Weil-Vermutung

Das außer dem Punkt einfachste Beispiel ist der Fall der projektiven Geraden ${\displaystyle X}$. Die Anzahl der Punkte von ${\displaystyle X}$ über einem Körper mit ${\displaystyle q^{m}}$ Elementen ist ${\displaystyle N_{m}=q^{m}+1}$ (wobei die „${\displaystyle +1}$“ vom „Punkt im Unendlichen“ stammt). Die Zetafunktion ist ${\displaystyle {\tfrac {1}{({1-q}^{-s})({1-q}^{1-s})}}}$. Die weitere Überprüfung der Weil-Vermutungen ist einfach.

Der Fall des ${\displaystyle n}$-dimensionalen projektiven Raumes ist nicht viel schwieriger. Die Zahl der Punkte von ${\displaystyle X}$ über einem Körper mit ${\displaystyle q^{m}}$ Elementen ist ${\displaystyle N_{m}=1+q^{m}+q^{2m}+\cdots +q^{nm}}$. Die Zetafunktion ist

${\displaystyle {\frac {1}{({1-q}^{-s})({1-q}^{1-s})({1-q}^{2-s})\cdots ({1-q}^{n-s})}}}$.

Wieder lassen sich die Weil-Vermutungen leicht überprüfen.

Der Grund, warum projektive Gerade und Raum so einfach sind, liegt darin, dass sie als disjunkte Kopien einer endlichen Zahl affiner Räume geschrieben werden können. Für ähnlich strukturierte Räume wie Grassmann-Varietäten ist der Beweis ebenso einfach.

Der erste nicht-triviale Fall der Weilvermutungen sind elliptische Kurven. Diese wurden bereits in den 1930er Jahren von Helmut Hasse behandelt. Sei ${\displaystyle E}$ eine elliptische Kurve über einem endlichen Körper mit ${\displaystyle q}$ Elementen. Dann gilt für die Anzahl ${\displaystyle N_{m}}$ der Punkte von ${\displaystyle E}$ über einer Körpererweiterung mit ${\displaystyle q^{m}}$ Elementen die Formel[4]

${\displaystyle N_{m}=q^{m}+1-\alpha ^{m}-\beta ^{m}}$,

wobei ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$ zueinander komplex konjugiert sind und jeweils Absolutwert ${\displaystyle {\sqrt {q}}}$ haben (Riemannsche Vermutung). Die Zetafunktion der elliptischen Kurve ist

${\displaystyle \zeta (E,s)={\frac {(1-\alpha q^{-s})(1-\beta q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}}}$.

Elliptische Kurven sind hyperelliptische Kurven vom Geschlecht ${\displaystyle g=1}$. Eine hyperelliptische Kurve ${\displaystyle C}$ von beliebigem Geschlecht ${\displaystyle g\in \mathbb {N} }$ über einem endlichen Körper ${\displaystyle F_{q}}$ kann gegeben werden durch eine Gleichung

${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)}$

mit einem Polynom ${\displaystyle h(x)\in F_{q}[x]}$, dessen Grad höchstens ${\displaystyle g}$ beträgt, und einem normierten Polynom ${\displaystyle f(x)\in F_{q}[x]}$ vom Grad ${\displaystyle 2g+1}$. Bezeichnet ${\displaystyle {\bar {F}}_{q}}$ einen algebraischen Abschluss von ${\displaystyle F_{q}}$, so ist eine solche Kurve nicht-singulär genau dann, wenn keiner der Punkte ${\displaystyle (x,y)\in {\bar {F}}_{q}\times {\bar {F}}_{q}}$, der der Gleichung ${\displaystyle C}$ genügt, auch die beiden partiellen Ableitungsgleichungen ${\displaystyle 2y+h(x)=0}$ und ${\displaystyle h'(x)y-f'(x)=0}$ erfüllt.[5] Nach Hinzunahme des "unendlich fernen Punktes" ${\displaystyle \infty }$, welcher nicht-singulär ist, wird aus ${\displaystyle C}$ eine nicht-singuläre, eindimensionale, projektive, algebraischen Varietät ${\displaystyle X}$, die über ${\displaystyle F_{q}}$ definiert ist. ${\displaystyle X}$ erfüllt also die Voraussetzungen der Weil-Vermutungen.

Es bezeichne nun ${\displaystyle N_{m},m\in \mathbb {N} }$, die Anzahl der Punkte ${\displaystyle (x,y)\in F_{q^{m}}\times F_{q^{m}}}$, die die Gleichung ${\displaystyle C}$ erfüllen, wobei der unendlich ferne Punkt bei allen ${\displaystyle N_{m}}$ mitgezählt wird. Auf Grund der Rationalität nach Weil gilt für die Zeta-Funktion von ${\displaystyle X}$ [6]:

${\displaystyle \zeta (X,s)\,{\stackrel {\rm {Def.}}{=}}\,\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {N_{m}}{m}}(q^{-s})^{m}\right)\,{\stackrel {\rm {Weil}}{=}}\,\prod _{i=0}^{2}\,P_{i}(q^{-s})^{(-1)^{i+1}}={\frac {P_{1}(T)}{(1-T)(1-qT)}},\quad T=q^{-s},}$

mit einem ganzzahligen Polynom ${\displaystyle P_{1}(T)\in \mathbb {Z} [T]}$, welches den Grad ${\displaystyle 2g}$ besitzt. Wegen der Riemann-Vermutung (hier also: ${\displaystyle |\alpha _{1,j}|=q^{1/2}}$ für alle ${\displaystyle j=1,\ldots ,2g}$) muss ${\displaystyle P_{1}(T)}$ die folgende, spezielle Gestalt haben (vergleiche die Koeffizienten bei ${\displaystyle T^{j}}$ mit denen bei ${\displaystyle T^{2g-j}}$):

${\displaystyle P_{1}(T)=1+c_{1}T+\ldots +c_{g-1}T^{g-1}+c_{g}T^{g}+qc_{g-1}T^{g+1}+\ldots +q^{g-1}c_{1}T^{2g-1}+q^{g}T^{2g}.}$

Die Euler-Charakteristik von ${\displaystyle X}$ ist ${\displaystyle E={\text{grad}}(P_{0})-{\text{grad}}(P_{1})+{\text{grad}}(P_{2})=2-2g}$, also 0 im Fall von elliptischen Kurven und -2 im Fall von hyperelliptischen Kurven vom Geschlecht 2.

Betrachte als konkretes Geschlecht-2-Beispiel die hyperelliptische Kurve[7]

${\displaystyle C:y^{2}+y=x^{5}.}$

Man kann sie zunächst als Kurve ${\displaystyle C/\mathbb {Q} }$ auffassen, die über den rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ definiert ist. Bei allen von 5 verschiedenen Primzahlen ${\displaystyle q\in \mathbb {P} }$ besitzt ${\displaystyle C/\mathbb {Q} }$ gute Reduktion, stellt also nach Reduktion modulo ${\displaystyle q\neq 5}$ eine hyperelliptische Kurve ${\displaystyle C/F_{q}:y^{2}+h(x)y=f(x)}$ vom Geschlecht 2 dar, mit ${\displaystyle h(x)=1,f(x)=x^{5}\in F_{q}[x]}$. Was die Weil-Polynome ${\displaystyle P_{i}(T)}$ angeht, so gilt beispielsweise für ${\displaystyle q=41}$:

${\displaystyle \zeta (C/F_{41},s)={\frac {P_{1}(T)}{(1-T)(1-qT)}}={\frac {1-9\cdot T+71\cdot T^{2}-9\cdot 41\cdot T^{3}+41^{2}\cdot T^{4}}{(1-T)(1-41\cdot T)}}.}$

Die Werte ${\displaystyle c_{1}=-9}$ und ${\displaystyle c_{2}=71}$ kann man bestimmen, indem man die Anzahl der Lösungen von ${\displaystyle y^{2}+y=x^{5}}$ über ${\displaystyle F_{41}}$ und ${\displaystyle F_{41^{2}}}$ zählt und jeweils 1 für den unendlich fernen Punkt ${\displaystyle \infty }$ hinzuaddiert. Dieses Zählen ergibt ${\displaystyle N_{1}=33}$ und ${\displaystyle N_{2}=1743}$. Es gilt dann[8]:

${\displaystyle c_{1}=N_{1}-1-q=33-1-41=-9}$   und

${\displaystyle c_{2}=(N_{2}-1-q^{2}+c_{1}^{2})/2=(1743-1-41^{2}+(-9)^{2})/2=71.}$

Die Nullstellen von ${\displaystyle P_{1}(T)}$ sind ${\displaystyle z_{1}:=0{,}12305+{\sqrt {-1}}\cdot 0{,}09617}$ und ${\displaystyle z_{2}:=-0{,}01329+{\sqrt {-1}}\cdot 0{,}15560}$ (die angegebenen Real- und Imaginärteile sind nach der fünften Nachkommastelle abgeschnitten) sowie deren komplex Konjugierte ${\displaystyle z_{3}:={\bar {z}}_{1}}$ und ${\displaystyle z_{4}:={\bar {z}}_{2}}$. In der Faktorisierung ${\displaystyle P_{1}(T)=\prod _{j=1}^{4}(1-\alpha _{1,j}T)}$ ist also ${\displaystyle \alpha _{1,j}=1/z_{j}}$. Wie im Riemann-Teil der Weil-Vermutungen aufgeführt, gilt in der Tat ${\displaystyle |\alpha _{1,j}|={\sqrt {41}}}$ für ${\displaystyle j=1,2,3,4}$.

Die zu ${\displaystyle C/\mathbb {Q} }$ gehörende, nicht-singuläre, projektive, komplexe Mannigfaltigkeit hat die Betti-Zahlen ${\displaystyle B_{0}=1,B_{1}=2g=4,B_{2}=1}$[9]. Wie im vierten Teil der Weil-Vermutungen beschrieben, stimmen diese (topologisch definierten!) Betti-Zahlen mit den Graden der Weil-Polynome ${\displaystyle P_{i}(T)}$ überein, für alle Primstellen ${\displaystyle q\neq 5}$: ${\displaystyle {\rm {grad}}(P_{i})=B_{i},\,i=0,1,2}$.

Eine abelsche Fläche ist eine zweidimensionale abelsche Varietät. Abelsche Flächen gehören also zu den projektiven, algebraischen Varietäten, die gleichzeitig auch die Struktur einer Gruppe besitzen, und zwar so, dass die Gruppenverknüpfung und Inversenbildung mit der Struktur einer algebraischen Varietät verträglich sind. Elliptische Kurven liefern eindimensionale abelsche Varietäten. Als Beispiel einer abelschen Fläche, die über einem endlichen Körper definiert ist, soll die Jacobische Varietät ${\displaystyle X:={\text{Jac}}(C/F_{41})}$ der Geschlecht-2-Kurve[10]

${\displaystyle C/F_{41}:y^{2}+y=x^{5}}$

betrachtet werden, die im Abschnitt über hyperelliptische Kurven vorgestellt wurde. Dort wurde bereits das Polynom ${\displaystyle P_{1}(T)=\prod _{j=1}^{4}(1-\alpha _{1,j}T)=1-9\cdot T+71\cdot T^{2}-9\cdot 41\cdot T^{3}+41^{2}\cdot T^{4}}$ bestimmt. Man kann sich nun überlegen[11], dass

${\displaystyle M_{1}:=|{\text{Jac}}(C/F_{41})|=P_{1}(1)=\prod _{j=1}^{4}[1-\alpha _{1,j}T]_{T=1}=[1-9\cdot T+71\cdot T^{2}-9\cdot 41\cdot T^{3}+41^{2}\cdot T^{4}]_{T=1}=1-9+71-9\cdot 41+41^{2}=1375=5^{3}\cdot 11}$   und

${\displaystyle M_{2}:=|{\text{Jac}}(C/F_{41^{2}})|=\prod _{j=1}^{4}[1-\alpha _{1,j}^{2}T]_{T=1}=[1+61\cdot T+3\cdot 587\cdot T^{2}+61\cdot 41^{2}\cdot T^{3}+41^{4}\cdot T^{4}]_{T=1}=2930125=5^{3}\cdot 11\cdot 2131}$

die Anzahlen der Elemente von ${\displaystyle {\text{Jac}}(C/F_{41})}$ und ${\displaystyle {\text{Jac}}(C/F_{41^{2}})}$ sind. Daneben reicht die Kenntnis der beiden Koeffizienten ${\displaystyle c_{1}=-3^{2}}$ und ${\displaystyle c_{2}=71}$, die in ${\displaystyle P_{1}(T)}$ erscheinen, auch aus, um die ${\displaystyle 2\cdot {\text{dim}}(X)+1=5}$ Weil-Polynome in Bezug auf die Jacobische Varietät ${\displaystyle X}$ zu bestimmen (das Polynom ${\displaystyle P_{1}}$ ist für die Kurve ${\displaystyle C/F_{41}}$ und die abelsche Oberfläche ${\displaystyle {\text{Jac}}(C/F_{41})}$ identisch):

${\displaystyle P_{0}(T)=1-T}$

${\displaystyle P_{1}(T)=1-3^{2}\cdot T+71\cdot T^{2}-3^{2}\cdot 41\cdot T^{3}+41^{2}\cdot T^{4}}$

${\displaystyle P_{2}(T)=(1-41\cdot T)^{2}\cdot (1+11\cdot T+3\cdot 7\cdot 41\cdot T^{2}+11\cdot 41^{2}\cdot T^{3}+41^{4}\cdot T^{4})}$

${\displaystyle P_{3}(T)=1-3^{2}\cdot 41\cdot T+71\cdot 41^{2}\cdot T^{2}-3^{2}\cdot 41^{4}\cdot T^{3}+41^{6}\cdot T^{4}}$

${\displaystyle P_{4}(T)=1-41^{2}\cdot T}$

Wovon man sich leicht überzeugt: die Kehrwerte ${\displaystyle \alpha _{i,j}}$ der Nullstellen von ${\displaystyle P_{i}(T)}$ haben in der Tat den erwarteten Absolutbetrag von ${\displaystyle 41^{i/2}}$. Und tatsächlich bildet ${\displaystyle \alpha _{i,j}\longmapsto 41^{2}/\alpha _{i,j},j=1,\ldots ,{\text{grad}}(P_{i}),}$ die Kehrwerte der Nullstellen von ${\displaystyle P_{i}(T)}$ auf die Kehrwerte der Nullstellen von ${\displaystyle P_{4-i}(T)}$ ab. Eine nicht-singuläre, komplexe, projektive, algebraische Varietät ${\displaystyle Y}$, welche sich bei ${\displaystyle q=41}$ gut zu ${\displaystyle X={\text{Jac}}(C/F_{41})}$ reduziert, muss zwingend die Betti-Zahlen ${\displaystyle B_{0}=B_{4}=1,B_{1}=B_{3}=4,B_{2}=6}$ besitzen. Denn dies sind die Grade der Polynome ${\displaystyle P_{i}(T).}$ Die Euler-Charakteristik ${\displaystyle E}$ von ${\displaystyle X}$ ist die alternierende Summe dieser Grade/Betti-Zahlen: ${\displaystyle E=1-4+6-4+1=0}$. Für die Zeta-Funktion von ${\displaystyle X}$ gilt, mit ${\displaystyle s}$ als komplexer Variable aus deren Definitionsbereich:

${\displaystyle \zeta ({\text{Jac}}(C/F_{41}),s)\,=\,\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {M_{m}}{m}}(41^{-s})^{m}\right)\,=\,\prod _{i=0}^{4}\,P_{i}(41^{-s})^{(-1)^{i+1}}={\frac {P_{1}(T)\cdot P_{3}(T)}{P_{0}(T)\cdot P_{2}(T)\cdot P_{4}(T)}},\quad T:=41^{-s}\,{\stackrel {\rm {Def.}}{=}}\,{\text{exp}}(-s\cdot {\text{log}}(41)),}$

bzw.

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\frac {M_{m}}{m}}(41^{-s})^{m}\,=\,\log \left({\frac {P_{1}(T)\cdot P_{3}(T)}{P_{0}(T)\cdot P_{2}(T)\cdot P_{4}(T)}}\right)=1375\cdot T+2930125/2\cdot T^{2}+4755796375/3\cdot T^{3}+7984359145125/4\cdot T^{4}+13426146538750000/5\cdot T^{5}+O(T^{6}).}$

Neben den schon bekannten Werten ${\displaystyle M_{1}}$ und ${\displaystyle M_{2}}$ kann man in dieser Taylor-Entwicklung beliebige weitere Anzahlen ${\displaystyle M_{m}}$, ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$, von ${\displaystyle F_{41^{m}}}$-rationalen Elementen der über ${\displaystyle F_{41}}$ definierten Jacobischen Varietät der Kurve ${\displaystyle C/F_{41}}$ ablesen: also z. B. ${\displaystyle M_{3}=4755796375=5^{3}\cdot 11\cdot 61\cdot 56701}$ und ${\displaystyle M_{4}=7984359145125=3^{4}\cdot 5^{3}\cdot 11\cdot 2131\cdot 33641}$. Dabei folgt aus ${\displaystyle m_{1}|m_{2}}$ stets ${\displaystyle M_{m_{1}}|M_{m_{2}}}$, denn ${\displaystyle {\text{Jac}}(C/F_{41^{m_{1}}})}$ ist dann eine Untergruppe von ${\displaystyle {\text{Jac}}(C/F_{41^{m_{2}}})}$.