Weinberg-Winkel

In der elektroschwachen Wechselwirkung sind elektromagnetische und schwache Wechselwirkung vereinigt. Mathematisch wird sie durch eine Yang-Mills-Theorie beschrieben und die ihr zugrunde liegende Symmetriegruppe ist ${\displaystyle SU(2)_{L}\times U(1)_{Y}}$. Die Indices stehen dabei für "left" ("links") und die schwache Hyperladung ${\displaystyle Y}$. Die Dimension der ${\displaystyle SU(2)}$ ist drei, die der ${\displaystyle U(1)}$ eins, sodass es drei masselose Eichbosonen der ${\displaystyle SU(2)}$ und eines der ${\displaystyle U(1)}$ gibt. Die drei Bosonen heißen ${\displaystyle W^{1,2,3}}$ und das der ${\displaystyle U(1)}$ wird als ${\displaystyle B}$ bezeichnet. Die Lagrangedichte dieses Modells lautet

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F^{a\mu \nu }F_{\mu \nu }^{a}-{\frac {1}{4}}G^{\mu \nu }G_{\mu \nu }+{\bar {\psi }}_{L}\gamma _{\mu }D_{L}^{\mu }\psi _{L}+{\bar {\psi }}_{R}\gamma _{\mu }D_{R}^{\mu }\psi _{R}.}$

Darin sind

• ${\displaystyle F^{a\mu \nu }=\partial ^{\mu }W^{a\nu }-\partial ^{\nu }W^{a\mu }+gf^{abc}W^{b\mu }W^{c\nu }}$ der Feldstärketensor der ${\displaystyle SU(2)}$ mit
  • den Strukturkonstanten der ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle f^{abc}}$ und
  • der Kopplungskonstante der ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle g}$,
• ${\displaystyle G^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu }}$ der Feldstärketensor der ${\displaystyle U(1)}$,
• ${\displaystyle \psi _{L}={\tfrac {1-\gamma ^{5}}{2}}\psi }$ der linkshändige Anteil und ${\displaystyle \psi _{R}={\tfrac {1+\gamma ^{5}}{2}}\psi }$ der rechtshändige Anteil des fermionischen Feldes ${\displaystyle \psi }$,
• ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ die Dirac-Matrizen,
• ${\displaystyle D_{L}^{\mu }=\partial ^{\mu }+\mathrm {i} gT^{a}W^{a\mu }+\mathrm {i} g'YB^{\mu }}$ die linkshändige kovariante Ableitung mit
  • den Generatoren der ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle T^{a}}$, die proportional zu den Pauli-Matrizen sind,
  • dem Generator der ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle Y}$, der proportional zur Einheitsmatrix ist, und
  • der Kopplungskonstante der ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle g'}$ und
• ${\displaystyle D_{R}^{\mu }=\partial ^{\mu }+\mathrm {i} g'YB^{\mu }}$ die rechtshändige kovariante Ableitung.

Die Lagrangedichte ist so konstruiert, dass sie invariant unter den Eichtransformationen

${\displaystyle \psi _{L}\to \psi _{L}'=\exp(\mathrm {i} gT^{a}\alpha ^{a})\psi _{L}}$ und ${\displaystyle \psi \to \psi '=\exp(\mathrm {i} g'Y\beta )\psi }$

ist. Die Parameter ${\displaystyle \alpha ^{a}}$ und ${\displaystyle \beta }$ sind beliebige reelle Funktionen der Raumzeit. Die lateinischen Indices laufen von 1 bis 3, die griechischen von 0 bis 3 und es wird Einsteinsche Summenkonvention verwendet. Diese Lagrangedichte ist, bis auf totale Ableitungen, die die Bewegungsgleichungen nicht ändern, maximal in dem Sinne, dass ihr kein Term bestehend aus ${\displaystyle W^{a},B}$ und ${\displaystyle \psi }$ hinzugefügt werden kann, der die Eichinvarianz und Renormierbarkeit erhält.

Alle Teilchen der elektroschwachen Wechselwirkung sind masselos, da die Lagrangedichte insbesondere keine Masseterme enthält. In der Realität bricht der Higgs-Mechanismus die ${\displaystyle SU(2)\times U(1)}$ spontan. Für ein skalares Feld ${\displaystyle \phi }$ in der Lagrangedichte, das Higgs-Feld, ist ein Masseterm ${\displaystyle \mu ^{2}\phi ^{\dagger }\phi }$ erlaubt. Die Lagrangedichte wird erweitert durch die Terme

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\dots +(D_{L}^{\mu }\phi )^{\dagger }(D_{\mu ,L}\phi )+\mu ^{2}\phi ^{\dagger }\phi -\lambda (\phi ^{\dagger }\phi )^{2}+\dots }$,

wobei die ersten Auslassungszeichen die weiter oben bereits erwähnte Lagrangedichte umfassen und die zweiten Auslassungszeichen für Interaktionen des ${\displaystyle \phi }$-Feldes mit den Fermionen umfassen. Im Higgs-Mechanismus ist die Masse des ${\displaystyle \phi }$-Teilchens imaginär, das heißt ${\displaystyle \mu ^{2}<0}$. Dadurch liegt der Grundzustand des Higgs-Feldes nicht bei ${\displaystyle \phi =0}$, sondern bei ${\displaystyle \phi ={\begin{pmatrix}0&{\tfrac {\mu ^{2}}{2\lambda }}\end{pmatrix}}^{\mathrm {T} }}$; man sagt, das Feld ${\displaystyle \phi }$ hat einen von null verschiedenen Vakuumerwartungswert. Um die physikalisch beobachtbaren Teilchen zu beschreiben muss daher das Higgs-Feld um diesen Grundzustand herum entwickelt werden und nicht um das falsche Vakuum bei ${\displaystyle \phi =0}$. Da die Eichbosonen an das ${\displaystyle \phi }$-Feld koppeln, werden sie durch die spontane Symmetriebrechung beeinflusst. Mit der Abkürzung ${\displaystyle v=\mu /{\sqrt {\lambda }}}$ gilt

${\displaystyle (D^{\mu }\phi )^{\dagger }(D_{\mu }\phi )={\frac {g^{2}v^{2}}{8}}\left[(W^{1\mu })^{2}+(W^{2\mu })^{2}+\left({\frac {g'}{g}}B^{\mu }-W^{3\mu }\right)^{2}\right]+\dots }$

Da Masse und elektrische Ladung zwei unabhängig messbare Größen sind, ist es möglich, einen Satz gemeinsamer Eigenzustände zu finden. Der Ladungsoperator der elektrischen Ladung ist

${\displaystyle Q=T^{3}+Y={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},}$

wobei ${\displaystyle Y}$ so normiert wurde, dass das Higgs-Teilchen die schwache Hyperladung ${\displaystyle Y_{h}=+{\tfrac {1}{2}}}$ hat und die Generatoren der ${\displaystyle SU(2)}$ so, dass ihre Strukturkonstante gleich dem Levi-Civita-Symbol, ${\displaystyle f^{abc}=\varepsilon ^{abc}}$, ist. Da die Eichbosonen in der adjungierten Darstellung transformieren, muss also eine Linearkombination der Generatoren gefunden werden, für die

${\displaystyle [Q,x]=qx}$

gilt.

Aus der Lagrangedichte ist offensichtlich, dass ${\displaystyle W^{1}}$ und ${\displaystyle W^{2}}$ bereits Masseneigenzustände sind. Weiterhin sind ${\displaystyle [Q,T^{3}]W^{3}=0}$ und ${\displaystyle [Q,Y]B=0}$, sodass ${\displaystyle W^{3}}$ und ${\displaystyle B}$ bereits Ladungseigenzustände sind. Definiert man

${\displaystyle W^{\pm \mu }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(W^{1\mu }\mp \mathrm {i} W^{2\mu })}$ nebst ${\displaystyle T^{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(T^{1}\pm \mathrm {i} T^{2})}$

sowie

${\displaystyle A^{\mu }={\frac {g'}{\sqrt {g^{2}+g'^{2}}}}W^{3\mu }+{\frac {g}{\sqrt {g^{2}+g'^{2}}}}B^{\mu }}$ nebst ${\displaystyle Z^{\mu }={\frac {g}{\sqrt {g^{2}+g'^{2}}}}W^{3\mu }+{\frac {g'}{\sqrt {g^{2}+g'^{2}}}}B^{\mu },}$

dann lautet die Lagrangedichte

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {g^{2}v^{2}}{8}}\left[(W^{+\mu })^{2}+(W^{-\mu })^{2}+{\frac {g^{2}+g'^{2}}{g^{2}}}Z^{2}\right]+\dots }$

Die Lagrangedichte ist also diagonal in allen vier Feldern ${\displaystyle W^{\pm },Z,A}$. Weiterhin gilt

${\displaystyle [Q,T^{\pm }W^{\pm }]=\pm T^{\pm }W^{\pm }.}$