Wirkung (Physik)

In der klassischen Mechanik ordnet die Wirkung ${\displaystyle S}$ jeder zweifach differenzierbaren Bahn ${\displaystyle \Gamma \colon t\mapsto x(t)\,}$, die ein Punktteilchen mit der Zeit ${\displaystyle t}$ von einem Anfangspunkt ${\displaystyle {\underline {x}}=x(t_{1})}$ zu einem Endpunkt ${\displaystyle {\overline {x}}=x(t_{2})}$ durchläuft, den Wert des Integrals

${\displaystyle S[\Gamma ]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\!\left(t,x(t),{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}(t)\right)\,\mathrm {d} t}$

zu. Dabei ist in Newtons Mechanik die Lagrangefunktion ${\displaystyle L(t,x,v)}$ eines Teilchens der Masse ${\displaystyle m}$, das sich im Potential ${\displaystyle V(t,x)}$ bewegt, die Differenz von kinetischer und potentieller Energie als Funktion der Zeit ${\displaystyle t}$, des Ortes ${\displaystyle x}$ und der Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$,

${\displaystyle L(t,x,v)={\frac {1}{2}}\,m\,v^{2}-V(t,x)\ .}$

Im Integranden der Wirkung ${\displaystyle S[\Gamma ]}$ wird für ${\displaystyle x}$ der Ort ${\displaystyle x(t)}$ der Bahn zur Zeit ${\displaystyle t}$ und für ${\displaystyle v}$ seine Zeitableitung ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}(t)}$ eingesetzt. Das Integral dieser verketteten Funktion der Zeit ist die Wirkung der Bahn ${\displaystyle \Gamma \colon t\mapsto x(t)}$.

Verglichen mit der Wirkung aller anderen zweifach differenzierbaren Bahnen, die anfänglich durch ${\displaystyle {\underline {x}}}$ und schließlich durch ${\displaystyle {\overline {x}}}$ laufen, ist die Wirkung der physikalischen Bahn minimal, denn ihre Bewegungsgleichung

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+\partial _{x}V(t,x)=0}$

ist die Euler-Lagrange-Gleichung der Wirkung ${\displaystyle S}$.

Beispielsweise ist

${\displaystyle L(t,x,v)={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}}$

die Lagrangefunktion eines harmonischen Oszillators mit Masse ${\displaystyle m}$ und der Federkonstanten ${\displaystyle \kappa =m\omega ^{2}}$.

Die physikalischen Bahnen genügen der Euler-Lagrange-Gleichung, der zufolge zu allen Zeiten ${\displaystyle t}$ die Euler-Ableitung

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial v}}=-m\left(\omega ^{2}x+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}v\right)}$

verschwindet, wenn man für ${\displaystyle x}$ den Ort ${\displaystyle x(t)}$ einsetzt, der zur Zeit ${\displaystyle t}$ durchlaufen wird, und für ${\displaystyle v}$ die Zeitableitung der Bahn ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)}$.

Die zu ${\displaystyle L}$ gehörigen physikalischen Bahnen ${\displaystyle t\mapsto x(t)}$ erfüllen also

${\displaystyle -m\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}x(t)+\omega ^{2}x(t)\right)=0}$.

Jede Lösung dieser Gleichung ist von der Form

${\displaystyle \Gamma _{A,\alpha }\colon t\mapsto x(t)=A\cos(\omega t-\alpha )}$,

wobei ${\displaystyle A}$ die Amplitude der Schwingung und ${\displaystyle \alpha }$ ihre Phasenverschiebung ist.

Zur Zeit ${\displaystyle t_{1}}$ durchläuft sie den Ort ${\displaystyle {\underline {x}}=A\cos(\omega t_{1}-\alpha )}$ und zur Zeit ${\displaystyle t_{2}}$ den Ort ${\displaystyle {\overline {x}}=A\cos(\omega t_{2}-\alpha )}$.

Ihre Wirkung ist das Integral

${\displaystyle S[\Gamma _{A,\alpha }]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\,{\frac {1}{2}}m\,A^{2}\,\omega ^{2}{\bigl (}\sin ^{2}(\omega t-\alpha )-\cos ^{2}(\omega t-\alpha ){\bigr )}}$.

Das Integral kann mit dem Additionstheorem

${\displaystyle \cos ^{2}\beta -\sin ^{2}\beta =\cos(2\beta )}$

leicht ausgewertet werden, aber das ist für unsere Betrachtungen unerheblich,

${\displaystyle S[\Gamma _{A,\alpha }]=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\,{\frac {1}{2}}m\,A^{2}\,\omega ^{2}\cos 2(\omega t-\alpha )={\frac {1}{4}}m\,A^{2}\omega {\bigl (}\sin 2(\omega t_{2}-\alpha )-\sin 2(\omega t_{1}-\alpha ){\bigr )}}$.

Auf jeder anderen Bahn

${\displaystyle \Gamma _{A,\alpha }+\delta \colon t\mapsto A\cos(\omega t-\alpha )+\delta (t)}$,

die zwischenzeitlich um ${\displaystyle \delta (t)}$ ein wenig von ${\displaystyle \Gamma _{A,\alpha }}$ abweicht, ${\displaystyle \delta (t_{1})=\delta (t_{2})=0}$, unterscheidet sich die Wirkung in erster Ordnung in ${\displaystyle \delta }$ um

${\displaystyle \delta S[\Gamma _{A,\alpha },\delta ]=S[\Gamma _{A,\alpha }+\delta ]-S[\Gamma _{A,\alpha }]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\,A\,m\,\omega {\bigl (}-\sin(\omega t-\alpha ){\dot {\delta }}(t)-\omega \cos(\omega t-\alpha )\delta (t){\bigr )}\ .}$

Partielle Integration wälzt im ersten Term die Ableitung von ${\displaystyle {\dot {\delta }}}$ ohne Randterme (weil dort ${\displaystyle \delta }$ verschwindet) mit einem Minuszeichen auf ${\displaystyle \sin(\omega t-\alpha )}$ ab und ergibt für alle zwischenzeitlichen Änderungen ${\displaystyle \delta (t)}$ das Negative des zweiten Terms

${\displaystyle \delta S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\,A\,m\,\omega ^{2}{\bigl (}\cos(\omega t-\alpha )\delta (t)-\cos(\omega t-\alpha )\delta (t){\bigr )}=0\ .}$

Es ist also die Wirkung jeder physikalischen Bahn stationär unter allen zwischenzeitlichen Änderungen.

Die Wirkung als Funktional von Bahnen oder Feldern ist auch grundlegend für

• die relativistische Mechanik
• die Quantenmechanik, vgl. Variationsmethode (Quantenmechanik)
• die Maxwellgleichungen der Elektrodynamik
• die Einsteingleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie
• das Standardmodell der elementaren Wechselwirkungen.

1. L. D. Landau, E. M. Lifschiz: Mechanik (= Lehrbuch der theoretischen Physik). 14., korr. Auflage. Verlag Europa-Lehrmittel, Haan-Gruiten 2016, ISBN 978-3-8085-5612-2.

• Norbert Dragon, Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik (PDF; 1,9 MB) Kapitel 13