibliographisches Institut AG, Mannheim 1961, DNB 453937608, Stichwort ‘Gleichungen’, S. 215 ff.