Wigner-Eckart-Theorem

Das Wigner-Eckart-Theorem hängt mit dem Lemma von Schur zusammen. Wenn man dies ausnutzt, sind längere Rechnungen für den Beweis nicht erforderlich.

Um die Clebsch-Gordan-Koeffizienten ins Spiel zu bringen, betrachtet man den folgenden, nur für diesen Zweck konstruierten Operator[1]:

${\displaystyle W=\sum _{np}T_{p}^{(k)}|\alpha jn\rangle \langle jn;kp|}$

Er transformiert Zustände mit zwei Drehimpulsen (${\displaystyle j}$ und ${\displaystyle k}$) in Zustände mit einem einzelnen Drehimpuls, auf welche Tensoroperatoren wirken. Im Zielraum sind Drehungen durch einen unitären Operator ${\displaystyle U_{1}}$ dargestellt, im Urbildraum durch einen unitären Operator ${\displaystyle U_{2}}$. Die wesentliche Eigenschaft von ${\displaystyle W}$ ist das Vertauschen mit Drehungen bzw. die Invarianz unter Drehungen:

${\displaystyle U_{1}W=WU_{2}\,\!}$

Dies beruht auf dem gleichartigen Verhalten von Tensoroperatoren und Drehimpulszuständen unter Drehungen. Konkret sieht man die Invarianz am einfachsten, indem man den Ausdruck

${\displaystyle \sum _{np}\sum _{n'p'}T_{p}^{(k)}|\alpha jn\rangle D_{pp'}^{(k)}D_{nn'}^{(j)}\langle jn';kp'|}$

einmal durch Summation über ${\displaystyle np\,\!}$ auswertet, was ${\displaystyle U_{1}W\,\!}$ ergibt, und einmal durch Summation über ${\displaystyle n'p'\,\!}$, was ${\displaystyle WU_{2}\,\!}$ ergibt. Dabei wird benutzt, dass auch die Drehmatrizen unitär sind.

Wegen der Drehinvarianz von ${\displaystyle W}$ werden Teilräume, die unter ${\displaystyle U_{2}}$ irreduzibel sind, in Teilräume transformiert, die unter ${\displaystyle U_{1}}$ irreduzibel sind. Bei der Drehgruppe sind diese Teilräume durch eine Drehimpulsquantenzahl ${\displaystyle J}$ charakterisiert. Nach dem Schurschen Lemma gilt nun:

• Die Teile von ${\displaystyle W}$, die zwischen verschiedenen ${\displaystyle J}$ (inäquivalenten irreduziblen Darstellungen) vermitteln, sind null.
• Die Teile von ${\displaystyle W}$, die zwischen gleichen ${\displaystyle J}$ (äquivalenten irreduziblen Darstellungen mit gleichen Darstellungsmatrizen) vermitteln, sind Vielfache der Eins-Abbildung.

Dass die Darstellungsmatrizen für gleiche Drehimpulse tatsächlich immer gleich sind, beruht auf der Verwendung der Standard-Basisvektoren ${\displaystyle |jm\rangle }$. Der hier gegebene Beweis gilt deswegen nur für die Drehgruppe.

Wenn das jeweilige Vielfache mit einem Faktor ${\displaystyle \lambda \,\!}$ bezeichnet wird, der von den verknüpften Teilräumen abhängig ist, hat ${\displaystyle W}$ nach dem Schurschen Lemma somit folgende Form:

${\displaystyle W=\sum _{\alpha 'J}\sum _{M}\lambda _{\alpha jk\alpha 'J}|\alpha 'JM\rangle \langle JM|}$

Die Summe über ${\displaystyle M}$ stellt die Eins-Abbildung zwischen zwei irreduziblen Teilräumen dar. Im Bra-Vektor fehlt der Entartungsindex, weil es bei Drehimpulskopplung (im Urbildraum von ${\displaystyle W}$) keine Entartung gibt. Die Indizes ${\displaystyle \alpha jk}$ bringen zum Ausdruck, dass die gesamte Konstruktion des Operators ${\displaystyle W}$ von ihnen abhängt.

Um den Beweis abzuschließen, bildet man nun das Matrixelement ${\displaystyle \langle \alpha 'j'm'|W|jm;kq\rangle }$ mit den beiden Ausdrücken für ${\displaystyle W}$, nutzt die Orthonormalität der Basisvektoren aus und identifiziert das jeweilige ${\displaystyle \lambda \,\!}$ mit ${\displaystyle \langle \alpha 'j'\|T^{(k)}\|\alpha j\rangle }$.

1. Albert Messiah: Quantenmechanik. Band 2. De Gruyter, 1985, Abschnitt 13.6.3

• C. Eckart: The Application of Group Theory to the Quantum Dynamics of Monatomic Systems. In: Rev. Mod. Phys. 2, 1930, S. 305–380.
• J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley, 1994, S. 239–240.
• E. P. Wigner: Einige Folgerungen aus der Schrödingerschen Theorie für die Termstrukturen. In: Z. Physik 43, 1927, S. 624–652.