Wendepunkt

Sei ${\displaystyle f\colon {]a,b[}\to \mathbb {R} }$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, dann beschreibt, wie in der Definition schon angemerkt, die zweite Ableitung die Krümmung des Funktionsgraphen. Da ein Wendepunkt ein Punkt ist, an dem sich das Vorzeichen der Krümmung ändert, muss die zweite Ableitung der Funktion ${\displaystyle f}$ an diesem Punkt null sein. Es gilt also:

Ist ${\displaystyle x_{W}}$ eine Wendestelle, so ist ${\displaystyle f\,''(x_{W})=0}$.

Bei Kurvendiskussionen wird in der Regel eine der beiden folgenden hinreichenden Bedingungen verwendet. In der ersten Bedingung kommt nur die zweite Ableitung vor; dafür muss das Vorzeichen von ${\displaystyle f\,''(x)}$ für ${\displaystyle x<x_{W}}$ und für ${\displaystyle x>x_{W}}$ untersucht werden.

${\displaystyle \left.{\begin{array}{ll}f{\text{ ist in einer Umgebung von }}x_{W}{\text{ zweimal differenzierbar.}}\\f\,''(x){\text{ wechselt an der Stelle }}x_{W}{\text{ das Vorzeichen.}}\end{array}}\right\}\Rightarrow x_{W}{\text{ ist Wendestelle.}}}$

Wechselt ${\displaystyle \,f''(x_{W})}$ vom Negativen ins Positive, so ist ${\displaystyle x_{W}}$ Rechts-links-Wendestelle. Wenn ${\displaystyle \,f''(x_{W})}$ an ${\displaystyle x_{W}}$ vom Positiven ins Negative wechselt, so ist ${\displaystyle x_{W}}$ eine Links-rechts-Wendestelle.

Für die Funktion f(x)=x⁴-x ist die zweite Ableitung bei x=0 gleich Null; aber (0,0) ist kein Wendepunkt, da auch die dritte Ableitung gleich Null und die vierte Ableitung ungleich Null ist.

In der zweiten für einen Wendepunkt hinreichenden Bedingung wird auch die dritte Ableitung benötigt, allerdings nur an der Stelle ${\displaystyle x_{W}}$ selbst. Diese Bedingung wird vor allem dann verwendet, wenn die dritte Ableitung leicht zu ermitteln ist. Der Hauptnachteil gegenüber der schon erläuterten Bedingung liegt darin, dass im Falle ${\displaystyle f\,'''(x_{W})=0}$ keine Entscheidung getroffen werden kann.

${\displaystyle \left.{\begin{array}{ll}f{\text{ ist in einer Umgebung von }}x_{W}{\text{ dreimal differenzierbar.}}\\f\,''(x_{W})=0\\f\,'''(x_{W})\neq 0\end{array}}\right\}\Rightarrow x_{W}{\text{ ist Wendestelle.}}}$

Genauer folgt aus ${\displaystyle f\,''(x_{W})=0}$ und ${\displaystyle f\,'''(x_{W})>0}$, dass ${\displaystyle f}$ bei ${\displaystyle x_{W}}$ ein Minimum des Anstiegs, also eine Rechts-links-Wendestelle besitzt, während sie umgekehrt für ${\displaystyle f\,''(x_{W})=0}$ und ${\displaystyle f\,'''(x_{W})<0}$ bei ${\displaystyle x_{W}}$ ein Maximum des Anstiegs, also eine Links-rechts-Wendestelle aufweist.

Ist die Funktion ${\displaystyle f}$ hinreichend oft differenzierbar, kann auch im Falle ${\displaystyle f\,'''(x_{W})=0}$ eine Entscheidung getroffen werden. Dies basiert auf der Entwicklung von ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ mittels der Taylor-Formel:[3]

${\displaystyle \left.{\begin{array}{ll}f{\text{ ist in einer Umgebung von }}x_{W}\,n{\text{-mal differenzierbar.}}\\f\,''(x_{W})=\ldots =f\,^{(n-1)}(x_{W})=0\\f\,^{(n)}(x_{W})\neq 0\;{\text{ mit }}\,n>2\,{\text{und}}\,n\,{\text{ungerade}}\end{array}}\right\}\Rightarrow x_{W}{\text{ ist Wendestelle.}}}$

Diese allgemeinere Formulierung enthält damit auch schon den vorangegangenen Fall: Beginnend mit der dritten Ableitung wird die nächste von Null verschiedene Ableitung gesucht, und falls dies eine Ableitung ungerader Ordnung ist, handelt es sich um eine Wendestelle.

Oder ganz allgemein formuliert: Ist die erste von Null verschiedene Ableitung ${\displaystyle f^{(n)}}$ der Funktion ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$, an der ${\displaystyle f''(x_{0})=0}$ ist, eine Ableitung ungerader Ordnung > 2, besitzt ${\displaystyle f}$ damit an dieser Stelle einen Wendepunkt.