Whitehead-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik ist die Whitehead-Mannigfaltigkeit ein Beispiel einer kontrahierbaren 3-Mannigfaltigkeit, die nicht homöomorph zum euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ ist.

J. H. C. Whitehead hatte 1934 einen Beweis der Poincaré-Vermutung veröffentlicht[1], in dem er zunächst bewiesen haben wollte, dass jede kontrahierbare 3-Mannigfaltigkeit homöomorph zum $\mathbb {R} ^{3}$ ist, woraus er die Poincaré-Vermutung (jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur $S^{3}$ ) erhielt. Im Folgejahr entdeckte er einen Fehler in seinem Beweis und das Beispiel der Whitehead-Mannigfaltigkeit[2]. Diese ist kontrahierbar, aber nicht einfach zusammenhängend im Unendlichen, womit sie nicht homöomorph zum $\mathbb {R} ^{3}$ sein kann und seine erste Behauptung widerlegt.

Konstruktion

Konstruiere eine Folge $W_{i}$ von in der 3-Sphäre $S^{3}$ eingebetteten Volltori wie folgt.

1. Schritt: $W_{1}$ ist ein unverknoteter Volltorus in $S^{3}$ .

2. Schritt: $W_{2}$ ist in $W_{1}$ so eingebettet, dass der Kern von $W_{2}$ mit dem Meridian von $W_{1}$ eine Whitehead-Verschlingung bildet.

...

i. Schritt: $W_{i+1}$ ist in $W_{i}$ so eingebettet, dass der Kern von $W_{i+1}$ mit dem Meridian von $W_{i}$ eine Whitehead-Verschlingung bildet.

...

Die Whitehead-Mannigfaltigkeit ist das Komplement der Schnittmenge $\bigcap _{i\in \mathbb {N} }W_{i}$ in $S^{3}$ , oder äquivalent die Vereinigungsmenge $\bigcup _{i\in \mathbb {N} }N_{i}$ mit $N_{i}=S^{3}\setminus W_{i}$ .

Topologische Eigenschaften

Die Whitehead-Mannigfaltigkeit $W$ ist kontrahierbar und $W\times \mathbb {R} \cong \mathbb {R} ^{4}$ ,

Sie ist nicht einfach zusammenhängend im Unendlichen. Ihre Ein-Punkt-Kompaktifizierung ist der Quotient von $S^{3}$ , wenn alle Punkte aus $\bigcap _{i\in \mathbb {N} }W_{i}$ miteinander identifiziert werden.

Sie ist die Vereinigung zweier Kopien des $\mathbb {R} ^{3}$ , deren Durchschnitt ebenfalls homöomorph zum $\mathbb {R} ^{3}$ ist.[3]

Differentialgeometrie

Die Whitehead-Mannigfaltigkeit trägt keine vollständige Riemannsche Metrik positiver Skalarkrümmung.[4]

Einzelnachweise

J. H. C. Whitehead: Certain theorems about three-dimensional manifolds (I), Quarterly Journal of Mathematics 5, 308–320 (1934)
J. H. C. Whitehead: A certain open manifold whose group is unity, Quarterly Journal of Mathematics 6, 268–279 (1935)
David Gabai: The Whitehead manifold is a union of two Euclidean spaces, Journal of Topology 4, 529–534 (2011)
J. Wang: Contractible 3-manifold and Positive scalar curvature, ArXiv

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[1] J. H. C. Whitehead: Certain theorems about three-dimensional manifolds (I), Quarterly Journal of Mathematics 5, 308–320 (1934)

[2] J. H. C. Whitehead: A certain open manifold whose group is unity, Quarterly Journal of Mathematics 6, 268–279 (1935)

[3] David Gabai: The Whitehead manifold is a union of two Euclidean spaces, Journal of Topology 4, 529–534 (2011)

[4] J. Wang: Contractible 3-manifold and Positive scalar curvature, ArXiv