Wittvektor

Wittvektoren sind eine von dem Mathematiker Ernst Witt eingeführte[1] Verallgemeinerung der Konstruktion der (ganzen) p-adischen Zahlen auf beliebige perfekte Restklassenkörper. Neben diesen $p$ -typischen Wittvektoren gibt es die großen Wittvektoren, aus denen sich die $p$ -typischen Wittvektoren für beliebiges $p$ rekonstruieren lassen.

p-typische Wittvektoren

Sei $p$ eine feste Primzahl. Für einen Ring $A$ (kommutativ, mit Einselement) bilden die Wittvektoren einen von $p$ abhängenden Ring $W_{p}(A)$ . Er ist vor allem für Ringe $A$ der Charakteristik $p$ interessant, die Konstruktion macht es aber erforderlich, auch andere Ringe zuzulassen.

Motivation

Sei $n>1$ eine ganze Zahl. Als Approximation an eine alternative Konstruktion der $p$ -adischen Zahlen $\mathbb {Z} _{p}$ soll zunächst nur unter Verwendung der Addition und Multiplikation im Körper $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ ein zum Restklassenring $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ isomorpher Ring, bezeichnet mit $W_{p,n}(\mathbb {F} _{p})$ , konstruiert werden.

Der erste, naive Ansatz dazu wäre die Verwendung der Abbildung ${\displaystyle \sigma$ , die für ganze Zahlen $0\leq k<p$ die Restklasse von $k$ in $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ auf die Restklasse von $k$ in $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ abbildet. Die Bijektion

\mathbb {F} _{p}^{n}\to \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,\ \ (x_{0},x_{1},\dots ,x_{n-1})\mapsto \sigma (x_{0})+p\sigma (x_{1})+\dots +p^{n-1}\sigma (x_{n-1})

entspricht der Darstellung von ganzen Zahlen in $\{0,1,\dots ,p^{n}-1\}$ im Stellenwertsystem zur Basis $p$ . Die von $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ übertragene Addition ist dann im Fall $n=2$ :

(x_{0},x_{1})+(y_{0},y_{1})=(x_{0}+y_{0},x_{1}+y_{1}+c(x_{0},y_{0})),

wobei $c(x_{0},y_{0})$ der Übertrag ist. Diese Konstruktion lässt sich nicht gut auf andere Körper als $\mathbb {F} _{p}$ verallgemeinern, auch weil die Definition von $\sigma$ von dem aus algebraischer Sicht ungünstigen Vertretersystem $\{0,1,\dots ,p-1\}\subset \mathbb {Z}$ Gebrauch macht.

Der korrekte Ansatz basiert auf der folgenden Aussage aus der elementaren Zahlentheorie: Für ganze Zahlen $u,v$ gilt:

u\equiv v\mod p\implies u^{p^{n-1}}\equiv v^{p^{n-1}}\mod p^{n}

(siehe Kongruenz (Zahlentheorie)). Das bedeutet: Ist $x\in \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ und $u\in \mathbb {Z}$ ein Vertreter von $x$ , dann hängt die Restklasse von $u^{p^{n-1}}$ in $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ nur von $x$ , nicht jedoch von der Wahl von $u$ ab. Wir schreiben suggestiv $x^{p^{n-1}}$ für dieses Element von $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ . (Diese Abbildung $\mathbb {F} _{p}\to \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ ist im Wesentlichen das Teichmüller-Vertretersystem für die $p$ -adischen Zahlen $\mathbb {Z} _{p}$ .) Allgemeiner hängt auch die Restklasse von $p^{k}u^{p^{n-1-k}}$ nicht von $u$ selbst ab, wir scheiben $p^{k}x^{p^{n-1-k}}$ .

Weil jeweils $\mathbb {F} _{p}\to p^{k}\mathbb {Z} /p^{k+1}\mathbb {Z}$ , $x\mapsto p^{k}x^{p^{n-1-k}}$ bijektiv ist, erhalten wir durch Aufaddieren eine bijektive Abbildung:

{\begin{aligned}w_{n-1}{:}\ &\mathbb {F} _{p}^{n}\to \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,\\&(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n-1})\mapsto x_{0}^{p^{n-1}}+px_{1}^{p^{n-2}}+\dots +p^{k}x_{k}^{p^{n-1-k}}+\dots +p^{n-1}x_{n-1}\end{aligned}}

Sei $W_{p,n}(\mathbb {F} _{p})$ die Menge $\mathbb {F} _{p}^{n}$ zusammen mit derjenigen Addition und Multiplikation, die $w_{n-1}$ zu einem Isomorphismus machen.

Sei nun speziell $n=2$ und damit $w_{1}(x_{0},x_{1})=x_{0}^{p}+px_{1}$ . Sollen zwei Vektoren $(x_{0},x_{1})$ und $(y_{0},y_{1})$ addiert werden, also $(x_{0},x_{1})+(y_{0},y_{1})=(z_{0},z_{1})$ , dann erhält man modulo $p$ die Gleichung $z_{0}^{p}=x_{0}^{p}+y_{0}^{p}$ , also $z_{0}=x_{0}+y_{0}$ . Damit ist

pz_{1}=px_{1}+py_{1}+x_{0}^{p}+y_{0}^{p}-(x_{0}+y_{0})^{p}

Das Polynom

X^{p}+Y^{p}-(X+Y)^{p}\in \mathbb {Z} [X,Y]

hat durch $p$ teilbare Koeffizienten, ist also gleich $p\cdot S_{1}'(X,Y)$ mit einem Polynom $S_{1}'(X,Y)\in \mathbb {Z} [X,Y]$ . Damit ist

pz_{1}=p(x_{1}+y_{1}+S_{1}'(x_{0},y_{0}))

also insgesamt

(x_{0},x_{1})+(y_{0},y_{1})=(x_{0}+y_{0},x_{1}+y_{1}+S_{1}'(x_{0},y_{0}))

Die Assoziativität der Addition übersetzt sich in eine Gleichung

S_{1}'(x_{0},y_{0})+S_{1}'(x_{0}+y_{0},z_{0})=S_{1}'(x_{0},y_{0}+z_{0})+S_{1}'(y_{0},z_{0})

Man überzeugt sich leicht davon, dass diese Gleichung bereits entsprechend in $\mathbb {Z} [X,Y,Z]$ gilt. Das bedeutet, dass man für einen beliebigen kommutativen Ring $A$ durch die Festlegung

(x_{0},x_{1})+(y_{0},y_{1})=(x_{0}+y_{0},x_{1}+y_{1}+S_{1}'(x_{0},y_{0}))

die Struktur einer abelschen Gruppe auf $W_{p,2}(A)=A^{2}$ definieren kann. Entsprechendes gilt für

(x_{0},x_{1})\cdot (y_{0},y_{1})=(x_{0}y_{0},P_{1}(x_{0},x_{1},y_{0},y_{1}))

mit $P_{1}(X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1})=X_{0}^{p}Y_{1}+X_{1}Y_{0}^{p}+pX_{1}Y_{1}$ , so dass $W_{p,2}(A)$ zu einem kommutativen Ring mit Einselement $(1,0)$ wird.

Definition

Bezeichne $\mathbb {N} _{0}$ die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen. Weiterhin ist $p$ eine fest gewählte Primzahl.

Es gibt eindeutig bestimmte Polynome $S_{i},P_{i}\in \mathbb {Z} [X_{0},\dots ,X_{i},Y_{0},\dots ,Y_{i}]$ für jedes $i\in \mathbb {N} _{0}$ derart, dass für jeden kommutativen Ring mit Einselement $A$ gilt: $W_{p}(A)=A^{\mathbb {N} _{0}}$ ist ein Ring mit Addition:

x+y=(S_{0}(x_{0},y_{0}),S_{1}(x_{0},x_{1},y_{0},y_{1}),S_{2}(x_{0},x_{1},x_{2},y_{0},y_{1},y_{2}),\dots )

und Multiplikation

x\cdot y=(P_{0}(x_{0},y_{0}),P_{1}(x_{0},x_{1},y_{0},y_{1}),\dots )

und für jedes $n\in \mathbb {N} _{0}$ ist die Abbildung

W_{p}(A)\to A,\ \ x\mapsto x_{0}^{p^{n}}+px_{1}^{p^{n-1}}+\dots +p^{k}x_{k}^{p^{n-k}}+\dots +p^{n}x_{n}

ein Ringhomomorphismus. $W_{p}(A)$ heißt Ring der $p$ -typischen Wittvektoren mit Einträgen aus $A$ . Ist nur die Rede von $p$ -typischen Wittvektoren, wird nur $W(A)$ geschrieben.

Für $n\in \mathbb {N} _{1}$ ist $W_{p,n}(A)=A^{n}$ mit der entsprechend abgeschnittenen Addition und Multiplikation ebenfalls ein kommutativer Ring mit Einselement, der Ring der $p$ -typischen Wittvektoren der Länge $n$ .[2]

Das Ringelement

x^{(n)}=x_{0}^{p^{n}}+px_{1}^{p^{n-1}}+\dots +p^{k}x_{k}^{p^{n-k}}+\dots +p^{n}x_{n}\in A

wird als $n$ -te Geisterkomponente oder Nebenkomponente von $x\in W_{p}(A)$ bezeichnet. Mit den Witt-Polynomen

w_{p,n}(X)=X_{0}^{p^{n}}+pX_{1}^{p^{n-1}}+\dots +p^{n}X_{n}

kann man $S_{n}$ und $P_{n}$ rekursiv berechnen:

{\begin{aligned}S_{n}(X,Y)&={\frac {1}{p^{n}}}\left(w_{p,n}(X)+w_{p,n}(Y)-\sum _{k=0}^{n-1}p^{k}S_{k}^{p^{n-k}}(X,Y)\right)\\P_{n}(X,Y)&={\frac {1}{p^{n}}}\left(w_{p,n}(X)\cdot w_{p,n}(Y)-\sum _{k=0}^{n-1}p^{k}P_{k}^{p^{n-k}}(X,Y)\right)\end{aligned}}

Beispiele:

{\begin{aligned}S_{0}(X,Y)&=X_{0}+Y_{0}\\S_{1}(X,Y)&=X_{1}+Y_{1}-\sum _{k=1}^{p-1}{\frac {1}{p}}{\binom {p}{k}}X_{0}^{k}Y_{0}^{p-k}\\P_{0}(X,Y)&=X_{0}Y_{0}\\P_{1}(X,Y)&=X_{0}^{p}Y_{1}+X_{1}Y_{0}^{p}+pX_{1}Y_{1}\end{aligned}}

Auch die Negation $x\mapsto -x$ im Ring $W_{p}(A)$ ist durch universelle Polynome gegeben. Für $p\neq 2$ ist:

-(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=(-x_{0},-x_{1},-x_{2},\dots )

Für $p=2$ ist dagegen $-(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=(I_{0}(X),I_{1}(X),I_{2}(X),\dots )$ mit

{\begin{aligned}I_{0}(X)&=-X_{0}\\I_{1}(X)&=-X_{0}^{2}-X_{1}\\I_{2}(X)&=-X_{0}^{4}-X_{0}^{2}X_{1}-X_{1}^{2}-X_{2}\end{aligned}}

Die Abbildung $\tau \colon A\to W_{p}(A),\ a\mapsto (a,0,0,\dots )$ ist multiplikativ und heißt Teichmüller-Vertretersystem (nach Oswald Teichmüller).

Beweisskizze

Die rekursive Beschreibung liefert $S_{n},P_{n}\in \mathbb {Q} [X,Y]$ . Um einerseits die Ganzzahligkeit, andererseits die Ringeigenschaften nachzuweisen, zeigt der klassische Beweisansatz allgemeiner:[3]

Lemma. Ist $\phi \in \mathbb {Z} [X,Y]$ ein Polynom (z. B. $\phi (X,Y)=X+Y$ ), dann gibt es eindeutig bestimmte ganzzahlige Polynome $\phi _{n}\in \mathbb {Z} [X_{0},\dots ,X_{n},Y_{0},\dots ,Y_{n}]$ mit

w_{p,n}(\phi _{0},\dots ,\phi _{n})=\phi (w_{p,n}(X_{0},\dots ,X_{n}),w_{p,n}(Y_{0},\dots ,Y_{n}))

für alle $n$ . Entsprechende Versionen dieser Aussage gelten auch für $X,Y,Z$ statt $X,Y$ oder auch nur $X$ .

Rationale Eindeutigkeit ist klar, der Ganzzahligkeitsbeweis beruht auf den Eigenschaften $w_{p,n}(X)\equiv w_{p,n-1}(X^{p})\mod p$ und $f(X^{p})\equiv f(X)^{p}\mod p$ sowie der oben erwähnten Implikation

u\equiv v\mod p\implies u^{p^{n-1}}\equiv v^{p^{n-1}}\mod p^{n}

Die Ringeigenschaften von $W_{p}(A)$ folgen aus der Eindeutigkeitsaussage des Lemmas: Sowohl $x+(y+z)$ als auch $(x+y)+z$ sind durch Polynome gegeben, die Lösungen der folgenden Gleichung sind:

w_{p,n}(\phi _{0},\dots ,\phi _{n})=w_{p,n}(X_{0},\dots ,X_{n})+w_{p,n}(Y_{0},\dots ,Y_{n})+w_{p,n}(Z_{0},\dots ,Z_{n})

Also sind diese Polynome gleich.

Ein anderer Beweisansatz verwendet die Identifikation des Rings der großen Wittvektoren mit dem Ring $\Lambda (A)$ , siehe unten.

Einfache Eigenschaften

$W_{p,1}(A)$ kann mit $A$ identifiziert werden, und $w_{p,0}:W_{p}(A)\to A$ mit der Projektion $x\mapsto x_{0}$ . Alle Projektionen $W_{p}(A)\to W_{p,n}(A)$ sind surjektive Ringhomomorphismen, und

W_{p}(A)=\varprojlim _{n}W_{p,n}(A)

(siehe Projektiver Limes)

$W_{p}(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {Z} _{p}$ und $W_{p,n}(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$
Wenn $p$ in $A$ invertierbar ist, dann ist die Abbildung auf die Geisterkomponenten $w_{p}:W_{p}(A)\to A^{\mathbb {N} _{0}}$ ein Ringisomorphismus.
Weitere Beispiele (unter beiden Isomorphismen entspricht $X$ dem Vektor $(0,1)$ ):

{\begin{aligned}&W_{p,2}(\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}-pX)\\&W_{p,2}(\mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /p^{3}\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-pX,pX-p^{2})\end{aligned}}

W(k) für perfekte Körper k

Sei $k$ ein perfekter Körper der Charakteristik $p$ . Dann ist $W_{p}(k)$ ein vollständiger diskreter Bewertungsring gemischter Charakteristik (d. h. ${\text{char}}(W_{p}(k))=0$ ), dessen maximales Ideal von $p$ erzeugt wird. Diese Eigenschaft charakterisiert $W_{p}(k)$ bis auf Isomorphie.

Wittvektoren spielen eine wichtige Rolle in der Strukturtheorie vollständiger lokaler Ringe (nach I. S. Cohen):

Satz von Teichmüller-Witt: Ist $(A,{\mathfrak {m}})$ ein vollständiger noetherscher lokaler Ring mit Restklassenkörper $k$ , dann gibt es genau einen Homomorphismus $W_{p}(k)\to A$ , so dass die Verkettung mit der Projektion $A\to k$ gleich der Projektion $W_{p}(k)\to k$ ist. Es gibt genau einen multiplikativen Schnitt $\tau _{A}\colon k\to A$ der Projektion $A\to k$ , genannt Teichmüller-Vertretersystem, und die Abbildung $W_{p}(k)\to A$ ist:[4]

x\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }p^{n}\cdot \tau _{A}(x_{n}^{1/p^{n}})

$A$ ist als $W_{p}(k)$ -Algebra isomorph zu einem Quotienten von $W_{p}(k)[[T_{1},\dots ,T_{m}]]$ mit $m=\dim _{k}({\mathfrak {m}}/({\mathfrak {m}}^{2}+pA))$ .
Ist $p$ kein Nullteiler in $A$ , dann gibt es Elemente $t_{1},\dots ,t_{d-1}$ mit $d=\dim(A)$ , so dass der induzierte Homomorphismus $W_{p}(k)[[T_{1},\dots ,T_{d-1}]]\to A$ injektiv ist und $A$ als $W_{p}(k)[[T_{1},\dots ,T_{d-1}]]$ -Modul endlich erzeugt ist.
Im Spezialfall $d=1$ bedeutet das genauer: Ist $(A,{\mathfrak {m}})$ ein vollständiger diskreter Bewertungsring der Charakteristik 0 mit Restklassenkörper $k$ , dann ist $A$ eine endliche Erweiterung von $W_{p}(k)$ vom Grad $e$ , wenn $e$ die normalisierte Bewertung von $p$ ist, also $pA={\mathfrak {m}}^{e}$ gilt.

Für nicht perfekte Körper übernehmen Cohen-Ringe die Rolle von $W_{p}(k)$ .

In Charakteristik p

Sei $A$ ein Ring der Charakteristik $p$ . Die Verschiebung ist die Abbildung

{\begin{aligned}V{:}\ &W_{p}(A)\to W_{p}(A),\\&(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\end{aligned}}

Sie ist ein Homomorphismus der additiven Gruppen. Durch Abschneiden erhält man induzierte Homomorphismen

{\begin{aligned}&W_{p,n}(A)\to W_{p,n+1}(A),\\&(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n-1})\mapsto (0,x_{0},x_{1},\dots ,x_{n-1})\end{aligned}}

Der Frobeniushomomorphismus (in Anlehnung an den Frobeniushomomorphismus von Körpern der Charakteristik $p$ ) ist die Abbildung

{\begin{aligned}F{:}\ &W_{p}(A)\to W_{p}(A),\\&(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (x_{0}^{p},x_{1}^{p},x_{2}^{p},\dots )\end{aligned}}

Sie ist ein Ringhomomorphismus, der sich zu Ringhomomorphismen $W_{p,n}(A)\to W_{p,n}(A)$ einschränkt. Sei $[p]$ die Multiplikation mit $p$ auf $W_{p}(A)$ . Dann ist

F\circ V=V\circ F=[p]

somit

[p](x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=(0,x_{0}^{p},x_{1}^{p},\dots )

insbesondere

p\cdot 1_{W_{p}(A)}=(0,1,0,0,0,\dots )

Außerdem ist

V(a\cdot F(b))=V(a)\cdot b

Frobenius und Verschiebung sind Spezialfälle einer allgemeineren Konstruktion, siehe Frobeniushomomorphismus#Verschiebung.

Sei $K$ der Quotientenkörper von $W_{p}(\mathbb {F} _{q})$ . Dann ist $F$ der (arithmetische) Frobeniusautomorphismus für die Körpererweiterung $K/\mathbb {Q} _{p}$ .

Dieudonné-Ring

Sei $k$ ein perfekter Körper der Charakteristik $p$ . Schreibt man $W=W_{p}(k)$ und $W^{\sigma }$ für den $W$ -Modul $W$ , bei dem die Modulstruktur durch $F$ gegeben ist, dann erhält man Modulhomomorphismen

F\colon W\to W^{\sigma },\ \ V\colon W^{\sigma }\to W

in Analogie zu Frobenius und Verschiebung für algebraische Gruppen in Charakteristik $p$ . Ist allgemeiner $M$ ein $W$ -Modul zusammen mit zwei Modulhomomorphismen $F\colon M\to M^{\sigma }$ und $V\colon M^{\sigma }\to M$ , kann man diese Struktur zusammenfassen als Modul für den Dieudonné-Ring $D_{k}$ (nach Jean Dieudonné), den nichtkommutativen Ring, der von $W_{p}(k)$ und zwei Symbolen $\mathbf {F} ,\mathbf {V}$ erzeugt wird, mit den Relationen

{\begin{aligned}&\mathbf {V} \cdot \mathbf {F} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {V} =p\\&\mathbf {V} \cdot F(a)=a\cdot \mathbf {V} \\&\mathbf {F} \cdot a=F(a)\cdot \mathbf {F} \end{aligned}}

Die klassische Dieudonné-Theorie ist eine Äquivalenz von Kategorien zwischen kommutativen unipotenten algebraischen Gruppen und bestimmten $D_{k}$ -Moduln. Siehe auch unten.

Allgemein

Für beliebige Ringe $A$ muss die Definition des Frobeniushomomorphismus modifiziert werden: er ist durch die Gleichung $w_{p,n+1}=w_{p,n}\circ F$ charakterisiert. Insbesondere ist die 0-te Komponente $F_{0}(x)=x_{0}^{p}+px_{1}$ . Der Frobeniushomomorphismus ist auch im allgemeinen Fall ein Ringhomomorphismus. Es gilt[5]

Fx\equiv x^{p}\mod pW(A)

Durch Abschneiden erhält man Ringhomomorphismen

W_{p,n}(A)\to W_{p,n-1}(A)

(also nicht mehr mit Ziel $W_{p,n}(A)$ wie im Fall der Charakteristik $p$ ). Allgemein gilt immer noch

FV=[p]

und

V(a\cdot F(b))=V(a)\cdot b

Frobeniuslifts und Komonadenstruktur

Sei $A$ ein $p$ -torsionsfreier Ring. Ein Frobeniuslift ist ein Ringhomomorphismus $\sigma \colon A\to A$ mit $\sigma (a)\equiv a^{p}\mod pA$ . Für einen Frobeniuslift existiert nach Dieudonné-Cartier eine eindeutig bestimmte Fortsetzung $s\colon A\to W_{p}(A)$ , für die $w_{p,n}\circ s=\sigma ^{n}$ für alle $n$ gilt. Sie erfüllt $F\circ s=s\circ \sigma$ . Da $W_{p}(A)$ selbst über den Frobeniuslift $F$ verfügt, erhält man zunächst für $p$ -torsionsfreie Ringe und durch universelle Formeln für beliebige Ringe eine natürliche Transformation $\mu \colon W_{p}\to W_{p}\circ W_{p}$ , die durch $w_{p,n}\circ \mu =F^{n}$ charakterisiert ist. Sie wird auch Artin-Hasse-Exponentialfunktion genannt, siehe auch unten, und definiert eine Komonade $(W_{p},\mu ,w_{0})$ .[6]

Die Restriktion auf $p$ -torsionsfreie Ringe lässt sich dadurch beseitigen, dass man zu $p$ -Derivationen übergeht: Für einen Ring $A$ ist eine $p$ -Derivation eine Abbildung $\delta \colon A\to A$ , für die die Abbildung

s_{2,\delta }\colon A\to W_{p,2}(A),\ a\mapsto (a,\delta (a))

ein Ringhomomorphismus ist. Konkret bedeutet das, dass $\delta$ die folgenden Gleichungen erfüllt:

{\begin{aligned}&\delta (1)=0\\&\delta (a+b)=S_{1}(a,\delta (a),b,\delta (b))=\delta (a)+\delta (b)+\sum _{k=1}^{p-1}{\frac {1}{p}}{\binom {p}{k}}a^{k}b^{p-k}\\&\delta (ab)=P_{1}(a,\delta (a),b,\delta (b))=a^{p}\delta (b)+\delta (a)b^{p}+p\cdot \delta (a)\delta (b)\end{aligned}}

Eine $p$ -Derivation $\delta$ definiert durch $w_{p,1}\circ s_{2,\delta }\colon a\mapsto a^{p}+p\cdot \delta (a)$ einen Frobeniuslift auf $A$ . Ist $A$ torsionsfrei, erhält man umgekehrt aus einem Frobeniuslift $\sigma$ eine $p$ -Derivation

\delta \colon A\to A,\ \delta (a)={\frac {\sigma (a)-a^{p}}{p}}

Ein Ring zusammen mit einer $p$ -Derivation wird als δ-Ring bezeichnet.[7]

Die Situation ist insofern analog zu gewöhnlichen Derivationen $d\colon A\to A$ , als diese sich dadurch charakterisieren lassen, dass $A\to A[T]/T^{2},\ a\mapsto (a,d(a))$ ein Ringhomomorphismus ist.

Die Koalgebren für die oben definierte Komonade können mit den δ-Ringen identifiziert werden. Insbesondere ist $W_{p}$ rechtsadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der δ-Ringe in die Kategorie der Ringe.[8] Es existiert auch eine duale Beschreibung basierend auf der „Plethorie“ $\Lambda _{p}$ , die $W_{p}$ als Endofunktor der Kategorie der Ringe darstellt.[9]

Weitere Eigenschaften in Charakteristik p

Sei $A$ ein Ring mit $pA=0$ .

Wenn $A$ ein Integritätsbereich ist, dann auch $W_{p}(A)$ , und es gilt ${\text{char}}(W_{p}(A))=0$ .
Die Einheiten von $W_{p}(A)$ sind genau die Elemente $x$ mit $x_{0}\in A^{*}$ .
Wenn $A$ ein Körper ist, dann ist $W_{p}(A)$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal $V(W_{p}(A))$ . Außerdem ist $W_{p}(A)$ genau dann noethersch, wenn $A$ perfekt ist.[10]
Wenn $A\to A,\ a\mapsto a^{p}$ surjektiv ist, dann ist $V(W_{p}(A))=pW_{p}(A)$ und somit $W_{p}(A)/pW_{p}(A)\cong A$ .
Ist $A$ perfekt, d. h. $a\mapsto a^{p}$ bijektiv, dann lässt sich ein Wittvektor $x=(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )$ mit der Teichmüller-Abbildung $\tau \colon A\to W_{p}(A)$ als $p$ -adisch konvergente Reihe schreiben:

x=\sum _{n=0}^{\infty }V^{n}\tau (x_{n})=\sum _{n=0}^{\infty }p^{n}\cdot \tau (x_{n}^{1/p^{n}})

Ist $A$ ein Integritätsbereich, und sind alle Primzahlen $\neq p$ in $A$ invertierbar (z. B. wenn $A$ ein Körper ist), dann kann man die Einheitengruppen $A[[T]]^{*}$ und $A((T))^{*}$ (formale Potenzreihen bzw. Laurentreihen) sowie $(A[T]/T^{n}A[T])^{*}$ durch $W_{p}(A)$ beschreiben, siehe unten.

Weitere Anwendungen

Artin-Schreier-Witt-Theorie: Ist $K$ ein Körper der Charakteristik $p$ , können abelsche Erweiterungen vom Exponenten $p^{n}$ von $K$ mit Hilfe der Wittvektoren $W_{p,n}$ klassifiziert werden.
Ist $X$ ein Schema über einem Körper $k$ der Charakteristik $p$ , dann gibt es nicht immer ein flaches Schema ${\tilde {X}}$ über $W_{p}(k)$ mit ${\tilde {X}}\times _{{\text{Spec }}W_{p}(k)}{\text{Spec }}k\cong X$ . Die Existenz eines Lifts nach $W_{p,2}(k)$ spielt eine Rolle im Beweis der Degeneration der Hodge-de-Rham-Spektralsequenz von Pierre Deligne und Luc Illusie.[11]
Ist $X/k$ glatt, existieren Lifts lokal. Stattet man die lokalen Lifts noch mit einer PD-Struktur aus, die bewirkt, dass ein Analogon des Poincaré-Lemmas gilt, erhält man die kristalline Kohomologie. Die kristallinen Kohomologiegruppen sind $W(k)$ -Moduln. Tensoriert man mit dem Quotientenkörper, erhält man eine Weil-Kohomologie, die l-adische Kohomologie für $l\neq p$ ergänzend.
Ist $X$ ein Schema über $\mathbb {F} _{p}$ , so ist der topologische Raum $X$ mit der Garbe $W_{n}{\mathcal {O}}_{X}$ wieder ein Schema $W_{n}(X)$ . Der De-Rham-Witt-Komplex $W_{n}\Omega _{X}^{\cdot }$ ist ein geeigneter Quotient von $\Omega _{W_{n}{\mathcal {O}}_{X}}^{\cdot }$ . Für $X$ glatt ist die kristalline Kohomologie $H^{*}(X/W_{n})$ isomorph zur Hyperkohomologie von $W_{n}\Omega _{X}^{\cdot }$ .[12]
Es gibt Ansätze, Wittvektoren auf die Analyse des Verschlüsselungsverfahrens NTRUEncrypt anzuwenden.[13]

Wittvektoren als algebraische Gruppe

Sei $k$ ein perfekter Körper der Charakteristik $p$ . Die Wittvektoren der Länge $n$ bilden eine kommutative algebraische Gruppe $W_{n}$ über $k$ , die als Varietät isomorph zum affinen Raum $\mathbb {A} _{k}^{n}$ ist. $W_{n}$ ist eine unipotente Gruppe: Das folgt aus der Filtrierung $V^{k}W_{n}$ mit Subquotienten $\cong \mathbb {G} _{a}$ oder der Artin-Hasse-Einbettung $W_{n}(A)\to (A[T]/(T^{p^{n}+1}))^{*}$ .

In Charakteristik 0 ist jede kommutative unipotente Gruppe isomorph zu $\mathbb {G} _{a}^{d}$ . In positiver Charakteristik ist die Theorie wesentlich komplexer: Es gibt nichttriviale Erweiterungen, und außer $\mathbb {G} _{a}$ gibt es noch die möglichen Kompositionsfaktoren ${\underline {\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }}$ und $\alpha _{p}$ (der Kern des Frobeniusmorphismus auf $\mathbb {G} _{a}$ , explizit $\alpha _{p}(A)=\{a\in A:a^{p}=0\}$ ).

Jede kommutative unipotente Gruppe über $k$ ist isogen zu einem Produkt von Wittvektorgruppen.[14] Der Hauptsatz der klassischen Dieudonné-Theorie besagt: Der Funktor

M(G)=\varinjlim _{n}{\text{Hom}}(G,W_{n})

definiert eine Äquivalenz zwischen der Kategorie der kommutativen unipotenten algebraischen Gruppen über $k$ und der Kategorie der endlich erzeugten $D_{k}$ -Moduln, auf denen $V$ nilpotent wirkt.[15] Mit Hilfe der Cartier-Dualität oder mit Witt-Kovektoren kann man eine analoge Äquivalenz für endliche $p$ -Gruppen sowie für p-divisible Gruppen konstruieren.[16]

Für eine abelsche Varietät $X/k$ gibt es einen kanonischen Isomorphismus von $D_{k}$ -Moduln $M({}_{p}X)\cong H_{\text{DR}}^{1}(X)$ . Dabei ist ${}_{p}X$ der Kern der Multiplikation mit $p$ auf $X$ und $H_{\text{DR}}^{1}(X)$ die algebraische De-Rham-Kohomologie von $X$ .[17] Der Dieudonné-Modul der $p$ -divisiblen Gruppe von $X$ ist isomorph zur kristallinen Kohomologie $H_{\text{cris}}^{1}(X/W)$ .[18]

Witt-Kovektoren

Wie Wittvektoren eine Verallgemeinerung der $p$ -adischen Zahlen $W_{p}(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {Z} _{p}=\varprojlim _{n}\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ sind, so sind Witt-Kovektoren eine Verallgemeinerung der Prüfergruppe $CW(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}=\varinjlim _{n}{\tfrac {1}{p^{n}}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z}$ . Der Funktor $M(G)={\text{Hom}}(G,CW)$ erlaubt eine einheitliche Darstellung der Dieudonné-Theorie für endliche kommutative $p$ -Gruppen und $p$ -divisible Gruppen über einem perfekten Körper.[19]

Für einen Ring $A$ sei $CW^{u}(A)$ der direkte Limes von

W_{p,1}(A){\stackrel {V}{\longrightarrow }}W_{p,2}(A){\stackrel {V}{\longrightarrow }}W_{p,3}(A){\stackrel {V}{\longrightarrow }}\dots

Damit wird $CW^{u}$ zu einem Ind-Gruppenschema. In älterer Literatur wird auch das Symbol $\mathop {W} _{\to }$ verwendet. $CW^{u}(A)$ heißt Gruppe der unipotenten Witt-Kovektoren.[20]

Die Konstruktion der topologischen Gruppe $CW(A)$ aller Witt-Kovektoren ist komplizierter: Elemente in $CW^{u}(A)$ können mit Folgen $(x_{0},x_{-1},x_{-2},\dots )$ identifiziert werden, die ab einem Index null sind. Mit denselben universellen Formeln kann man für Folgen, die ab einem festen Index $r$ Werte in einem festen nilpotenten Ideal ${\mathfrak {n}}$ haben, eine Addition erklären. Statte diese Gruppen $CW(A,{\mathfrak {n}},r)$ mit der Produkttopologie von $A^{r}\times {\mathfrak {n}}^{\mathbb {N} }$ mit diskreten Faktoren aus und setze $CW(A)=\varinjlim _{{\mathfrak {n}},r}CW(A,{\mathfrak {n}},r)$ . Die unipotenten Kovektoren $CW^{u}(A)$ bilden eine dichte Untergruppe von $CW(A)$ .[21]

Sei $A$ ein perfekter Ring der Charakteristik $p$ und $f\colon A\to B$ eine $A$ -Algebra. Die Abbildung

W_{p}(A)\times W_{p,n}(B)\to W_{p,n}(B),\ \ (a,b)\mapsto W(f)(F^{1-n}a)\cdot b

macht $W_{p,n}(B)$ zu einem $W_{p}(A)$ -Modul (abweichend von der weiter oben definierten Modulstruktur), und mit dem Frobenius und der Verschiebung wird $W_{p,n}(B)$ zu einem $D_{A}$ -Modul. Die Verschiebung $W_{p,n}(B)\to W_{p,n+1}(B)$ ist $D_{A}$ -linear, und man erhält eine $D_{A}$ -Modulstruktur auf $CW^{u}(B)$ und $CW(B)$ .[22]

Verzweigte Wittvektoren

Sei $A$ ein vollständiger diskreter Bewertungsring der Charakteristik 0 mit Uniformisierender $\pi$ , dessen Restklassenkörper ein endlicher Körper mit $q$ Elementen ist. Dann gibt es genau eine funktorielle $A$ -Algebra-Struktur auf $W_{\pi }^{A}(B)=B^{\mathbb {N} _{0}}$ für $A$ -Algebren $B$ , so dass

w_{\pi ,n}:W_{\pi }^{A}(B)\to B,\ \ (x_{0},x_{1},\dots )\mapsto \sum _{k=0}^{n}\pi ^{k}x_{k}^{q^{n-k}}

für jedes $n\in \mathbb {N} _{0}$ ein Homomorphismus von $A$ -Algebren ist. Es gibt Frobenius- und Verschiebungsoperatoren $F_{\pi },V_{\pi }$ , die durch

w_{\pi ,n}\circ V_{\pi }=\pi \cdot w_{\pi ,n-1},\ \ w_{\pi ,n}\circ F_{\pi }=w_{\pi ,n+1}

charakterisiert sind. Für eine endliche Erweiterung $\lambda /\mathbb {F} _{q}$ des Restklassenkörpers von $A$ ist $W_{\pi }^{A}(\lambda )$ eine unverzweigte Erweiterung von $A$ vom Grad ${\displaystyle [\lambda$ . Verzweigte Wittvektoren übernehmen die Rolle der gewöhnlichen Wittvektoren bei der Übertragung der Cartier-Theorie auf formale $A$ -Moduln.[23]

Große Wittvektoren

Definition

Bezeichne $\mathbb {N} _{1}$ die Menge der positiven ganzen Zahlen.

Es gibt eindeutig bestimmte Polynome $S_{i},P_{i}\in \mathbb {Z} [X_{1},\dots ,X_{i},Y_{1},\dots ,Y_{i}]$ derart, dass für jeden kommutativen Ring mit Einselement $A$ gilt: $W(A)=A^{\mathbb {N} _{1}}$ ist ein Ring mit Addition

x+y=(S_{1}(x_{1},y_{1}),S_{2}(x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}),S_{3}(x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3}),\dots )

und Multiplikation

x\cdot y=(P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}),\dots )

und für jedes $n\in \mathbb {N} _{1}$ ist die Abbildung

W(A)\to A,\ \ x\mapsto \sum _{d|n}dx_{d}^{n/d}

ein Ringhomomorphismus. Auch das additiv Inverse $-x$ ist durch universelle Polynome gegeben. $W(A)$ heißt der Ring der großen oder universellen Wittvektoren mit Einträgen aus $A$ .

Ist $S\subseteq \mathbb {N} _{1}$ eine Teilmenge, so dass für $n\in S$ auch jeder Teiler von $n$ in $S$ liegt, dann ist $W_{S}(A)=A^{S}$ mit der entsprechend abgeschnittenen Addition und Multiplikation von $W(A)$ ebenfalls ein kommutativer Ring mit Einselement. Für $S=\{1,\dots ,n\}$ erhält man den Ring $W_{[n]}(A)$ der großen Wittvektoren der Länge $n$ , für $S=\{1,p,p^{2},\dots \}$ mit einer Primzahl $p$ erhält man bis auf Umindizierung den Ring der $p$ -typischen Wittvektoren, siehe unten.

Das Ringelement

x^{(n)}=\sum _{d|n}dx_{d}^{n/d}

wird als $n$ -te Geisterkomponente oder Nebenkomponente von $x\in W(A)$ bezeichnet. Mit den Witt-Polynomen

w_{n}(X)=\sum _{d|n}dX_{d}^{n/d}

kann man $S_{n}$ und $P_{n}$ rekursiv berechnen:

{\begin{aligned}S_{n}(X,Y)&={\frac {1}{n}}\left(w_{n}(X)+w_{n}(Y)-\sum _{d|n,\ d<n}dS_{d}^{n/d}(X,Y)\right)\\P_{n}(X,Y)&={\frac {1}{n}}\left(w_{n}(X)\cdot w_{n}(Y)-\sum _{d|n,\ d<n}dP_{d}^{n/d}(X,Y)\right)\end{aligned}}

Die Abbildung $\tau \colon A\to W(A),\ a\mapsto (a,0,0,\dots )$ ist multiplikativ und heißt Teichmüller-Vertretersystem.

$W$ ist als mengenwertiger Funktor darstellbar durch einen Polynomring in abzählbar unendlich vielen Unbestimmten. In der Praxis verwendet man konkret den Ring der symmetrischen Polynome, und Strukturen von $W$ zu übertragen.[24]

Alternative Definition mit Potenzreihen

Sei $\Lambda (A)=1+T\cdot A[[T]]\subseteq A[[T]]^{*}$ die multiplikative Gruppe der formalen Potenzreihen mit konstantem Term 1. Die Abbildung

{\begin{aligned}&W(A)\to \Lambda (A)\\&x\mapsto \prod _{n\geq 1}(1-x_{n}(-T)^{n})\end{aligned}}

ist ein Isomorphismus von Gruppen $(W(A),{+})\cong (\Lambda (A),{\cdot })$ .[25] Für $x\in W(A)$ hat

-T\cdot {\frac {\partial }{\partial T}}\log \prod _{n\geq 1}(1-x_{n}(-T)^{n})=\sum _{n\geq 1}x^{(n)}(-T)^{n}

als Koeffizienten die Geisterkomponenten von $x$ .

Unter dem Isomorphismus wird das Produkt zweier Wittvektoren $x,y\in W(A)$ abgebildet auf:

\prod _{d,e\geq 1}(1-x_{d}^{m/d}y_{e}^{m/e}(-T)^{m})^{de/m}

wobei jeweils $m={\text{kgV}}(d,e)$ . Schreibe $*$ für die der Multiplikation in $W(A)$ entsprechende Verknüpfung auf $\Lambda (A)$ , so dass $(W(A),{+},{\cdot },0,1)\cong (\Lambda (A),{\cdot },{*},1,1+T)$ ein Isomorphismus von Ringen ist. Als Spezialfall der Multiplikationsformel ergibt sich[26]

(1+x_{1}T)*(1+y_{1}T)=1+x_{1}y_{1}T

Frobenius und Verschiebung

Zu jeder natürlichen Zahl $n\in \mathbb {N} _{1}$ gibt es Operatoren $F_{n}$ und $V_{n}$ . Ihre Wirkung auf den Geisterkomponenten ist:

{\begin{aligned}&w_{m}(V_{n}(x))={\begin{cases}n\cdot w_{m/n}(x)&{\text{falls }}n|m\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}\\&w_{m}(F_{n}(x))=w_{mn}(x)\end{aligned}}

In $\Lambda (A)$ ist

{\begin{aligned}&V_{n}(f(T))=f((-1)^{n+1}T^{n})\\&F_{n}(f)((-1)^{n+1}T^{n})=\prod _{k=1}^{n}f(\zeta ^{k}T)=N_{A[[T]]/A[[T^{n}]]}(f(T))\end{aligned}}

Dabei ist $\zeta$ eine formale primitive $n$ -te Einheitswurzel und $N$ die Norm.[27] Insbesondere gilt

F_{n}(1+aT)=1+a^{n}T

Für $n\in \mathbb {Z}$ sei $[n]$ die Multiplikation mit $n$ auf $W(A)$ , also

{\begin{aligned}&w_{m}([n](x))=n\cdot w_{m}(x)\\{}&[n](f(T))=f(T)^{n}\end{aligned}}

Ist $A$ eine $R$ -Algebra (insbesondere $R=\mathbb {Z}$ ), dann gibt es für jedes $r\in R$ einen Operator $\langle r\rangle \colon W(A)\to W(A)$ :

{\begin{aligned}&w_{m}(\langle r\rangle (x))=r^{m}\cdot w_{m}(x)\\&\langle r\rangle (f(T))=f(rT)\end{aligned}}

Es gilt für $m,n\in \mathbb {N} _{1}$ , $r,q\in R$ :

{\begin{aligned}V_{m}V_{n}&=V_{mn}\\F_{m}F_{n}&=F_{mn}\\V_{m}F_{n}&=F_{n}V_{m}{\text{ falls ggT}}(m,n)=1\\F_{n}V_{n}&=[n]\\\langle r\rangle \langle s\rangle &=\langle rs\rangle \\\langle r\rangle V_{n}&=V_{n}\langle r^{n}\rangle \\F_{n}\langle r\rangle &=\langle r^{n}\rangle F_{n}\\\langle r\rangle +\langle q\rangle &=\sum _{n=1}^{\infty }V_{n}\langle s_{n}(r,q)\rangle F_{n}\end{aligned}}

In der letzten Formel steht $s_{n}(r,q)$ für die $n$ -te Komponente von $\tau (r)+\tau (q)\in W(R)$ .

Beziehung zu den p-typischen Wittvektoren, Artin-Hasse-Exponentialfunktion

Sei $p$ eine Primzahl. Die Abbildung $W(A)\to W_{p}(A)$ , $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} _{1}}\mapsto (x_{p^{n}})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ , ist ein surjektiver Ringhomomorphismus. Die $p$ -typischen Wittpolynome $w_{p,n}$ sind unter dieser Umindizierung gleich den großen Wittpolynomen $w_{p^{n}}$ , dasselbe gilt damit auch für die Geisterkomponenten.

Die Teilmenge $\{x\in W(A):x_{k}\neq 0\Rightarrow k=p^{n}\}$ ist kein Unterring von $W(A)$ . In bestimmten Fällen kann man jedoch $W_{p}(A)$ in $W(A)$ einbetten.

Die Artin-Hasse-Exponentialfunktion

E_{0}(X)=\exp \left(\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {X^{p^{m}}}{p^{m}}}\right)=\prod _{p\nmid m}(1-X^{m})^{-\mu (m)/m}

kann als Element von $\mathbb {Z} _{(p)}[[X]]$ aufgefasst werden (d. h. die Koeffizienten haben nicht durch $p$ teilbare Nenner, siehe Lokalisierung; $\mu$ ist die Möbius-Funktion).

Ist $A$ eine $\mathbb {Z} _{(p)}$ -Algebra, d. h. sind alle Primzahlen $\neq p$ in $A$ invertierbar, dann ist für einen Wittvektor $x\in W_{p}(A)$ das Element

E(x)=\prod _{n=0}^{\infty }E_{0}(x_{n}T^{p^{n}})=\exp \left(\sum _{n}w_{p,n}(x){\frac {T^{p^{n}}}{p^{n}}}\right)\in \Lambda (A)

wohldefiniert. $e=E(1)=E_{0}(T)$ ist ein Idempotent in $\Lambda (A)$ , und $E:W_{p}(A)\to \Lambda (A)\cong W(A)$ induziert einen Ringisomorphismus $W_{p}(A)\to e*\Lambda (A)$ . Bezeichne die $e*\Lambda (A)$ entsprechende Untergruppe von $W(A)$ mit $W_{(p)}(A)$ . Dann gilt:

W_{(p)}(A)=\{x\in W(A):p\nmid n\implies F_{n}x=0\}

Der Ring $W(A)$ zerfällt als direktes Produkt der ${\tfrac {1}{m}}V_{m}W_{(p)}(A)$ für $p\nmid m$ .[28] Für beliebige Ringe $A$ ist $W(A)\cong W^{p}(W_{p}(A))$ , wenn $W^{p}(R)$ den Quotienten von $W(A)$ bezeichnet, den man durch Projektion auf die Komponenten mit nicht durch $p$ teilbarem Index erhält.[29]

Frobenius $F_{p}$ und Verschiebung $V_{p}$ schränken sich zu Operatoren auf $W_{(p)}$ ein und stimmen dort mit den auf $W_{p}$ erklärten Operatoren $F$ bzw. $V$ überein.

Für einen Körper $k$ der Charakteristik $p$ ist $\Lambda (k)$ die Einseinheitengruppe von $k((T))$ , und so erhält man den Isomorphismus

k((T))^{*}\cong k^{*}\times \mathbb {Z} \times W_{p}(k)^{I(p)}

mit

I(p)=\{n\in \mathbb {N} :p\nmid n\}

Für jede $k$ -Algebra $A$ ist

W_{[n]}(A)\cong \Lambda _{[n]}(A)=\{1+a_{1}T+\dots +a_{n}T^{n}\in (A[T]/T^{n+1}A[T])^{*}\}

Das Abschneiden bei $n$ reduziert den Faktor ${\tfrac {1}{m}}V_{m}W_{(p)}(A)$ auf ${\tfrac {1}{m}}V_{m}W_{p,r_{m}}(A)$ , wobei $r_{m}$ die kleinste ganze Zahl mit $m\cdot p^{r_{m}}\geq n+1$ ist. Man erhält also einen Isomorphismus von algebraischen Gruppen (über $k$ )[30]

\Lambda _{[n]}\cong \prod _{m\leq n,\ p\nmid m}W_{p,r_{m}}

Die Artin-Hasse-Exponentialabbildung hängt auch mit der Komonadenstruktur $\mu \colon W_{p}\to W_{p}\circ W_{p}$ zusammen: Für einen perfekten Körper $k$ der Charakteristik $p$ ist die Verkettung von

W_{p}(k)\to \Lambda (W_{p}(k)),\ \ x\mapsto \prod _{i=0}^{\infty }E_{0}(\tau (x_{i}^{p^{-i}})\cdot T)^{p^{i}}

mit der Projektion $\Lambda (W_{p}(k))\cong W(W_{p}(k))\to W_{p}(W_{p}(k))$ gleich $\mu$ .[31]

λ-Ringe

Es gibt einen kanonischen Ringhomomorphismus $\mu _{A}\colon W(A)\to W(W(A))$ , der $w_{n}\circ \mu =F_{n}$ erfüllt. Wenn $A$ als abelsche Gruppe torsionsfrei ist, ist $\mu$ durch diese Bedingung eindeutig bestimmt, und für andere Ringe ist $\mu$ dadurch charakterisiert, dass für eine Surjektion $f\colon A'\to A$ mit einem torsionsfreien Ring $A'$ die Gleichung $\mu _{A}\circ W(f)=W(W(f))\circ \mu _{A'}$ gilt. Zusammen mit $w_{1}\colon W(A)\to A$ wird $W$ zu einer Komonade.[32] Überträgt man die Koalgebren zu dieser Komonade auf $\Lambda (A)$ , erhält man die so genannten λ-Ringe.

Die erste Geisterkomponente $w_{1}\colon W(A)\to A$ entspricht in $\Lambda (A)$ dem ersten Koeffizienten:

w_{1}\colon \Lambda (A)\to A,\ 1+a_{1}T+a_{2}T^{2}+\dots \mapsto a_{1}

Ein Prä-λ-Ring ist ein Ring $A$ zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus $\lambda \colon A\to \Lambda (A)$ mit $w_{1}\circ \lambda ={\text{id}}_{A}$ . Diese Bedingung ist die Kompatibilität mit der Koeins der Komonade. Bezeichnet man die Koeffizienten von $\lambda (a)$ mit $\lambda ^{n}(a)$ , also

\lambda (a)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda ^{n}(a)T^{n}

dann ist eine Prä-λ-Struktur äquivalent zur Angabe von Abbildungen $\lambda ^{n}\colon A\to A$ für $n\in \mathbb {N} _{0}$ , die die folgenden Gleichungen erfüllen:

{\begin{aligned}&\lambda ^{0}(a)=1\\&\lambda ^{1}(a)=a\\&\lambda ^{n}(a+b)=\sum _{k=0}^{n}\lambda ^{k}(a)\lambda ^{n-k}(b)\end{aligned}}

Ein λ-Homomorphismus $(A,\lambda _{A})\to (B,\lambda _{B})$ ist ein Ringhomomorphismus $f\colon A\to B$ mit $\Lambda (f)\circ \lambda _{A}=\lambda _{B}\circ f$ , d. h. das folgende Diagramm kommutiert:

{\begin{matrix}A&\rightarrow &B\\\downarrow &&\downarrow \\\Lambda (A)&\rightarrow &\Lambda (B)\end{matrix}}

Der Ring $\Lambda (A)$ besitzt wie oben ausgeführt für jeden Ring $A$ eine kanonische Prä-λ-Struktur. Ein λ-Ring ist ein Prä-λ-Ring, für den $\lambda \colon A\to \Lambda (A)$ ein λ-Homomorphismus ist. Das obige Diagramm ist für $B=\Lambda (A)$ gerade die Kompatibilität mit der Komultiplikation der Komonade. Übersetzt in die $\lambda ^{n}$ sind das zusätzliche Bedingungen der folgenden Form:

{\begin{aligned}&\lambda ^{n}(1)=0{\text{ falls }}n>1\\&\lambda ^{n}(ab)=P_{n}(\lambda ^{1}(a),\dots ,\lambda ^{n}(a),\lambda ^{1}(b),\dots ,\lambda ^{n}(b))\\&\lambda ^{m}(\lambda ^{n}(a))=Q_{n,m}(\lambda ^{1}(a),\dots ,\lambda ^{mn}(a))\end{aligned}}

Die (universellen) Polynome $P_{n}$ beschreiben die $*$ -Multiplikation auf $\Lambda (A)$ und besitzen wie die Polynome $Q_{n,m}$ eine Beschreibung mit Hilfe von elementarsymmetrischen Polynomen.

Die Koassoziativität der Komonade $\Lambda$ besagt, dass $\Lambda (A)$ selbst ein λ-Ring ist. Der Funktor $\Lambda$ ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der λ-Ringe in die Kategorie der Ringe.

Ist $(A,\lambda )$ ein λ-Ring, dann ist der Ringhomomorphismus

A{\stackrel {\lambda }{\longrightarrow }}\Lambda (A)\cong W(A){\stackrel {w_{n}}{\longrightarrow }}A

die $n$ -te Adams-Operation $\psi _{n}$ auf $A$ . Es gilt $\psi _{n}\circ \psi _{m}=\psi _{mn}$ . Für eine Primzahl $p$ ist $w_{p}=X_{1}^{p}+pX_{p}$ , also $\psi _{p}(a)\equiv a^{p}\mod pA$ , d. h. $\psi _{p}$ ist ein Frobeniuslift. Ist $A$ ein beliebiger Ring, dann ist die Adams-Operation $\psi _{n}$ auf dem λ-Ring $\Lambda (A)$ der Frobenius $F_{n}$ .[33]

Cartier-Theorie

Die Cartier-Theorie (nach Pierre Cartier) ist eine Äquivalenz von Kategorien zwischen einer geeigneten Kategorie kommutativer formaler Gruppen über einem Ring $k$ und einer Unterkategorie der Moduln über dem Cartier-Ring ${\text{Cart}}(k)$ .[34]

Sei ${\text{Nil}}(k)$ die Kategorie der kommutativen $k$ -Algebren ohne Einselement, die nur aus nilpotenten Elementen bestehen. Für die Zwecke der Theorie werden kommutative formale Gruppen mit Funktoren ${\text{Nil}}(k)\to {\text{Ab}}$ identifiziert. Ist $F\in k[[X,Y]]$ ein formales Gruppengesetz, ordnet der entsprechende Funktor einer Algebra $A$ die Menge $A$ mit der Gruppenstruktur $(a,b)\mapsto F(a,b)$ zu. Die formale Gruppe $A\mapsto (A,{+})$ ist die formale affine Gerade ${\widehat {\mathbb {A} }}^{1}$ . Die Funktoren können auf natürliche Weise auf die Kategorie der Algebren fortgesetzt werden, die filtrierende projektive Limites von Algebren in ${\text{Nil}}(k)$ sind.

Die formale Gruppe der Wittvektoren ist der Funktor ${\widehat {W}}$ , der einer Algebra $A$ die Untergruppe der Wittvektoren in $W(A)$ zuordnet, die nur endlich viele von 0 verschiedene Komponenten haben. Die entsprechende Untergruppe ${\widehat {\Lambda }}(A)\subseteq \Lambda (A)$ besteht aus den Elementen, die bezüglich $T$ ein Polynom sind. Der Ring ${\text{End}}({\widehat {W}})^{\text{op}}$ wird mit ${\text{Cart}}(k)$ bezeichnet und Cartier-Ring genannt. Die Operatoren $F_{n},V_{n},\langle r\rangle$ schränken sich zu Endomorphismen von ${\widehat {W}}$ ein und definieren damit Elemente $V_{n},F_{n},\langle r\rangle \in {\text{Cart}}(k)$ . Dabei werden die Bezeichnungen von $F_{n}$ und $V_{n}$ vertauscht, so dass die obigen Relationen wegen der vertauschten Multiplikationsreihenfolge wieder gelten. Die Abbildung $W(k)\to {\text{Cart}}(k)$ , $\textstyle a\mapsto \sum _{n\geq 1}V_{n}\langle a_{n}\rangle F_{n}$ ist ein injektiver Ringhomomorphismus.

Sei $G$ eine formale Gruppe. Die folgenden Gruppen sind natürlich isomorph:

$G(X\ k[[X]])=\varprojlim _{n}G(X\ k[X]/X^{n}\ k[X])$
die Gruppe der Morphismen ${\widehat {\mathbb {A} }}^{1}\to G$ (nicht Gruppenhomomorphismen, d. h. natürliche Transformationen nur als mengenwertige Funktoren). Die Gruppenstruktur wird von der Gruppenstruktur auf $G$ induziert.
die Gruppe der Homomorphismen ${\widehat {W}}\to G$

Ihre Elemente werden Kurven in $G$ genannt, die Gruppe mit $C(G)$ bezeichnet. Aus der letzten Beschreibung ergibt sich eine kanonische ${\text{Cart}}(k)$ -Linksmodulstruktur auf $C(G)$ .

Die Potenzreihengruppe $\Lambda (k)$ kann mit $C({\widehat {\mathbb {G} }}_{m})$ identifiziert werden. Die Witt-Polynome entsprechen dem Gruppenhomomorphismus $C({\widehat {\mathbb {G} }}_{m})\to C({\widehat {\mathbb {G} }}_{a})$ , der von der logarithmischen Ableitung auf $X\ k[[X]]$ induziert wird.

In $C(G)=G(X\ k[[X]])$ wird die Operation von $V_{n}\in {\text{Cart}}(k)$ von $X\mapsto X^{n}$ induziert, die Operation von $\langle r\rangle$ von $X\mapsto rX$ . Für $F_{n}$ betrachte wieder eine formale $n$ -te Einheitswurzel $\zeta$ und bilde in $G$ die Summe der Kurven, die man durch $X\mapsto \zeta ^{i}X^{1/n}$ für $i=0,1,\dots ,n-1$ erhält. Für $G={\widehat {\mathbb {G} }}_{m}$ ist eine Kurve durch das Bild $f\in X\ k[[X]]$ der Koordinate bestimmt. Identifiziert man $1+f$ mit dem entsprechenden Element in $\Lambda (k)$ , stimmen die Wirkungen von $F_{n},V_{n},\langle r\rangle$ mit den oben definierten überein (ohne Vertauschung von $F_{n}$ und $V_{n}$ ).

Sowohl ${\text{Cart}}(k)$ als auch $C(G)$ tragen natürliche Topologien. Der Hauptsatz der Cartier-Theorie besagt, dass $C$ eine Äquivalenz zwischen einer Kategorie formaler Gruppen über $k$ und einer Kategorie topologischer ${\text{Cart}}(k)$ -Moduln induziert. Der inverse Funktor ordnet einem ${\text{Cart}}(k)$ -Modul $M$ ein geeignet konstruiertes Tensorprodukt ${\widehat {W}}\otimes _{{\text{Cart}}(k)}M$ zu.

Sei $p$ eine Primzahl und $k$ eine $\mathbb {Z} _{(p)}$ -Algebra, d. h. jede Primzahl $\neq p$ ist in $k$ invertierbar. Dann ist $\textstyle \epsilon _{p}=\sum _{p\nmid n}{\frac {\mu (n)}{n}}V_{n}F_{n}$ ein Idempotent in ${\text{Cart}}(k)$ , setze ${\text{Cart}}_{p}(k)=\epsilon _{p}{\text{Cart}}(k)\epsilon _{p}$ . Für einen ${\text{Cart}}(k)$ -Modul $M$ ist $\epsilon _{p}M\subseteq M$ die Untergruppe der Elemente $m\in M$ mit $F_{n}m=0$ für alle $p\nmid n$ . Solche Elemente heißen $p$ -typisch.

Für eine formale Gruppe $G$ sei $C_{p}(G)=\epsilon _{p}C(G)\cong {\text{Hom}}({\widehat {W}}_{p},G)$ die Gruppe der $p$ -typischen Kurven (dabei ${\widehat {W}}_{p}$ die formale Gruppe zu den $p$ -typischen Wittvektoren $W_{p}$ , analog zu ${\widehat {W}}$ ). Dann induziert $C_{p}$ eine Äquivalenz zwischen der Kategorie formaler Gruppen über $k$ wie oben und einer Kategorie topologischer ${\text{Cart}}_{p}(k)$ -Moduln. Der inverse Funktor ist wie vorher ein Tensorprodukt ${\widehat {W}}_{p}\otimes _{{\text{Cart}}_{p}(k)}M$ .

Für einen perfekten Körper $k$ der Charakteristik $p$ kann der Dieudonné-Ring $D_{k}$ mit einem dichten Unterring in ${\text{Cart}}_{p}(k)$ identifiziert werden. Unter geeigneten Voraussetzungen ist der Dieudonné-Modul dual zum Modul der $p$ -typischen Kurven, ${\text{Hom}}_{W_{p}(k)}(M(G),W_{p}(k))\cong C_{p}(G)$ .

Verallgemeinerungen

Colette Schoeller hat Teile der $p$ -typischen Theorie, nämlich die Konstruktion des Cohen-Rings und der Klassifikation der unipotenten Gruppen, auf nicht perfekte Körper ausgedehnt.[35]
Andreas Dress und Christian Siebeneicher haben die Konstruktion eines Rings $W_{G}(A)$ aus einer proendlichen Gruppe $G$ und einem Ring $A$ angegeben, so dass $W_{G}(\mathbb {Z} )$ isomorph zum komplettierten Burnside-Ring von $G$ ist. Für $G=\mathbb {Z} _{p}$ ergibt sich $W_{p}(A)$ , für $G={\widehat {\mathbb {Z} }}$ ergibt sich $W(A)$ .[36]

Literatur

Lehrbücher und Übersichtsartikel

George Mark Bergman: Ring Schemes: the Witt Scheme. In: David Mumford, Lectures on Curves on an Algebraic Surface. Princeton University Press, Princeton 1966, ISBN 0-691-07993-5.
Nicolas Bourbaki: Éléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitres 8 et 9. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-33942-6.
Michiel Hazewinkel: Witt Vectors. Part 1. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Handbook of Algebra. Vol. 6. Elsevier, Amsterdam 2009, ISBN 978-0-444-53257-2, S. 319–472, arxiv:0804.3888.
Jean-Pierre Serre: Local Fields. Springer, Berlin 1979, ISBN 3-540-90424-7.

Weiterführende Themen

Pierre Berthelot: Exposé V. Généralités sur les λ-anneaux. In: Pierre Berthelot, Alexandre Grothendieck, Luc Illusie (Hrsg.): Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie. 1966-67 − Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch (SGA 6) (= Lecture notes in mathematics). Band 225. Springer, Berlin 1971, ISBN 3-540-05647-5, S. 297–364.
James Borger: The basic geometry of Witt vectors, I: The affine case. In: Algebra and Number Theory. Band 5, Nr. 2, 2011, S. 231–285, doi:10.2140/ant.2011.5.231, arxiv:0801.1691 (maths.anu.edu.au).
James Borger, Ben Wieland: Plethystic Algebra. In: Advances in Mathematics. Band 194, Nr. 2, 2005, S. 246–283, arxiv:math.AC/0407227 (maths.anu.edu.au).
Michel Demazure: Lectures on p-Divisible Groups (= Lecture notes in mathematics. Band 302). Springer-Verlag, Berlin 1972, ISBN 3-540-06092-8.
Michel Demazure, Pierre Gabriel: Groupes algébriques. Tome 1. North-Holland, Amsterdam 1970, ISBN 0-7204-2034-2.
Michiel Hazewinkel: Formal Groups and Applications. Academic Press, New York 1978, ISBN 0-12-335150-2.
Luc Illusie: Complexe de De Rham-Witt et cohomologie cristalline. In: Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Sér. 4. Band 12, Nr. 4, 1979, S. 501–661 (numdam.org).
Jean-Pierre Serre: Algebraic Groups and Class Fields. Springer, Berlin 1988, ISBN 3-540-96648-X.

Weblinks

Witt vector. In: I.V. Dolgachev (originator): Encyclopedia of Mathematics.

Einzelnachweise

Originalarbeit: Ernst Witt: Zyklische Körper und Algebren der Charakteristik p vom Grad pⁿ. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p. In: J. Reine Angew. Math. Band 176, 1936, S. 126–140.
James Borger hat Argumente dafür vorgebracht, die Nummerierung $W_{p,n}(A)=A^{n+1}$ für $n=0,1,2,\dots$ zu bevorzugen, siehe Borger 2011, 2.5
Hazewinkel 2009, Theorem 5.2. Bourbaki verwendet stattdessen eine Charakterisierung des Bilds von $w:W_{p}(A)\to A^{\mathbb {N} _{0}}$ und erhält die universellen Polynome durch Spezialisierung auf Polynomringe $A$ .
Demazure-Gabriel, V §4, 2.1
Bourbaki, IX §1 Proposition 3. Hazewinkel 2009, 5.30
Illusie 1979, S. 508. Bourbaki, IX §1 Ex. 14, 15
Alexandru Buium: Arithmetic Differential Equations. AMS, Providence 2005, ISBN 0-8218-3862-8.
André Joyal: δ-anneaux et vecteurs de Witt. In: C. R. Math. Acad. Sci., Soc. R. Can. Band 7, 1985, S. 177–182.
Borger-Wieland 2005
Bourbaki, IX §1 Ex. 9
Pierre Deligne, Luc Illusie: Relèvements modulo p² et décomposition du complexe de de Rham. In: Inv. Math. Band 89, 1987, S. 247–270.
Illusie 1979, Kap. II. Als Vorläufer dieser Konstruktion kann die folgende Arbeit von Spencer Bloch angesehen werden, in der er einen Komplex von Kurven im Sinn der Cartier-Theorie in der K-Theorie betrachtet: Spencer Bloch: Algebraic K-Theory and Crystalline Cohomology. In: Publ. math. de l’I.H.É.S. Band 47, 1977, S. 187–268. Eine systematische Betrachtung von Verdickungen des Typs $W_{n}(X)$ sowie einer adjungierten Konstruktion findet sich in: James Borger: The basic geometry of Witt vectors. II: Spaces. In: Mathematische Annalen. Band 351, Nr. 4, 2011, S. 877–933, doi:10.1007/s00208-010-0608-1, arxiv:1006.0092.
J. H. Silverman, Nigel Smart, F. Vercauteren: An algebraic approach to NTRU via Witt vectors and overdetermined systems of nonlinear equations. In: Carlo Blundo, Stelvio Cimato (Hrsg.): Security in Communication Networks: 4th International Conference, SCN 2004, Amalfi, Italy, September 8–10, 2004, Lecture Notes in Computer Science 3352. Springer-Verlag, 2005, S. 278–293.
Demazure-Gabriel, V §3 6.11. Serre 1988, VII §2 10
Demazure-Gabriel, V §1 4
Demazure 1972, III §6–8
Corollary 5.11 in: Tadao Oda: The first de Rham cohomology group and Dieudonné modules. In: Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Sér. 4. Band 2, Nr. 1, 1969, S. 63–135 (online).
Luc Illusie: Crystalline Cohomology. In: Uwe Jannsen et al. (Hrsg.): Motives (= Proceedings of Symposia in Pure Mathematics). Band 55, Nr. 1. American Mathematical Society, Providence 1994, S. 43–70.
Jean-Marc Fontaine: Groupes p-divisibles sur les corps locaux. In: Astérisque. Band 47-48, 1977. Pierre Berthelot: Théorie de Dieudonné sur un anneau de valuation parfait. In: Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Sér. 4. Band 13, Nr. 2, 1980, S. 225–268 (online).
Bourbaki, IX §1 Ex. 23
Bourbaki, IX §1 Ex. 24
Bourbaki, IX §1 Ex. 25
Hazewinkel 1978, 25.3 und 25.6.4. Weitere Verallgemeinerungen dort und in Borger 2011.
Hazewinkel 2009 Kap. 10. Borger-Wieland 2005
Die Vorzeichenwahl ist uneinheitlich, drei Varianten finden sich bei Bourbaki, Hazewinkel und Bergman. Mit der hier getroffenen Wahl (wie bei Bourbaki oder Berthelot 1971) wird der Zusammenhang mit λ-Ringen einfacher.
Bourbaki, IX §1 Ex. 47. Vgl. Hazewinkel 2009, (9.15) und (9.27)
Bourbaki, IX §1 Ex. 47. Vgl. Hazewinkel 2009, Kap. 13
Bourbaki, IX §1 Ex. 40. Demazure-Gabriel, V §5, 3.4
Roland Auer: A functorial property of nested Witt vectors. In: Journal of Algebra. Band 252, Nr. 2, 2002, S. 293–299.
Serre 1988, V §3 Proposition 9
Hazewinkel 1978 17.5
Bourbaki, IX §1 Ex. 41. Hazewinkel 2009 16.59
Bourbaki, IX §1 Ex. 48. Hazewinkel 2009, 16.22
Übersichtsartikel zum gesamten Abschnitt: Lawrence Breen: Rapport sur la Théorie de Dieudonné. In: Astérisque. Band 63, 1979, S. 39–66. Siehe auch: Thomas Zink: Cartiertheorie kommutativer formaler Gruppen. Teubner, 1984, ISBN 3-322-00647-6. Michel Lazard: Commutative Formal Groups. Springer, Berlin 1975, ISBN 3-540-07145-8. Ching-Li Chai: Notes on Cartier Theory. (math.upenn.edu [PDF]).
Colette Schoeller: Groupes affines, commutatifs, unipotents sur un corps non parfait. In: Bulletin de la S. M. F. Band 100, 1972, S. 241–300 (online).; Bourbaki, IX §2 Ex. 10
Andreas Dress, Christian Siebeneicher: The Burnside ring of profinite groups and the Witt vector construction. In: Adv. Math. Band 70, 1988, S. 87–132.

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[1] Originalarbeit: Ernst Witt: Zyklische Körper und Algebren der Charakteristik p vom Grad pⁿ. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p. In: J. Reine Angew. Math. Band 176, 1936, S. 126–140.

[2] James Borger hat Argumente dafür vorgebracht, die Nummerierung $W_{p,n}(A)=A^{n+1}$ für $n=0,1,2,\dots$ zu bevorzugen, siehe Borger 2011, 2.5

[3] Hazewinkel 2009, Theorem 5.2. Bourbaki verwendet stattdessen eine Charakterisierung des Bilds von $w:W_{p}(A)\to A^{\mathbb {N} _{0}}$ und erhält die universellen Polynome durch Spezialisierung auf Polynomringe $A$ .

[4] Demazure-Gabriel, V §4, 2.1

[5] Bourbaki, IX §1 Proposition 3. Hazewinkel 2009, 5.30

[6] Illusie 1979, S. 508. Bourbaki, IX §1 Ex. 14, 15

[7] Alexandru Buium: Arithmetic Differential Equations. AMS, Providence 2005, ISBN 0-8218-3862-8.

[8] André Joyal: δ-anneaux et vecteurs de Witt. In: C. R. Math. Acad. Sci., Soc. R. Can. Band 7, 1985, S. 177–182.

[9] Borger-Wieland 2005

[10] Bourbaki, IX §1 Ex. 9

[11] Pierre Deligne, Luc Illusie: Relèvements modulo p² et décomposition du complexe de de Rham. In: Inv. Math. Band 89, 1987, S. 247–270.

[12] Illusie 1979, Kap. II. Als Vorläufer dieser Konstruktion kann die folgende Arbeit von Spencer Bloch angesehen werden, in der er einen Komplex von Kurven im Sinn der Cartier-Theorie in der K-Theorie betrachtet: Spencer Bloch: Algebraic K-Theory and Crystalline Cohomology. In: Publ. math. de l’I.H.É.S. Band 47, 1977, S. 187–268. Eine systematische Betrachtung von Verdickungen des Typs $W_{n}(X)$ sowie einer adjungierten Konstruktion findet sich in: James Borger: The basic geometry of Witt vectors. II: Spaces. In: Mathematische Annalen. Band 351, Nr. 4, 2011, S. 877–933, doi:10.1007/s00208-010-0608-1, arxiv:1006.0092.

[13] J. H. Silverman, Nigel Smart, F. Vercauteren: An algebraic approach to NTRU via Witt vectors and overdetermined systems of nonlinear equations. In: Carlo Blundo, Stelvio Cimato (Hrsg.): Security in Communication Networks: 4th International Conference, SCN 2004, Amalfi, Italy, September 8–10, 2004, Lecture Notes in Computer Science 3352. Springer-Verlag, 2005, S. 278–293.

[14] Demazure-Gabriel, V §3 6.11. Serre 1988, VII §2 10

[15] Demazure-Gabriel, V §1 4

[16] Demazure 1972, III §6–8

[17] Corollary 5.11 in: Tadao Oda: The first de Rham cohomology group and Dieudonné modules. In: Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Sér. 4. Band 2, Nr. 1, 1969, S. 63–135 (online).

[18] Luc Illusie: Crystalline Cohomology. In: Uwe Jannsen et al. (Hrsg.): Motives (= Proceedings of Symposia in Pure Mathematics). Band 55, Nr. 1. American Mathematical Society, Providence 1994, S. 43–70.

[19] Jean-Marc Fontaine: Groupes p-divisibles sur les corps locaux. In: Astérisque. Band 47-48, 1977. Pierre Berthelot: Théorie de Dieudonné sur un anneau de valuation parfait. In: Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, Sér. 4. Band 13, Nr. 2, 1980, S. 225–268 (online).

[20] Bourbaki, IX §1 Ex. 23

[21] Bourbaki, IX §1 Ex. 24

[22] Bourbaki, IX §1 Ex. 25

[23] Hazewinkel 1978, 25.3 und 25.6.4. Weitere Verallgemeinerungen dort und in Borger 2011.

[24] Hazewinkel 2009 Kap. 10. Borger-Wieland 2005

[25] Die Vorzeichenwahl ist uneinheitlich, drei Varianten finden sich bei Bourbaki, Hazewinkel und Bergman. Mit der hier getroffenen Wahl (wie bei Bourbaki oder Berthelot 1971) wird der Zusammenhang mit λ-Ringen einfacher.

[26] Bourbaki, IX §1 Ex. 47. Vgl. Hazewinkel 2009, (9.15) und (9.27)

[27] Bourbaki, IX §1 Ex. 47. Vgl. Hazewinkel 2009, Kap. 13

[28] Bourbaki, IX §1 Ex. 40. Demazure-Gabriel, V §5, 3.4

[29] Roland Auer: A functorial property of nested Witt vectors. In: Journal of Algebra. Band 252, Nr. 2, 2002, S. 293–299.

[30] Serre 1988, V §3 Proposition 9

[31] Hazewinkel 1978 17.5

[32] Bourbaki, IX §1 Ex. 41. Hazewinkel 2009 16.59

[33] Bourbaki, IX §1 Ex. 48. Hazewinkel 2009, 16.22

[34] Übersichtsartikel zum gesamten Abschnitt: Lawrence Breen: Rapport sur la Théorie de Dieudonné. In: Astérisque. Band 63, 1979, S. 39–66. Siehe auch: Thomas Zink: Cartiertheorie kommutativer formaler Gruppen. Teubner, 1984, ISBN 3-322-00647-6. Michel Lazard: Commutative Formal Groups. Springer, Berlin 1975, ISBN 3-540-07145-8. Ching-Li Chai: Notes on Cartier Theory. (math.upenn.edu [PDF]).

[35] Colette Schoeller: Groupes affines, commutatifs, unipotents sur un corps non parfait. In: Bulletin de la S. M. F. Band 100, 1972, S. 241–300 (online).; Bourbaki, IX §2 Ex. 10

[36] Andreas Dress, Christian Siebeneicher: The Burnside ring of profinite groups and the Witt vector construction. In: Adv. Math. Band 70, 1988, S. 87–132.