Wellenfrontmenge

Nach dem Satz von Paley-Wiener ist ${\displaystyle v\in {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ genau dann glatt, wenn seine Fourier-Transformierte ${\displaystyle {\hat {v}}}$ schnell fällt und umgekehrt, das heißt

${\displaystyle v\in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\iff |{\hat {v}}(\xi )|\leq C_{N}(1+|\xi |)^{-N}\quad \forall N\in \mathbb {N} ,\;\xi \in \mathbb {R} ^{n}}$.

(1)

Nun lässt sich der abgeschlossene Kegel ${\displaystyle \Sigma (v)}$ von allen ${\displaystyle \eta \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$ definieren, für die es keine kegelförmige Umgebung ${\displaystyle V}$ von ${\displaystyle \eta }$ gibt, so dass die Ungleichung in ${\displaystyle (1)}$ für alle ${\displaystyle N}$ gilt. Daraus folgt

${\displaystyle v\in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\iff \Sigma (v)=\emptyset }$

Da ${\displaystyle \Sigma (v)}$ ein Kegel ist, besitzt ${\displaystyle \Sigma (v)}$ die Richtungen der Frequenzen, die Singularitäten verursachen. Diese Information gilt es nun mit ${\displaystyle \operatorname {sing\;supp} v}$ zu kombinieren.

Für ${\displaystyle v\in {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})}$, eine Testfunktion ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ und ${\displaystyle \xi \notin \Sigma (v)}$ lässt sich zeigen, dass die Ungleichung in ${\displaystyle (1)}$ für ${\displaystyle {\widehat {\phi v}}}$ in einer kegelförmige Umgebung von ${\displaystyle \xi }$ gilt sowie

${\displaystyle \Sigma (\phi v)\subset \Sigma (v).}$

Dies impliziert für eine Distribution ${\displaystyle v\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ und zwei Testfunktionen ${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}\in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$, dass wenn ${\displaystyle \phi _{2}(x)\neq 0}$ für ${\displaystyle x\in \operatorname {supp} (\phi _{1})}$, dann

${\displaystyle \Sigma (\phi _{1}v)\subset \Sigma (\phi _{2}v).}$

Diese Aussage lässt sich auf ${\displaystyle k+1}$ Testfunktionen ${\displaystyle \phi ,\phi _{1},\phi _{2},\dots ,\phi _{k}\in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ erweitern, dass wenn ${\displaystyle \phi _{1}(x),\dots ,\phi _{k}(x)\neq 0}$ für ${\displaystyle x\in \operatorname {supp} (\phi )}$, dann

${\displaystyle \Sigma (\phi v)\subset \bigcap _{j=1}^{k}\Sigma (\phi _{j}v).}$

Sei nun ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$ eine offene Menge und ${\displaystyle v\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$. Dann definieren wir für ein ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle \Sigma _{x}(v):=\bigcap _{\phi }\left\{\Sigma (\phi v):\phi \in C_{c}^{\infty }(X),\;\phi (x)\neq 0\right\}.}$

Für eine Testfunktion ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(X)}$ mit ${\displaystyle \operatorname {supp} \phi \to \{x\}}$ und ${\displaystyle \phi (x)\neq 0}$ ist ${\displaystyle \Sigma _{x}(v)}$ folgender Grenzwert

${\displaystyle \Sigma (\phi v)\to \Sigma _{x}(v).}$

Daraus folgt ${\displaystyle \Sigma _{x}(v)=\emptyset }$ genau dann, wenn ${\displaystyle \phi v\in C^{\infty }}$ und somit

${\displaystyle \Sigma _{x}(v)=\emptyset \iff x\notin \operatorname {sing\;supp} v.}$

Die Wellenfrontmenge ${\displaystyle WF(u)}$ ist eine abgeschlossene, kegelförmige Teilmenge in ${\displaystyle X\times (\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\})}$ respektive ${\displaystyle T^{*}(X)\setminus \{0\}}$. Die Projektion von ${\displaystyle WF(u)}$ auf ${\displaystyle X}$ ist der singuläre Träger von ${\displaystyle u}$, das heißt für ${\displaystyle \pi :T^{*}(X)\setminus \{0\}\to X}$ gilt

${\displaystyle \pi (WF(u))=\operatorname {sing\;supp} u}$.