Wasserwelle

Der Mechanismus der Wellenentstehung durch Wind ist die Kelvin-Helmholtz-Instabilität. Im Entstehungsgebiet des Seegangs sind als Einflussgrößen zu unterscheiden:

• die Streichlänge (Fetch) F = Einwirkungsdistanz des Windes an der Wasseroberfläche,
• die Windgeschwindigkeit U und
• die Winddauer als sogenannte Ausreifzeit ${\displaystyle D_{\text{min}}}$ des Seegangs.

Ihr Zusammenwirken entscheidet über die Größe der Wellen und über ihre Gestalt. Je größer eine dieser Einflussgrößen, desto größer die Wellen. In Flachmeeren hat die Wassertiefe begrenzenden Einfluss.
Der entstehende Seegang ist charakterisiert durch:

• die Wellenhöhen,
• die Wellenlängen,
• die Periodendauern und
• die Wellenfortschrittsrichtung (bezogen auf die Nordrichtung).

In einem vorgegebenen Seegebiet kommen Wellen mit unterschiedlichen Bandbreiten von Höhen und Perioden vor. Für die Wellenvorhersage sind als charakteristische Angaben definiert:

• die signifikante Wellenhöhe ${\displaystyle H_{S}=H_{1/3}}$ und
• die signifikante Wellenperiode ${\displaystyle T_{S}=T_{1/3}}$.

Beide beziehen sich auf die über einen vorgegebenen Zeitraum beobachteten Wellen und stellen als statistische Größen jeweils Mittelwerte für das Drittel der höchsten Wellen des Kollektivs dar.

Wasserwellen weichen in ihrer Gestalt von der regelmäßigen Sinusform ab. Ihre Form ist sowohl horizontal als auch vertikal asymmetrisch. Der Teil der Welle, der oberhalb des Ruhewasserspiegels liegt, wird als Wellenberg bezeichnet. Die Position der höchsten Auslenkung ist der Wellenkamm. Der Teil der Welle, der unterhalb des Ruhewasserspiegels liegt, ist das Wellental. Die Wellenhöhe ist die Summe der Beträge beider benachbarter Maximalauslenkungen:

${\displaystyle H=H_{o}+H_{u}}$

Dabei übertrifft die maximale positive Wasserspiegelauslenkung in ihrem Betrage umso mehr die maximale negative Wasserspiegelauslenkung, je geringer die Wassertiefe wird. Bei Wellen im Flachwasserbereich kann die Höhe des Wellenberges bis zu 3/4 der gesamten Wellenhöhe ${\displaystyle H}$ ausmachen, während das Wellental ${\displaystyle H/4}$ unter dem Ruhewasserspiegel liegt. Als Wellenlänge (Symbol ${\displaystyle L}$) wird die Summe ihrer ungleichen auf den Ruhewasserspiegel bezogenen Teillängen des Kammbereiches und des Talbereiches bezeichnet, vergleiche Abbildung 1. Es gelten

${\displaystyle L_{B}<L_{T}}$

und

${\displaystyle L=L_{B}+L_{T}}$.

Der Quotient aus Wellenhöhe und Wellenlänge ist ein wichtiges Kennzeichen für die Beurteilung der Stabilität der Wellen und wird als Wellensteilheit S bezeichnet:

${\displaystyle S=H/L}$.

Nach Stokes (1847) gilt für Wellen über einer Wassertiefe ${\displaystyle d>L/2}$ der theoretische Grenzwert ${\displaystyle S_{\text{max}}=1/7}$. Tatsächlich erfolgt das Wellenbrechen aber bereits bei ${\displaystyle S=1/10}$. Auf dem freien Ozean herrschen Wellensteilheiten zwischen 1/100 und 1/50 vor. Für den Flachwasserbereich haben Naturmessungen die Formel von Miche (1944) bestätigt, in der auch die begrenzende Wirkung des Meeresbodens berücksichtigt ist:

Grenzsteilheit: ${\displaystyle \max \left({\frac {H}{L}}\right)=0{,}142\tanh {\left({\frac {2\pi d}{L}}\right)}}$

Seit dem 19. Jahrhundert ist die asymmetrische Form natürlicher Wasserwellen neben Gerstner (1804) vor allem von Stokes (1847) mit immer größerem mathematischen Aufwand beschrieben worden. Für praktische Abschätzungen wird dessen ungeachtet aber noch immer häufig die lineare Wellentheorie nach Airy-Laplace (1845) verwendet, die von der regelmäßigen Sinusform ausgeht.

Trochoidale Tiefwasserwelle: Momentane Richtungen der Orbitalgeschwindigkeit ${\displaystyle w={\frac {2\pi r}{T}}={\frac {\pi H}{T}}}$ an verschiedenen Positionen der Wellenoberfläche.

Tiefwasserwelle nach Stokes: Orbitalbahnen der Wasserteilchen beginnend an zwei Positionen mit dem Abstand einer halben Wellenlänge.

Nach den Wellentheorien von Gerstner und Airy-Laplace werden über großer Wassertiefe die Wasserteilchen beim Passieren einer Welle näherungsweise auf Kreisbahnen (Orbitalbahnen) bewegt, deren Radien im Strömungsfeld unterhalb der Wasseroberfläche bis zu einer Tiefe, die etwa der halben Wellenlänge entspricht, nach einem Exponentialgesetz etwa auf null abnehmen. Dabei ist die Kreisperiode ${\displaystyle T=1/f}$ die Umlaufzeit, die dem Vorrücken der Welle um eine volle Wellenlänge ${\displaystyle L}$ entspricht. Somit ist die Orbitalgeschwindigkeit an der Wasseroberfläche

${\displaystyle w={\frac {2\pi r}{T}}}$,

und die Wellenfortschrittsgeschwindigkeit ${\displaystyle c_{w}}$ ist

${\displaystyle c_{w}={\frac {L}{T}}}$.

Demgegenüber sind die Bahnlinien der Wasserteilchen gemäß der Theorie von Stokes nach einer Wellenperiode nicht geschlossen. Nach dieser Theorie ist der zirkularen Orbitalbewegung eine horizontale Driftgeschwindigkeit U in Richtung der Wellenfortschrittsgeschwindigkeit c überlagert, die Massentransportgeschwindigkeit genannt wird. In der nebenstehenden Animation bezeichnen die roten Punkte die augenblicklichen Positionen der masselosen Teilchen, die sich mit der Strömungsgeschwindigkeit bewegen. Die hellblauen Linien sind die Bahnlinien dieser Teilchen und die hellblauen Punkte bezeichnen die Partikelpositionen nach jeder Wellenperiode. Die weißen Punkte sind gleichsinnig bewegte Flüssigkeitsteilchen. Man beachte, dass sich die Wellenperiode der Flüssigkeitsteilchen nahe der freien Oberfläche von derjenigen bezüglich einer festen Position (bezeichnet durch die hellblauen Punkte) unterscheidet. Dies ist auf den Dopplereffekt zurückzuführen.

Während die Wellenfortschrittsgeschwindigkeit (Phasengeschwindigkeit) ${\displaystyle c=L/T}$ für alle Wellenarten zutrifft, gilt für Schwerewellen zusätzlich die Dispersionsrelation, die neben der Wellenlänge ${\displaystyle L}$ auch die Wassertiefe ${\displaystyle d}$ als Variable enthält:

(1) ${\displaystyle c={\sqrt {{\frac {gL}{2\pi }}\tanh {\left({\frac {2\pi d}{L}}\right)}}}}$[1]

${\displaystyle \pi }$: Kreiszahl

${\displaystyle g}$: Erdbeschleunigung

Die Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit von der Wellenlänge bzw. der Frequenz zeigen die beiden Abbildungen 2 und 3. Zusätzlich ist die Abhängigkeit von der Wassertiefe ${\displaystyle d}$ angegeben. Schwerewellen kommen nicht als einzelne monochromatische Wellen vor, sondern stets als Überlagerung von Wellen mit benachbarten Frequenzen. Als Folge treten Wellenpakete oder Wellengruppen auf, die sich mit der Gruppengeschwindigkeit

(2) ${\displaystyle c_{\text{g}}=c-L{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} L}}}$

fortbewegen. Je nach Vorzeichen des Differentialquotienten ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} L}}}$ ist die Gruppengeschwindigkeit kleiner, größer oder gleich der Phasengeschwindigkeit. Entsprechend unterscheidet man normale Dispersion, anomale Dispersion bzw. dispersionslose Wellenausbreitung. Bei Schwerewellen ist die Dispersion negativ, es liegt normale Dispersion vor (im Gegensatz zu Kapillarwellen).

Für Gewässer mit einer Tiefe von mehr als einer halben Wellenlänge nähert sich ${\displaystyle \tanh(2\pi d/L)}$ in (1) dem Wert 1, die Phasengeschwindigkeit ${\displaystyle c}$ wird von der Wassertiefe unabhängig:

(3) ${\displaystyle c\approx {\sqrt {\frac {gL}{2\pi }}}}$ für ${\displaystyle L<2d}$

Bezeichnet ${\displaystyle T}$ die Periodendauer, folgt mit ${\displaystyle T={\frac {L}{c}}}$ aus (3):

(4) ${\displaystyle T\approx {\sqrt {\frac {2\pi L}{g}}}}$

Langwellige Wellen breiten sich also schneller aus und haben eine größere Periodendauer als kurzwellige. Bei einer Wellenlänge von 1 km ist c etwa 142 km/h und T etwa 25 s, bei einer Wellenlänge von 10 m ist c etwa 14 km/h und T etwa 2,5 s.

Die Dispersion wird maximal:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} L}}={\sqrt {\frac {g}{8\pi L}}}}$ bzw. ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} f}}={\frac {-g}{2\pi f^{2}}}}$

Aus (2) ergibt sich die Gruppengeschwindigkeit ${\displaystyle c_{\text{g}}}$ zu

${\displaystyle c_{\text{g}}\approx {\frac {c}{2}}}$.

Aufgrund dieser Dispersionsrelation ändert sich die Zusammensetzung von Wellenpaketen in der Art, dass die längeren Wellen das Gebiet ihrer Erzeugung schneller verlassen als die kürzeren und somit an entfernten Orten früher ankommen. Da zusätzlich die kurzperiodischen Wellen stärker gedämpft werden, nimmt man Sturmwellen in entfernten Gebieten als langperiodische Dünung wahr.

Bei Wellenlängen, die größer sind als die Wassertiefe (${\displaystyle L>20d}$), spricht man von Flachwasserwellen. Bei ihnen hängt die Ausbreitungsgeschwindigkeit nur von der Tiefe ${\displaystyle d}$ ab, nicht jedoch von der Wellenlänge. Für kleine ${\displaystyle x}$ gilt ${\displaystyle \tanh(x)\approx x}$ und damit erhält man aus (1)

(5) ${\displaystyle c\approx {\sqrt {gd}}}$ für ${\displaystyle d<{\frac {L}{20}}}$.

Bei tiefem Wasser können diese Wellen also sehr hohe Geschwindigkeiten erreichen. Das ist der Hintergrund dafür, dass sich Tsunamis im offenen Ozean sehr schnell ausbreiten. Gleichzeitig ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit unabhängig von der Wellenlänge. Deshalb läuft ein Wellenpaket einer Flachwasserwelle bei der Ausbreitung kaum auseinander. Die Phasengeschwindigkeit ist genauso groß wie die Gruppengeschwindigkeit:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} L}}=0}$ bzw. ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} f}}=0}$

${\displaystyle c=Lf={\sqrt {gd}}}$

${\displaystyle c_{\text{g}}=c}$.

Bei Wellenlängen kürzer als einige Zentimeter bestimmt die Oberflächenspannung die Ausbreitungsgeschwindigkeit. Für Kapillarwellen gilt:

${\displaystyle c\,=\,L\,f\,=\,{\sqrt {\frac {2\pi \eta }{\rho L}}}\,=\,\left({\frac {2\pi \eta f}{\rho }}\right)^{1/3}}$

Darin bedeuten ${\displaystyle \eta }$ die Oberflächenspannung und ${\displaystyle \rho }$ die Dichte der Flüssigkeit. Die Dispersion von Kapillarwellen ist kleiner als Null und deshalb anomal:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} L}}={\frac {-\left(2\pi \eta L\right)^{-1/2}}{2L}}\quad }$bzw.${\displaystyle \quad {\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} f}}={\frac {2\pi \eta }{3\rho }}\,\left({\frac {2\pi \eta f}{\rho }}\right)^{-2/3}}$

Kreiswellen werden am Rand reflektiert und überlagern sich

Kielwelle eines Schiffes.

Wasserwellen laufen parallel zum Strand auf

Wellenreflexion bedeutet bei fortschreitenden Wasserwellen das Zurückwerfen eines Teils ihrer Energie (Wellenenergie) an einem Bauwerk (Wellenbrecher, Ufermauer, Uferböschung) oder an Orten, wo sich die Konfiguration des natürlichen Meeresgrundes (stark) ändert. Entsprechend dem Reflexionsgesetz der Optik wird zugleich ein anderer Anteil der Wellenenergie fortgeleitet und der restliche Anteil durch die Prozesse des Wellenbrechens, der Flüssigkeits- und Bodenreibung etc. dissipiert bzw. absorbiert, vergl. Wellentransformation, Wellenabsorption.

Unter Refraktion wird eine von der Wassertiefe abhängige Änderung der Wellenlaufrichtung bei Flachwasserwellen (Wellen mit Wellenlängen, die deutlich größer sind als die Wassertiefe) verstanden. Sie kommt durch eine von Ort zu Ort unterschiedliche Wellengeschwindigkeit zustande, die bei Flachwasserwellen von der Tiefe abhängt. Bei flach ansteigenden Stränden führt ihre Wirkung dazu, dass sich Wellenfronten zunehmend parallel zur Uferlinie einbeugen und der Beobachter am Strand die (nicht notwendigerweise brechenden) Wellen auf sich zukommen sieht. Wie bei der Brechung des Lichts ist auch hier das snelliussche Brechungsgesetz auf der Grundlage des huygensschen Prinzips anwendbar.

Unter Diffraktion wird die Beugung von Wellenfronten an den Enden von Inseln bzw. an den Kanten von Bauwerken verstanden. Wie bei der Beugung des Lichtes an Kanten ist auch hier das huygenssche Prinzip anwendbar. Bei Schutzbauwerken (Wellenbrechern und Molen) hat die Diffraktion der Wellenfronten die Folge, dass ein Teil der Energie der anlaufenden Wellen auch hinter das Schutzbauwerk bzw. in den durch Molen gegen Wellenwirkungen zu schützenden Bereich einer Hafeneinfahrt gelangt.

Wellenbrechen bezeichnet den kritischen Grad der Wellentransformation, bei dem die Oberflächenspannung am Wellenkamm überwunden wird, die Orbitalbewegung ihre charakteristische Form verliert und aus der Wellenkontur austretendes Wasser in den Vorderhang fällt. Hinsichtlich ihrer Geometrie können etwa vier Brecherformen unterschieden werden.

Beispiel 1: Wellenbrechen

Nähert sich eine Welle einem langsam ansteigenden Ufer, verringert sich mit abnehmender Wassertiefe die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellenfront. Die nachfolgenden Wellen überrollen die Wellenfront, bis auch sie abgebremst werden. Die Wellenlänge nimmt ab; als Folge der Energieerhaltung vergrößert sich die Wellenhöhe, bis das Wellenbrechen eintritt.

Beispiel 2: Refraktion

Nähert sich eine Wellenfront einem langsam ansteigenden Ufer im schrägen Winkel, verlangsamen sich die Wellen im flachen Bereich. Die weiter außerhalb liegenden behalten ihre Geschwindigkeit bei. Ähnlich wie bei der Brechung von Licht an Glas dreht sich dadurch die Wellenfront, bis sie parallel zur Strandlinie verläuft.