Doppelspaltexperiment

Ein Minimum der Intensität findet man für solche Orte, wo der Gangunterschied ${\displaystyle \Delta s}$ von den Spaltmitten aus ein ungerades Vielfaches der halben Wellenlänge beträgt, also ${\displaystyle \Delta s=\left(\pm {\tfrac {1}{2}},\,\pm {\tfrac {3}{2}},\,\pm {\tfrac {5}{2}},\,\dots \right)\cdot \lambda }$. Dann sind die beiden Teilwellen gegenphasig und löschen sich aus. Das gilt auch für den Fall, dass die Breite der Spaltöffnungen nicht klein gegenüber der Wellenlänge ist. Dann variiert zwar ${\displaystyle s}$ merklich mit der Lage des Punktes innerhalb der Spaltbreite, aber zu jedem Punkt in dem einen Spalt gibt es im Abstand ${\displaystyle a}$ einen Punkt im anderen Spalt, von dem aus die Welle gegenphasig ankommt.

Maxima befinden sich etwa mittig zwischen den Minimumstellen, wo mit ${\displaystyle \Delta s=\left(0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\dots \pm n\right)\cdot \lambda }$ konstruktive Interferenz gegeben ist. Für höhere Beugungsordnungen ${\displaystyle n}$ nehmen die Maximalintensitäten ab, denn die konstruktive Interferenz gilt zwar paarweise für Punkte in beiden Spalten, aber nicht für die Variation der Punktposition innerhalb des Spaltes (s. u.).

Für den Zusammenhang zwischen dem Gangunterschied ${\displaystyle \Delta s}$ und der Position ${\displaystyle x}$ auf dem Schirm liest man aus der Zeichnung ab:

${\displaystyle \arcsin {\frac {\Delta s}{a}}=\arctan {\frac {x}{d}}}$

also für kleine Winkel ungefähr

${\displaystyle {\frac {\Delta s}{a}}={\frac {x}{d}}\,.}$

Damit beträgt die Periode des Streifenmusters ${\displaystyle \lambda \cdot {\frac {d}{a}}}$, wenn der Schirmabstand groß gegenüber dem Spaltabstand ist.

Intensitätsverteilung hinter einem Doppelspalt (rot). Die Einhüllende (grau) ist das Beugungsbild, wenn nur einer der beiden Einzelspalte offen ist.

Allerdings hat bereits jeder der beiden Einzelspalte ein Beugungsmuster, da für bestimmte Winkel ${\displaystyle \alpha }$ sich z. B. die Wellen aus der oberen und der unteren Hälfte des Einzelspalts der Breite ${\displaystyle b}$ gerade aufheben. Die Intensität des Doppelspaltes ist daher das Produkt zweier Intensitäten: der Beugung am Einzelspalt der Breite ${\displaystyle b}$ und der von zwei punktförmigen Quellen im Abstand ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle I(\alpha )=I_{0}\left({\frac {\sin \gamma }{\gamma }}\right)^{2}\cos ^{2}\delta }$

wobei ${\displaystyle \gamma ={\frac {k}{2}}b\sin \alpha }$ der Phasenunterschied der Wellen vom oberen bzw. unterem Rand je eines Spaltes ist, und ${\displaystyle \delta ={\frac {k}{2}}a\sin \alpha }$ der Phasenunterschied zwischen den beiden Teilwellen aus beiden Spalten.

Dabei ist ${\displaystyle \alpha }$ der Beobachtungswinkel, ${\displaystyle b}$ die Spaltbreite, ${\displaystyle a}$ der Spaltabstand, ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$ die Wellenzahl.

Setzt man die Ausdrücke für ${\displaystyle \gamma }$ und ${\displaystyle \delta }$ in die Gleichung des Interferenzmusters ein, so werden die Einflüsse von Spaltgeometrie und Wellenlänge des einfallenden Lichtes auf das Aussehen des Interferenzmusters deutlich:

${\displaystyle I(\alpha )=I_{0}\cdot \left({\frac {\sin \left({\frac {k}{2}}b\sin \alpha \right)}{{\frac {k}{2}}b\sin \alpha }}\right)^{\!2}\cdot \cos ^{2}\left({\frac {k}{2}}a\sin \alpha \right)}$

mit ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$.

• Eine Änderung der Spaltbreite ${\displaystyle b}$ führt zu einer Änderung der Lage der Extrema des Einfachspaltes, dessen Intensitätsverteilung (im Bild blau) die Hüllkurve der Intensitätsverteilung des Doppelspalts bildet (im Bild rot)

→ Je breiter der Spalt, desto enger wird die Hüllkurve

• Eine Änderung des Spaltabstandes ${\displaystyle a}$ führt zu einer Änderung der Lage der Extrema des Doppelspalts innerhalb der konstant bleibenden Hüllkurve

→ Je größer der Spaltabstand, desto enger liegen die Extrema des Doppelspalts beieinander

• Eine Änderung der Wellenlänge ${\displaystyle \lambda }$ wirkt sich sowohl auf die Hüllkurve als auch auf die Intensitätsverteilung des Doppelspalts aus

→ Je größer die Wellenlänge, desto breiter werden Hüllkurve und die Interferenzabstände des Doppelspalts

Das Interferogramm einer Spaltkonstellation lässt sich auch mit Hilfe der Fourier-Optik berechnen. Dabei wird ausgenutzt, dass im Falle der Fraunhofer-Beugung das Beugungsmuster der Fouriertransformierten der Autokorrelation der Blendenfunktion entspricht. Der Vorteil dieses Ansatzes ist, dass sich auch das Beugungsbild komplizierterer Mehrfachspalte und Gitter schnell berechnen lässt. Wesentlich ist dabei die Ausnutzung des Faltungstheorems.

Das Koordinatensystem wird so gelegt, dass die zwei Einzelspalte einen Abstand ${\displaystyle a}$ haben und symmetrisch zum Schnitt der Koordinatenachsen liegen. Die Blendenfunktion der zwei identischen Spalte mit Breite ${\displaystyle b}$ im Ortsraum lautet

${\displaystyle (\delta (x+a/2)+\delta (x-a/2))*\operatorname {rect} _{b}(x)}$

wobei ${\displaystyle *}$ den Faltungsoperator und ${\displaystyle \operatorname {rect} _{b}(x)}$ die Rechteckfunktion bezeichnet.

Die Fouriertransformierte der gegebenen Blendenfunktion ist nach dem Faltungstheorem das Produkt aus der Fouriertransformierten der Rechteckfunktion und der Fouriertransformierten der zwei Delta-Distributionen.

${\displaystyle {\mathcal {F}}[\operatorname {rect} _{b}(x)](k_{x})=b\cdot \operatorname {sin} \left({\frac {b}{2}}k_{x}\right)=b{\frac {\sin \left({\frac {k_{x}}{2}}b\right)}{{\frac {k_{x}}{2}}b}}={\frac {\sin \left({\frac {k_{x}}{2}}b\right)}{\frac {k_{x}}{2}}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}[\delta (x\pm d)](k_{x})=\cos(a\cdot k_{x}/2)}$

Daraus folgt für die Intensität am Schirm ein Cosinus mit einer Sinc-Funktion als Einhüllende. Die Funktion weist die charakteristischen ${\displaystyle N-1=1}$ Nebenmaxima eines ${\displaystyle N=2}$-fach-Spaltes auf (siehe auch Optisches Gitter).

${\displaystyle I(k)=I_{0}\left({\frac {\sin \left({\frac {k_{x}}{2}}b\right)}{{\frac {k_{x}}{2}}b}}\cdot \cos({\frac {k_{x}}{2}}a)\right)^{2}}$

Mit ${\displaystyle I_{0}}$ als Intensitätskonstante.

Für ${\displaystyle k_{x}=k\cdot \sin \alpha }$ folgt die oben bereits gezeigte Beziehung für ${\displaystyle I(\alpha )}$.