Breusch-Pagan-Test

Betrachtet man das (multiple) lineare Modell ${\displaystyle Y_{t}=\beta _{0}+\sum _{j=1}^{p}\beta _{j}x_{tj}+U_{t}}$ mit normalverteilten Fehlern ${\displaystyle U_{t}\sim {\mathcal {N}}(0;\sigma _{t}^{2})}$. Dann wird die Fehlervarianz als

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=h\left(\alpha _{0}+\sum _{k=1}^{q}\alpha _{k}z_{kt}\right)}$

modelliert. Liegt Homoskedastizität (${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\sigma _{U}^{2}}$) vor, dann müssen die Koeffizienten ${\displaystyle \alpha _{k}}$ bis auf den konstanten Term Null sein.

Damit ergeben sich die Hypothesen als

${\displaystyle H_{0}:\alpha _{k}=0}$ für alle ${\displaystyle k=1,\ldots ,q}$ vs.

${\displaystyle H_{1}:\alpha _{k}\neq 0}$ für mindestens ein ${\displaystyle k}$.

Die Teststatistik ergibt sich als Score- oder Lagrange-Multiplikator-Test in Anwendung der Maximum-Likelihood-Methode und ist damit ${\displaystyle \chi _{q}^{2}}$-verteilt.

In der Praxis müssen die Variablen ${\displaystyle Z_{k}}$ entweder vorgegeben werden oder aber es wird eine Schätzung der Form ${\displaystyle {\hat {u}}_{t}^{2}=\epsilon _{0}+\epsilon _{1}{\hat {y}}_{t}}$ betrachtet.

Der Breusch-Pagan-Test reagiert sensitiv auf Verletzung der Normalverteilungsannahme der Residuen.

Einfache lineare Regression, Diagramm der Residuen und der quadrierten Residuen der Boston-Housing-Daten. Die rote Linie im rechten Diagramm zeigt, dass die quadrierten Residuen nicht-linear von der erklärenden Variable abhängen, also Heteroskedastizität vorliegt.

Der White-Test ist ein Spezialfall des Breusch-Pagan-Tests, da hier die Fehlervarianzen als

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}x_{tk}+\sum _{k<l=1}^{p}\beta _{kl}x_{tk}x_{tl}}$

modelliert werden. Die Hypothesen sind

${\displaystyle H_{0}:}$ alle Koeffizienten außer ${\displaystyle \alpha _{0}}$ sind gleich Null vs.

${\displaystyle H_{1}:}$ wenigstens ein Koeffizient außer ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ist ungleich Null.

Zur Durchführung des White-Tests sollte die Zahl der Beobachtungen deutlich größer sein als die Zahl der Koeffizienten ${\displaystyle \alpha _{k}}$ und ${\displaystyle \beta _{kl}}$. Ansonsten muss man die Interaktionsterme ${\displaystyle X_{k}X_{l}}$ im Modell weglassen. Auch Dummy-Variablen werden wegen Multikollinearität nicht in die Interaktionsterme aufgenommen.

Der White-Test reagiert weniger sensitiv auf Verletzung auf der Normalverteilungsannahme der Residuen als der Breusch-Pagan-Test.

1. T. S. Breusch, A. R. Pagan: A simple test for heteroscedasticity and random coefficient variation. In: Journal of the Econometric Society, Econometrica. 1979, S. 1287–1294, JSTOR:1911963.
2. H. White: A heteroskedasticity-consistent covariance matrix estimator and a direct test for heteroskedasticity. In: Journal of the Econometric Society, Econometrica. 1980, S. 817–838, JSTOR:1912934.