Williams-Zahl

Eine Williams-Zahl der 2. Art zur Basis b ist eine natürliche Zahl der Form

${\displaystyle (b-1)\cdot b^{n}+1}$ mit ganzzahligem ${\displaystyle b\geq 2}$ und ${\displaystyle n\geq 1}$.

Williams-Zahlen der 2. Art zur Basis ${\displaystyle b=2}$ haben die Form ${\displaystyle (2-1)\cdot 2^{n}+1=2^{n}+1}$ und sind genau die Fermat-Zahlen.

Eine Williams-Primzahl der 2. Art ist eine Williams-Zahl der 2. Art, welche prim ist. Die kleinsten ${\displaystyle n\geq 1}$, sodass ${\displaystyle (b-1)\cdot b^{n}+1\in \mathbb {P} }$ eine Primzahl ist, sind die folgenden (wobei mit ${\displaystyle b=2}$ gestartet wird):

1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 29, 14, 1, 1, 14, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 5, 12, 2, 1, 2, 2, 9, 16, 1, 2, 80, 1, 2, 4, 2, 3, 16, 2, 2, 2, 1, 15, 960, 15, 1, 4, 3, 1, 14, 1, 6, 20, 1, 3, 946, 6, 1, 18, 10, 1, 4, 1, 5, 42, 4, 1, 828, 1, 1, 2, 1, 12, 2, 6, 4, 30, 3, 3022, 2, 1, 1, 8, 2, 4, 4, 2, 11, 8, 2, 1 … (Folge A305531 in OEIS)

Es wird vermutet, dass es unendlich viele Williams-Primzahlen der 2. Art zur Basis ${\displaystyle b}$ gibt.

Es folgt eine Tabelle, der man die kleinsten Williams-Primzahlen 2. Art zur Basis ${\displaystyle b}$ mit ${\displaystyle 2\leq b\leq 30}$ entnehmen kann (falls ${\displaystyle n=0}$ auch Lösung wäre, steht diese in Klammer, da ${\displaystyle n=0}$ eigentlich nicht erlaubt ist, der Vollständigkeit aber mit angeführt wird):

${\displaystyle b}$	${\displaystyle (b-1)\cdot b^{n}+1}$	${\displaystyle n\geq 1}$, sodass ${\displaystyle (b-1)\cdot b^{n}+1}$ Williams-Primzahlen der 2. Art sind	OEIS-Link
02	${\displaystyle 2^{n}+1}$	1, 2, 4, 8, 16 … (alle Fermat-Primzahl-Exponenten)
03	${\displaystyle 2\cdot 3^{n}+1}$	(0), 1, 2, 4, 5, 6, 9, 16, 17, 30, 54, 57, 60, 65, 132, 180, 320, 696, 782, 822, 897, 1252, 1454, 4217, 5480, 6225, 7842, 12096, 13782, 17720, 43956, 64822, 82780, 105106, 152529, 165896, 191814, 529680, 1074726, 1086112, 1175232 …	(Folge A003306 in OEIS)
04	${\displaystyle 3\cdot 4^{n}+1}$	1, 3, 4, 6, 9, 15, 18, 33, 138, 204, 219, 267, 1104, 1408, 1584, 1956, 17175, 21147, 24075, 27396, 27591, 40095, 354984, 400989, 916248, 1145805, 2541153, 5414673 …	(Folge A326655 in OEIS)
05	${\displaystyle 4\cdot 5^{n}+1}$	(0), 2, 6, 18, 50, 290, 2582, 20462, 23870, 26342, 31938, 38122, 65034, 70130, 245538 …	(Folge A204322 in OEIS)
06	${\displaystyle 5\cdot 6^{n}+1}$	1, 2, 4, 17, 136, 147, 203, 590, 754, 964, 970, 1847, 2031, 2727, 2871, 5442, 7035, 7266, 11230, 23307, 27795, 34152, 42614, 127206, 133086 …	(Folge A247260 in OEIS)
07	${\displaystyle 6\cdot 7^{n}+1}$	(0), 1, 4, 9, 99, 412, 2633, 5093, 5632, 28233, 36780, 47084, 53572 …	(Folge A245241 in OEIS)
08	${\displaystyle 7\cdot 8^{n}+1}$	2, 40, 58, 60, 130, 144, 752, 7462, 18162, 69028, 187272, 268178, 270410, 497284, 713304, 722600, 1005254 …	(Folge A269544 in OEIS)
09	${\displaystyle 8\cdot 9^{n}+1}$	1, 4, 5, 11, 26, 29, 38, 65, 166, 490, 641, 2300, 9440, 44741, 65296, 161930 …	(Folge A056799 in OEIS)
10	${\displaystyle 9\cdot 10^{n}+1}$	3, 4, 5, 9, 22, 27, 36, 57, 62, 78, 201, 537, 696, 790, 905, 1038, 66886, 70500, 91836, 100613, 127240 …	(Folge A056797 in OEIS)
11	${\displaystyle 10\cdot 11^{n}+1}$	(0), 10, 24, 864, 2440, 9438, 68272, 148602 …	(Folge A057462 in OEIS)
12	${\displaystyle 11\cdot 12^{n}+1}$	3, 4, 35, 119, 476, 507, 6471, 13319, 31799 …	(Folge A251259 in OEIS)
13	${\displaystyle 12\cdot 13^{n}+1}$	(0), 1, 2, 4, 21, 34, 48, 53, 160, 198, 417, 773, 1220, 5361, 6138, 15557, 18098 …
14	${\displaystyle 13\cdot 14^{n}+1}$	2, 40, 402, 1070, 6840 …
15	${\displaystyle 14\cdot 15^{n}+1}$	1, 3, 4, 9, 11, 14, 23, 122, 141, 591, 2115, 2398, 2783, 3692, 3748, 10996, 16504 …
16	${\displaystyle 15\cdot 16^{n}+1}$	1, 3, 11, 12, 28, 42, 225, 702, 782, 972, 1701, 1848, 8556, 8565, 10847, 12111, 75122, 183600, 307400, 342107, 416936 …
17	${\displaystyle 16\cdot 17^{n}+1}$	(0), 4, 20, 320, 736, 2388, 3344, 8140 …
18	${\displaystyle 17\cdot 18^{n}+1}$	1, 6, 9, 12, 22, 30, 102, 154, 600 …
19	${\displaystyle 18\cdot 19^{n}+1}$	(0), 29, 32, 59, 65, 303, 1697, 5358, 9048 …
20	${\displaystyle 19\cdot 20^{n}+1}$	14, 18, 20, 38, 108, 150, 640, 8244 …
21	${\displaystyle 20\cdot 21^{n}+1}$	1, 2, 3, 4, 12, 17, 38, 54, 56, 123, 165, 876, 1110, 1178, 2465, 3738, 7092, 8756, 15537, 19254, 24712 …
22	${\displaystyle 21\cdot 22^{n}+1}$	1, 9, 53, 261, 1491, 2120, 2592, 6665, 9460, 15412, 24449 …
23	${\displaystyle 22\cdot 23^{n}+1}$	(0), 14, 62, 84, 8322, 9396, 10496, 24936 …
24	${\displaystyle 23\cdot 24^{n}+1}$	2, 4, 9, 42, 47, 54, 89, 102, 118, 269, 273, 316, 698, 1872, 2126, 22272 …
25	${\displaystyle 24\cdot 25^{n}+1}$	1, 4, 162, 1359, 2620 …
26	${\displaystyle 25\cdot 26^{n}+1}$	2, 18, 100, 1178, 1196, 16644 …
27	${\displaystyle 26\cdot 27^{n}+1}$	4, 5, 167, 408, 416, 701, 707, 1811, 3268, 3508, 7020, 7623, 16449 …
28	${\displaystyle 27\cdot 28^{n}+1}$	1, 2, 136, 154, 524, 1234, 2150, 2368, 7222, 10082, 14510, 16928 …
29	${\displaystyle 28\cdot 29^{n}+1}$	(0), 2, 4, 6, 44, 334, 24714 …
30	${\displaystyle 29\cdot 30^{n}+1}$	4, 5, 9, 18, 71, 124, 165, 172, 888, 2218, 3852, 17871, 23262 …

Die größte momentan bekannte Williams-Primzahl der 2. Art mit einer Basis ${\displaystyle b=2^{k}}$, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ist ${\displaystyle p=3\cdot 4^{5414673}+1=3\cdot 2^{10829346}+1}$. Sie wurde am 14. Januar 2014 von Sai Yik Tang aus Malaysia entdeckt und hat 3.259.959 Stellen.[7][8] (Stand: 28. Januar 2020)

Die größte momentan bekannte Williams-Primzahl der 2. Art mit einer Basis ${\displaystyle b\not =2^{k}}$, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ist ${\displaystyle p=2\cdot 3^{1175232}+1}$. Sie wurde am 22. Februar 2010 von David Broadhurst entdeckt und hat 560.729 Stellen.[9] (Stand: 28. Januar 2020)

Eine Williams-Zahl der 3. Art zur Basis b ist eine natürliche Zahl der Form

${\displaystyle (b+1)\cdot b^{n}-1}$ mit ganzzahligem ${\displaystyle b\geq 2}$ und ${\displaystyle n\geq 1}$.

Man nennt sie auch Thabit-Zahl mit Basis b.

Williams-Zahlen der 3. Art zur Basis ${\displaystyle b=2}$ haben die Form ${\displaystyle (2+1)\cdot 2^{n}-1=3\cdot 2^{n}-1}$ und sind genau die Thabit-Zahlen.

Eine Williams-Primzahl der 3. Art ist eine Williams-Zahl der 3. Art, welche prim ist.

Es wird vermutet, dass es unendlich viele Williams-Primzahlen der 3. Art zur Basis ${\displaystyle b}$ gibt.

Es folgt eine Tabelle, der man die kleinsten Williams-Primzahlen 3. Art zur Basis ${\displaystyle b}$ mit ${\displaystyle 2\leq b\leq 12}$ entnehmen kann (falls ${\displaystyle n=0}$ auch Lösung wäre, steht diese in Klammer, da ${\displaystyle n=0}$ eigentlich nicht erlaubt ist, der Vollständigkeit aber mit angeführt wird):

${\displaystyle b}$	${\displaystyle (b+1)\cdot b^{n}-1}$	${\displaystyle n\geq 1}$, sodass ${\displaystyle (b+1)\cdot b^{n}-1}$ Williams-Primzahlen der 3. Art sind	OEIS-Link
02	${\displaystyle 3\cdot 2^{n}-1}$	(0), 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414, 6090515, 11484018, 11731850, 11895718 …	(Folge A002235 in OEIS)
03	${\displaystyle 4\cdot 3^{n}-1}$	(0), 1, 3, 5, 7, 15, 45, 95, 235, 463, 733, 1437, 1583, 1677, 1803, 4163, 4765, 9219, 9959, 25477, 26059, 41539, 54195, 65057, 74977, 116589, 192289, 311835, 350767, 353635, 416337, 423253 …	(Folge A005540 in OEIS)
04	${\displaystyle 5\cdot 4^{n}-1}$	1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 16, 24, 27, 36, 74, 92, 124, 135, 137, 210, 670, 719, 761, 819, 877, 942, 1007, 1085, 1274, 1311, 1326, 1352, 6755 …
05	${\displaystyle 6\cdot 5^{n}-1}$	(0), 1, 2, 5, 11, 28, 65, 72, 361, 479, 494, 599, 1062, 1094, 1193, 2827, 3271, 3388, 3990, 4418, 11178, 16294, 25176, 42500, 68320, 85698, 145259, 159119, 169771 …	(Folge A257790 in OEIS)
06	${\displaystyle 7\cdot 6^{n}-1}$	1, 2, 3, 13, 21, 28, 30, 32, 36, 48, 52, 76, 734, 2236, 2272, 3135, 3968, 6654, 7059 …
07	${\displaystyle 8\cdot 7^{n}-1}$	(0), 4, 7, 10, 14, 23, 59, 1550, 1835, 2515, 3532, 3818, 8260 …
08	${\displaystyle 9\cdot 8^{n}-1}$	1, 5, 7, 21, 33, 53, 103, 313, 517, 1863, 2669, 3849, 4165 …
09	${\displaystyle 10\cdot 9^{n}-1}$	1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 13, 15, 19, 27, 29, 35, 42, 51, 70, 112, 164, 179, 180, 242, 454, 621, 2312, 3553, 6565 …
10	${\displaystyle 11\cdot 10^{n}-1}$	1, 9, 11, 17, 22, 29, 36, 37, 52, 166, 448, 2011, 3489, 4871, 6982, 10024, 16974, 33287, 47364, 58873, 126160 …	(Folge A111391 in OEIS)
11	${\displaystyle 12\cdot 11^{n}-1}$	(0), 1, 2, 3, 4, 11, 13, 22, 27, 48, 51, 103, 147, 280, 908, 1346, 1524, 1776, 2173, 2788, 6146 …
12	${\displaystyle 13\cdot 12^{n}-1}$	2, 6, 11, 66, 196, 478, 2968, 3568, 5411, 7790 …

Eine Williams-Zahl der 4. Art zur Basis b ist eine natürliche Zahl der Form

${\displaystyle (b+1)\cdot b^{n}+1}$ mit ganzzahligem ${\displaystyle b\geq 2}$ und ${\displaystyle n\geq 1}$.

Man nennt sie auch Thabit-Zahl der 2. Art mit Basis b.

Williams-Zahlen der 4. Art zur Basis ${\displaystyle b=2}$ haben die Form ${\displaystyle (2+1)\cdot 2^{n}+1=3\cdot 2^{n}+1}$ und sind genau die Thabit-Zahlen der 2. Art.

Eine Williams-Primzahl der 4. Art ist eine Williams-Zahl der 4. Art, welche prim ist.

Es gilt: Es gibt keine Williams-Primzahl der 4. Art mit Basis ${\displaystyle b\equiv 1{\pmod {3}}}$.

Beweis:

Wenn ${\displaystyle b\equiv 1{\pmod {3}}}$ ist, gilt auch ${\displaystyle b^{n}\equiv 1^{n}=1{\pmod {3}}}$. Weiters ist ${\displaystyle b+1\equiv 1+1=2{\pmod {3}}}$. Somit erhält man ${\displaystyle (b+1)\cdot b^{n}+1\equiv 2\cdot 1+1=3\equiv 0{\pmod {3}}}$. Also ist in diesem Fall ${\displaystyle (b+1)\cdot b^{n}+1}$ immer durch ${\displaystyle 3}$ teilbar und somit niemals eine Primzahl, was zu zeigen war. ${\displaystyle \Box }$

Es wird vermutet, dass es unendlich viele Williams-Primzahlen der 4. Art zur Basis ${\displaystyle b}$ gibt.

Es folgt eine Tabelle, der man die kleinsten Williams-Primzahlen 4. Art zur Basis ${\displaystyle b}$ mit ${\displaystyle 2\leq b\leq 12}$ entnehmen kann (falls ${\displaystyle n=0}$ auch Lösung wäre, steht diese in Klammer, da ${\displaystyle n=0}$ eigentlich nicht erlaubt ist, der Vollständigkeit aber mit angeführt wird):

${\displaystyle b}$	${\displaystyle (b+1)\cdot b^{n}+1}$	${\displaystyle n\geq 1}$, sodass ${\displaystyle (b+1)\cdot b^{n}+1}$ Williams-Primzahlen der 4. Art sind	OEIS-Link
02	${\displaystyle 3\cdot 2^{n}+1}$	1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, 20909, 34350, 42294, 42665, 44685, 48150, 54792, 55182, 59973, 80190, 157169, 213321, 303093, 362765, 382449, 709968, 801978, 916773, 1832496, 2145353, 2291610, 2478785, 5082306, 7033641, 10829346 …	(Folge A002253 in OEIS)
03	${\displaystyle 4\cdot 3^{n}+1}$	(0), 1, 2, 3, 6, 14, 15, 39, 201, 249, 885, 1005, 1254, 1635, 3306, 3522, 9602, 19785, 72698, 233583, 328689, 537918, 887535, 980925, 1154598, 1499606 …	(Folge A005537 in OEIS)
04	${\displaystyle 5\cdot 4^{n}+1}$	es gibt keine Primzahlen dieser Form wegen ${\displaystyle b=4\equiv 1{\pmod {3}}}$
05	${\displaystyle 6\cdot 5^{n}+1}$	(0), 1, 2, 3, 23, 27, 33, 63, 158, 278, 290, 351, 471, 797, 8462, 28793, 266030 …	(Folge A143279 in OEIS)
06	${\displaystyle 7\cdot 6^{n}+1}$	1, 6, 17, 38, 50, 80, 207, 236, 264, 309, 555, 1128, 1479, 1574, 2808, 3525, 5334, 9980 …
07	${\displaystyle 8\cdot 7^{n}+1}$	es gibt keine Primzahlen dieser Form wegen ${\displaystyle b=7\equiv 1{\pmod {3}}}$
08	${\displaystyle 9\cdot 8^{n}+1}$	1, 2, 11, 14, 21, 27, 54, 122, 221, 435, 498, 942, 1118, 1139, 1230, 1614, 1934 …
09	${\displaystyle 10\cdot 9^{n}+1}$	(0), 2, 6, 9, 11, 51, 56, 81, 941, 1647, 7466, 9477, 9806 …
10	${\displaystyle 11\cdot 10^{n}+1}$	es gibt keine Primzahlen dieser Form wegen ${\displaystyle b=10\equiv 1{\pmod {3}}}$
11	${\displaystyle 12\cdot 11^{n}+1}$	(0), 2, 3, 6, 8, 138, 149, 222, 363, 995, 1218, 2072, 2559 …
12	${\displaystyle 13\cdot 12^{n}+1}$	1, 2, 8, 9, 17, 26, 62, 86, 152, 365, 2540 …

Die kleinsten ${\displaystyle n\geq 1}$, sodass ${\displaystyle b^{n}-(b-1)\in \mathbb {P} }$ eine Primzahl ist, sind die folgenden (wobei mit ${\displaystyle b=2}$ gestartet wird):

2, 2, 2, 5, 2, 2, 13, 2, 3, 3, 5, 2, 3, 2, 2, 11, 2, 3, 17, 2, 2, 17, 4, 2, 3, 9, 2, 33, 7, 3, 7, 4, 2, 3, 5, 67, 5, 2, 9, 3, 2, 4, 25, 3, 4, 5, 5, 24, 3, 2, 3, 21, 3, 2, 9, 3, 2, 11, 2, 5, 3, 2, 4, 19, 31, 2, 29, 4, 2, 3019, 2, 21, 51, 3, 2, 3, 2, 2, 9, 2, 169, 965, 3, 3, 29, 3, 2848, 9, 2, 2, 3 … (Folge A113516 in OEIS)

Es wird vermutet, dass es unendlich viele duale Williams-Primzahlen der 1. Art zur Basis ${\displaystyle b}$ gibt.

Es folgt eine Tabelle, der man die kleinsten dualen Williams-Primzahlen (oder -PRP-Zahlen) 1. Art zur Basis ${\displaystyle b}$ mit ${\displaystyle 2\leq b\leq 10}$ entnehmen kann:

${\displaystyle b}$	${\displaystyle b^{n}-(b-1)}$	${\displaystyle n\geq 1}$, sodass ${\displaystyle b^{n}-(b-1)}$ duale Williams-Primzahlen (oder -PRP-Zahlen) 1. Art sind	OEIS-Link
02	${\displaystyle 2^{n}-1}$	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281, 77232917, 82589933 … (alle Mersenne-Primzahl-Exponenten)	(Folge A000043 in OEIS)
03	${\displaystyle 3^{n}-2}$	2, 4, 5, 6, 9, 22, 37, 41, 90, 102, 105, 317, 520, 541, 561, 648, 780, 786, 957, 1353, 2224, 2521, 6184, 7989, 8890, 19217, 20746, 31722, 37056, 69581, 195430, 225922, 506233, 761457 …	(Folge A014224 in OEIS)
04	${\displaystyle 4^{n}-3}$	2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 47, 58, 61, 75, 87, 133, 168, 226, 347, 425, 868, 1977, 2815, 3378, 4385, 5286, 7057, 7200, 8230, 8340, 13175, 17226, 18276, 25237, 33211, 58463, 59662, 94555, 120502, 177473, 197017, 351097, 375370 …	(Folge A059266 in OEIS)
05	${\displaystyle 5^{n}-4}$	5, 7, 15, 47, 81, 115, 267, 285, 7641, 19089, 25831, 32115, 59811, 70155 …	(Folge A059613 in OEIS)
06	${\displaystyle 6^{n}-5}$	2, 3, 4, 29, 31, 34, 53, 65, 94, 202, 288, 415, 457, 483, 703, 762, 1285, 1464, 2094, 3384, 9335 …	(Folge A059614 in OEIS)
07	${\displaystyle 7^{n}-6}$	2, 3, 6, 9, 21, 25, 33, 49, 54, 133, 245, 255, 318, 1023, 1486, 3334, 6821, 8555, 11605, 42502, 44409, 90291, 92511, 140303 …	(Folge A191469 in OEIS)
08	${\displaystyle 8^{n}-7}$	13, 661, 773, 833, 4273, 40613 …	(Folge A217380 in OEIS)
09	${\displaystyle 9^{n}-8}$	2, 4, 7, 10, 11, 31, 127, 136, 215, 953, 1139, 1799, 3406, 7633, 13090, 13171, 13511, 32593 …	(Folge A177093 in OEIS)
10	${\displaystyle 10^{n}-9}$	3, 5, 7, 33, 45, 105, 197, 199, 281, 301, 317, 1107, 1657, 3395, 35925, 37597, 64305, 80139, 221631 …	(Folge A095714 in OEIS)

Die kleinsten ${\displaystyle n\geq 1}$, sodass ${\displaystyle b^{n}+(b-1)\in \mathbb {P} }$ eine Primzahl ist, sind die folgenden (wobei mit ${\displaystyle b=2}$ gestartet wird):

1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 16, 1, 1, 4, 3, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 3, 2, 1, 2, 10, 1, 1, 108, 3, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 20, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 4, 2, 2, 7, 8, 3, 1, 2, 1, 24, 2, 1, 1, 12, 4, 3, 8, 1, 1, 4, 3, 1, 194, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 8, 2, 1, 1, 4, 2, 2, 54, 1, 1, 4, 1, 1 … (Folge A076845 in OEIS)

Es wird vermutet, dass es unendlich viele duale Williams-Primzahlen der 2. Art zur Basis ${\displaystyle b}$ gibt.

Es folgt eine Tabelle, der man die kleinsten dualen Williams-Primzahlen (oder -PRP-Zahlen) 2. Art zur Basis ${\displaystyle b}$ mit ${\displaystyle 2\leq b\leq 10}$ entnehmen kann (falls ${\displaystyle n=0}$ auch Lösung wäre, steht diese in Klammer, da ${\displaystyle n=0}$ eigentlich nicht erlaubt ist, der Vollständigkeit aber mit angeführt wird):

${\displaystyle b}$	${\displaystyle b^{n}+(b-1)}$	${\displaystyle n\geq 1}$, sodass ${\displaystyle b^{n}+(b-1)}$ duale Williams-Primzahlen (oder -PRP-Zahlen) 2. Art sind	OEIS-Link
02	${\displaystyle 2^{n}+1}$	1, 2, 4, 8, 16 … (alle Fermat-Primzahl-Exponenten)
03	${\displaystyle 3^{n}+2}$	(0), 1, 2, 3, 4, 8, 10, 14, 15, 24, 26, 36, 63, 98, 110, 123, 126, 139, 235, 243, 315, 363, 386, 391, 494, 1131, 1220, 1503, 1858, 4346, 6958, 7203, 10988, 22316, 33508, 43791, 45535, 61840, 95504, 101404, 106143, 107450, 136244, 178428, 361608, 504206 …	(Folge A051783 in OEIS)
04	${\displaystyle 4^{n}+3}$	1, 2, 3, 6, 8, 9, 14, 15, 42, 114, 195, 392, 555, 852, 1004, 1185, 2001, 2030, 2031, 2276, 8610, 8967, 10362, 11366, 15927, 16514, 17877, 19122, 19898, 27728, 29156, 61275, 102981, 117663, 181560, 239922, 342789 …	(Folge A089437 in OEIS)
05	${\displaystyle 5^{n}+4}$	(0), 2, 6, 10, 102, 494, 794, 1326, 5242, 5446, 24602, 87606 …	(Folge A124621 in OEIS)
06	${\displaystyle 6^{n}+5}$	1, 2, 4, 7, 10, 14, 18, 32, 55, 102, 177, 190, 247, 276, 372, 1524, 1545, 2502, 4966, 5294, 13030, 13785, 14329, 27333, 44224, 93812 …	(Folge A145106 in OEIS)
07	${\displaystyle 7^{n}+6}$	(0), 1, 3, 16, 36, 244, 315, 2577, 9500, 17596, 25551, 32193, 32835, 36504, 75136 …	(Folge A217130 in OEIS)
08	${\displaystyle 8^{n}+7}$	2, 6, 10, 26, 42, 58, 68, 196, 266, 602, 1170, 1288, 1290, 2990, 4110, 6292, 7446, 36928, 57490, 65478, 78570, 188832 …	(Folge A217381 in OEIS)
09	${\displaystyle 9^{n}+8}$	1, 2, 4, 7, 10, 19, 22, 44, 62, 76, 122, 2191, 3134, 9244, 40999, 48230 …	(Folge A217385 in OEIS)
10	${\displaystyle 10^{n}+9}$	1, 2, 3, 4, 9, 18, 22, 45, 49, 56, 69, 146, 202, 272, 2730, 2841, 4562, 31810, 43186, 48109, 92691 …	(Folge A088275 in OEIS)

Die kleinsten ${\displaystyle n\geq 1}$, sodass ${\displaystyle b^{n}-(b+1)\in \mathbb {P} }$ eine Primzahl ist, sind die folgenden (wobei mit ${\displaystyle b=2}$ gestartet wird):

3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 3, 2, 2, 3, 5, 2, 2, 2, 3, 3, 2, 4, 2, 5, 2, 5, 2, 2, 7, 5, 3, 2, 9, 3, 2, 2, 3, 2, 31, 4, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 108, 4, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 18, 7, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 3, 2, 5, 32, 108, 5, 3, 2, 11, 4, 15, 3, 4, 19, 2, 6, 2, 2, 11, 107, 2, 42, 4, 39, 2, 2, 6, 2, 3 … (Folge A178250 in OEIS)

Es wird vermutet, dass es unendlich viele duale Williams-Primzahlen der 3. Art zur Basis ${\displaystyle b}$ gibt.

Es folgt eine Tabelle, der man die kleinsten dualen Williams-Primzahlen (oder -PRP-Zahlen) 3. Art zur Basis ${\displaystyle b}$ mit ${\displaystyle 2\leq b\leq 10}$ entnehmen kann:

${\displaystyle b}$	${\displaystyle b^{n}-(b+1)}$	${\displaystyle n\geq 1}$, sodass ${\displaystyle b^{n}-(b+1)}$ duale Williams-Primzahlen (oder -PRP-Zahlen) 3. Art sind	OEIS-Link
02	${\displaystyle 2^{n}-3}$	3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 14, 20, 22, 24, 29, 94, 116, 122, 150, 174, 213, 221, 233, 266, 336, 452, 545, 689, 694, 850, 1736, 2321, 3237, 3954, 5630, 6756, 8770, 10572, 14114, 14400, 16460, 16680, 20757, 26350, 30041, 34452, 36552, 42689, 44629, 50474, 66422, 69337, 116926, 119324, 123297, 189110, 241004, 247165, 284133, 354946, 394034, 702194, 750740, 840797, 1126380, 1215889, 1347744 …	(Folge A050414 in OEIS)
03	${\displaystyle 3^{n}-4}$	2, 3, 5, 21, 31, 37, 41, 53, 73, 101, 175, 203, 225, 455, 557, 651, 1333, 4823, 20367, 32555, 52057, 79371, 267267, 312155 …	(Folge A058959 in OEIS)
04	${\displaystyle 4^{n}-5}$	2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 13, 16, 18, 28, 33, 59, 65, 75, 83, 103, 113, 275, 353, 405, 568, 614, 909, 1184, 1200, 1564, 2266, 2556, 4246, 8014, 8193, 8696, 9291 …	(Folge A217348 in OEIS)
05	${\displaystyle 5^{n}-6}$	2, 4, 5, 6, 10, 53, 76, 82, 88, 242, 247, 473, 586, 966, 1015, 1297, 1825, 2413, 2599, 2833, 5850, 5965, 6052, 27199, 49704, 79000 …	(Folge A165701 in OEIS)
06	${\displaystyle 6^{n}-7}$	2, 4, 6, 8, 9, 10, 15, 20, 46, 49, 61, 98, 110, 144, 266, 344, 978, 1692, 1880, 1924, 3142, 3220, 4209, 5708, 7064 …	(Folge A217352 in OEIS)
07	${\displaystyle 7^{n}-8}$	2, 4, 8, 10, 50, 106, 182, 293, 964, 1108, 1654, 1756, 4601, 8870, 15100, 17446, 22742, 34570, 50150, 95276 …	(Folge A217131 in OEIS)
08	${\displaystyle 8^{n}-9}$	3, 7, 11, 47, 81, 95, 107, 179, 233, 243, 947, 2817, 2859, 3233, 7563, 11307 …	(Folge A217383 in OEIS)
09	${\displaystyle 9^{n}-10}$	2, 3, 4, 9, 11, 18, 19, 27, 28, 46, 50, 53, 80, 155, 203, 280, 451, 4963 …	(Folge A217493 in OEIS)
10	${\displaystyle 10^{n}-11}$	2, 5, 8, 12, 15, 18, 20, 30, 80, 143, 152, 164, 176, 239, 291, 324, 504, 594, 983, 2894, 22226, 35371, 58437, 67863, 180979 …	(Folge A092767 in OEIS)

Es gilt: Es gibt keine duale Williams-Primzahl der 4. Art mit Basis ${\displaystyle b\equiv 1{\pmod {3}}}$.

Beweis:

Wenn ${\displaystyle b\equiv 1{\pmod {3}}}$ ist, gilt auch ${\displaystyle b^{n}\equiv 1^{n}=1{\pmod {3}}}$. Weiters ist ${\displaystyle b+1\equiv 1+1=2{\pmod {3}}}$. Somit erhält man ${\displaystyle b^{n}+(b+1)\equiv 1+2=3\equiv 0{\pmod {3}}}$. Also ist in diesem Fall ${\displaystyle b^{n}+(b+1)}$ immer durch ${\displaystyle 3}$ teilbar und somit niemals eine Primzahl, was zu zeigen war. ${\displaystyle \Box }$

Es wird vermutet, dass es unendlich viele duale Williams-Primzahlen der 4. Art zur Basis ${\displaystyle b}$ gibt.

Es folgt eine Tabelle, der man die kleinsten dualen Williams-Primzahlen (oder -PRP-Zahlen) 4. Art zur Basis ${\displaystyle b}$ mit ${\displaystyle 2\leq b\leq 10}$ entnehmen kann (falls ${\displaystyle n=0}$ auch Lösung wäre, steht diese in Klammer, da ${\displaystyle n=0}$ eigentlich nicht erlaubt ist, der Vollständigkeit aber mit angeführt wird):

${\displaystyle b}$	${\displaystyle b^{n}+(b+1)}$	${\displaystyle n\geq 1}$, sodass ${\displaystyle b^{n}+(b+1)}$ duale Williams-Primzahlen (oder -PRP-Zahlen) 4. Art sind	OEIS-Link
02	${\displaystyle 2^{n}+3}$	1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 15, 16, 18, 28, 30, 55, 67, 84, 228, 390, 784, 1110, 1704, 2008, 2139, 2191, 2367, 2370, 4002, 4060, 4062, 4552, 5547, 8739, 17187, 17220, 17934, 20724, 22732, 25927, 31854, 33028, 35754, 38244, 39796, 40347, 55456, 58312, 122550, 205962, 235326, 363120, 479844, 685578, 742452, 1213815, 1434400, 1594947 …	(Folge A057732 in OEIS)
03	${\displaystyle 3^{n}+4}$	(0), 1, 2, 3, 6, 9, 10, 22, 30, 42, 57, 87, 174, 195, 198, 562, 994, 2421, 2487, 4629, 5838, 13698, 14730, 16966, 25851, 98634, 117222, 192819 …	(Folge A058958 in OEIS)
04	${\displaystyle 4^{n}+5}$	es gibt keine Primzahlen dieser Form wegen ${\displaystyle b=4\equiv 1{\pmod {3}}}$
05	${\displaystyle 5^{n}+6}$	(0), 1, 2, 3, 4, 13, 88, 177, 184, 297, 304, 310, 562, 892, 1300, 4047, 5557, 9028, 15597, 28527, 56890, 77485, 79378 …	(Folge A089142 in OEIS)
06	${\displaystyle 6^{n}+7}$	1, 2, 3, 4, 6, 21, 24, 27, 30, 54, 70, 126, 369, 435, 612, 787, 1275, 2155, 2436, 5734, 6016 …	(Folge A217351 in OEIS)
07	${\displaystyle 7^{n}+8}$	es gibt keine Primzahlen dieser Form wegen ${\displaystyle b=7\equiv 1{\pmod {3}}}$
08	${\displaystyle 8^{n}+9}$	1, 2, 3, 6, 10, 19, 22, 109, 798, 1498, 1519, 3109, 5491, 13351, 26983 …	(Folge A217382 in OEIS)
09	${\displaystyle 9^{n}+10}$	(0), 1, 3, 4, 9, 18, 49, 57, 67, 69, 106, 126, 258, 583, 1221, 1366, 4311 …	(Folge A217492 in OEIS)
10	${\displaystyle 10^{n}-11}$	es gibt keine Primzahlen dieser Form wegen ${\displaystyle b=10\equiv 1{\pmod {3}}}$

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