Wheeler-DeWitt-Gleichung

Alle definierten und verstandenen Beschreibungen der String/M-Theorie befassen sich mit festen asymptotischen Bedingungen auf der Hintergrundraumzeit. In der Unendlichkeit ist die „richtige“ Wahl der Zeitkoordinate „t“ in jeder Beschreibung bestimmt (weil die Raum-Zeit für eine feste Raum-Zeit asymptotisch ist), sodass es eine bevorzugte Definition des Hamiltonians (mit Eigenwerten ungleich Null) gibt, um Zustände des Systems in der korrekten Zeitrichtung zu entwickeln. Dadurch wird vermieden, dass dynamisch eine Zeitdimension mit der Wheeler-DeWitt-Gleichung generiert werden muss. Daher hat die Gleichung in der Stringtheorie bisher keine Rolle gespielt.

Es existiert die Möglichkeit, mit den Methoden von Wheeler und DeWitt die Massendynamik der Quantentheorie der Schwerkraft zu beschreiben. Einige Experten glauben, dass diese Gleichung immer noch das Potenzial zum Verständnis der Quantengravitation birgt; Jahrzehnte nach der Veröffentlichung der Gleichung haben jedoch völlig unterschiedliche Ansätze, wie die Stringtheorie, Physikern ebenso gute Ergebnisse über die Quantengravitation generiert.

In der kanonischen Schwerkraft wird die Raumzeit in raumartige Untermannigfaltigkeiten geblättert. Die Drei-Metrik (d. h. die Metrik auf der Hyperoberfläche) ist ${\displaystyle \gamma _{ab}}$ und gegeben durch:

${\displaystyle g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=(-N^{2}+\beta _{a}\beta ^{a})\mathrm {d} t^{2}+2\beta _{a}\mathrm {d} x^{a}\mathrm {d} t+\gamma _{ab}\mathrm {d} x^{a}\mathrm {d} x^{b}}$.

In dieser Gleichung laufen die lateinischen Indizes über die Werte 1, 2, 3 und die griechischen über die Werte 0, 1, 2, 3. Die Drei-Metrik ${\displaystyle \gamma _{ab}}$ ist das Feld, und seine konjugierten Impulse sind ${\displaystyle \pi ^{ab}}$. Der Hamiltonian ist eine Einschränkung (charakteristisch für die meisten relativistischen Systeme)

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2{\sqrt {\gamma }}}}G_{abcd}\pi ^{ab}\pi ^{cd}-{\sqrt {\gamma }}^{(3)}R=0}$,

wobei ${\displaystyle \gamma =\det(\gamma _{ab})}$ und ${\displaystyle G_{abcd}=(\gamma _{ac}\gamma _{bd}+\gamma _{ad}\gamma _{bc}-\gamma _{ab}\gamma _{cd})}$ die Wheeler-DeWitt-Metrik bezeichnen.

Quantisierung „setzt Hüte“ auf die Impuls- und Feldvariablen; das heißt, die Funktionen von Zahlen im klassischen Fall werden zu Operatoren, die die Zustandsfunktion im Quantenfall ändern. So erhalten wir den Operator

${\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}={\frac {1}{2{\sqrt {\gamma }}}}{\hat {G}}_{abcd}{\hat {\pi }}^{ab}{\widehat {\pi }}^{cd}-{\sqrt {\gamma }}^{(3)}{\hat {R}}.}$

In der Ortsdarstellung lauten diese Operatoren

${\displaystyle {\hat {\gamma }}_{ab}(x^{\mu })\to \gamma _{ab}(x^{\mu })}$

${\displaystyle {\hat {\pi }}^{ab}(x^{\mu })\to -\mathrm {i} {\frac {\delta }{\delta \gamma _{ab}(x^{\mu })}}.}$.

Man kann den Operator auf eine allgemeine Wellenfunktion der Metrik ${\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}\Psi [\gamma ]=0}$ anwenden, wobei gilt:

${\displaystyle \Psi [\gamma ]=\alpha +\int \psi (x)\gamma (x)\mathrm {d} x^{3}+\iint \psi (x,y)\gamma (x)\gamma (y)dx^{3}dy^{3}+\dots }$,

was eine Reihe von Bedingungen an die Koeffizienten ${\displaystyle \psi (x,y,\dots )}$ stellt. Das bedeutet, dass die Amplituden für ${\displaystyle N}$ Gravitonen an bestimmten Orten mit den Amplituden für eine andere Mange von Gravitonen an anderen Orten verknüpft sind. Alternativ kann man den Zwei-Feld-Formalismus nutzen und ${\displaystyle \omega (g)}$ als unabhängiges Feld betrachten, so dass die Wellenfunktion zu ${\displaystyle \Psi [\gamma ,\omega ]}$ wird.

Die Wheeler-DeWitt-Gleichung ist eine funktionale Differentialgleichung. Sie ist im allgemeinen Fall nicht wohldefiniert, aber in der theoretischen Physik, insbesondere in der Quantengravitation, sehr wichtig. Sie ist eine funktionale Differentialgleichung auf dem Raum dreidimensionaler räumlicher Metriken. Die Wheeler-DeWitt-Gleichung hat die Form eines Operators, der auf eine Wellenfunktion wirkt; das Funktional reduziert sich auf eine Funktion in der Kosmologie. Im Gegensatz zum allgemeinen Fall ist die Wheeler-DeWitt-Gleichung in Minisuperräumen wie dem Konfigurationsraum kosmologischer Theorien wohldefiniert. Ein Beispiel für eine solche Wellenfunktion ist der Hartle-Hawking-Zustand. Bryce DeWitt veröffentlichte diese Gleichung erstmals 1967 unter dem Namen „Einstein-Schrödinger-Gleichung“; sie wurde später in „Wheeler-DeWitt-Gleichung“ umbenannt.