Wurzelkriterium

Entscheidungsbaum für das Wurzelkriterium

Sei eine unendliche Reihe ${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ mit reellen oder komplexen Summanden ${\displaystyle a_{n}}$ gegeben. Falls man nun

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<1}$ (${\displaystyle \limsup }$ steht hier für den Limes superior) oder äquivalent

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq C}$ für ein ${\displaystyle C<1}$ und fast alle Indizes ${\displaystyle n}$

nachweisen kann, so ist die Reihe ${\displaystyle S}$ absolut konvergent. D. h. die Reihe ${\displaystyle S}$ selbst und auch die Reihe ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$ konvergiert.

Ist jedoch

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1}$ oder allgemeiner

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\geq 1}$ für unendlich viele Indizes ${\displaystyle n}$,

so divergiert die Reihe, da die Reihenglieder keine Nullfolge bilden.

Im Fall

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=1}$ und

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<1}$ für fast alle Indizes ${\displaystyle n}$

lässt sich nichts über die Konvergenz der Reihe aussagen. So lässt sich beispielsweise mit dem Wurzelkriterium keine Aussage über die Konvergenz der allgemeinen harmonischen Reihe ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}}$ für ${\displaystyle \alpha \geq 1}$ machen, da

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{1/n^{\alpha }}}=\left(\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{1/n}}\right)^{\alpha }=1}$.

Für ${\displaystyle \alpha =1}$ ist die allgemeine harmonische Reihe divergent, für ${\displaystyle \alpha >1}$ konvergent; das Wurzelkriterium kann aber die beiden Fälle nicht unterscheiden.

Beispiel 1. Wir untersuchen die Reihe

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n^{2}}}$

auf Konvergenz. Über das Wurzelkriterium erhalten wir:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n^{2}}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}={\frac {1}{e}}<1}$

mit der eulerschen Zahl ${\displaystyle e}$. Somit ist diese Reihe konvergent.

Beispiel 2. Wir prüfen nun die Reihe

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{n}}{2^{n}n!}}}$

auf Konvergenz. Wir erhalten:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {n^{n}}{2^{n}n!}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}={\frac {e}{2}}>1.}$

Somit ist diese Reihe divergent.

Das Wurzelkriterium wurde erstmals von Augustin Louis Cauchy bewiesen. Es folgt mit dem Majorantenkriterium aus Eigenschaften der geometrischen Reihe:

• Denn gilt für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N}$ :\;{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq C<1} , so ist das Majorantenkriterium ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N}$ :\;|a_{n}|\leq C^{n}} mit einer konvergenten geometrischen Reihe ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }C^{n}={\frac {1}{1-C}}}$ als Majorante erfüllt.

• Daran ändert sich auch nichts, falls dieses Kriterium für die ersten N Glieder der Reihe nicht erfüllt ist.

• Gilt ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=C<1}$, so ist ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq {\frac {1+C}{2}}<1}$ für fast alle n erfüllt, nach Definition des größten Häufungspunktes, womit wieder eine Majorante konstruiert werden kann.

Ist die Reihe nach dem Wurzelkriterium konvergent, erhält man noch eine Fehlerabschätzung, d. h. eine Abschätzung des Restglieds der Summe nach N Summanden:

${\displaystyle S-S_{N}=\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}\leq C^{N+1}{\frac {1}{1-C}}}$.

Sei ${\displaystyle (a_{n})\,}$ eine positive Folge und sei

${\displaystyle \alpha =\liminf {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\quad ,\quad \alpha '=\liminf {\sqrt[{n}]{a_{n}}}\quad ,\quad \beta '=\limsup {\sqrt[{n}]{a_{n}}}\quad ,\quad \beta =\limsup {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}$.

Liefert bei einer Reihe das Quotientenkriterium eine Entscheidung (das heißt ${\displaystyle \beta <1}$ im Falle der Konvergenz bzw. ${\displaystyle \alpha >1}$ im Falle der Divergenz), so liefert auch das Wurzelkriterium eine Entscheidung (das heißt ${\displaystyle \beta '<1}$ im Falle der Konvergenz bzw. ${\displaystyle \alpha '>1}$ im Falle der Divergenz).

Dies wird induziert durch die Ungleichungskette

${\displaystyle 0\leq \alpha \leq \alpha '\leq \beta '\leq \beta \leq \infty .}$

Ist ohne Einschränkung ${\displaystyle \alpha >0\,}$ und ${\displaystyle \beta <\infty }$, so gibt es zu jedem noch so kleinen, aber positiven ${\displaystyle \varepsilon }$ (${\displaystyle <\alpha \,}$) eine Indexschranke ${\displaystyle m}$, ab der gilt:

${\displaystyle \alpha -\varepsilon <{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}<\beta +\varepsilon \qquad \forall k\geq m.}$

Multipliziert man die Ungleichung von ${\displaystyle k=m}$ bis ${\displaystyle n-1}$ durch, so erhält man in der Mitte ein Teleskopprodukt:

${\displaystyle (\alpha -\varepsilon )^{n-m}<{\frac {a_{n}}{a_{m}}}<(\beta +\varepsilon )^{n-m}.}$

Multipliziert man anschließend mit ${\displaystyle a_{m}}$ durch und zieht die ${\displaystyle n}$-te Wurzel, so ist

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{m}}}\,(\alpha -\varepsilon )^{1-{\frac {m}{n}}}<{\sqrt[{n}]{a_{n}}}<{\sqrt[{n}]{a_{m}}}\,(\beta +\varepsilon )^{1-{\frac {m}{n}}}.}$

Für ${\displaystyle n\to \infty }$ konvergiert die linke Seite gegen ${\displaystyle \alpha -\varepsilon }$ und die rechte Seite gegen ${\displaystyle \beta +\varepsilon }$. Daher ist

${\displaystyle \alpha -\varepsilon \leq \liminf {\sqrt[{n}]{a_{n}}}}$     und     ${\displaystyle \limsup {\sqrt[{n}]{a_{n}}}\leq \beta +\varepsilon .}$

Da ${\displaystyle \varepsilon \,}$ beliebig klein gewählt werden kann, folgt daher

${\displaystyle \alpha \leq \alpha '}$     und     ${\displaystyle \beta '\leq \beta .}$

Sind beispielsweise die Reihenglieder ${\displaystyle a_{2n}={\frac {1}{2^{2n}}}}$ und ${\displaystyle a_{2n+1}={\frac {4}{2^{2n+1}}}}$, dann ist ${\displaystyle {\frac {a_{2n+1}}{a_{2n}}}=2}$ und ${\displaystyle {\frac {a_{(2n+1)+1}}{a_{2n+1}}}={\frac {1}{8}}}$.

Hier ist ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{8}}\leq 1}$ und ${\displaystyle \beta =2\geq 1}$, wonach das Quotientenkriterium keine Entscheidung liefert.

Das Wurzelkriterium liefert hier aber eine Entscheidung, weil ${\displaystyle \alpha '=\beta '=\lim {\sqrt[{n}]{a_{n}}}={\frac {1}{2}}}$ ist.

Aus ${\displaystyle \beta '={\frac {1}{2}}<1}$ folgt die Konvergenz von ${\displaystyle \sum a_{n}}$. Das Wurzelkriterium ist also echt schärfer als das Quotientenkriterium.[2]

1. Siehe die Antwort auf die Frage „Where is the root test first proved“ der Q&A Webseite „History of Science and Mathematics“
2. Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5. Aufl. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1964, ISBN 3-540-03138-3. S. 286, Satz 161