Wang-Sequenz

In der Mathematik ist die Wang-Sequenz eine exakte Sequenz von Homologiegruppen für Faserbündel über Sphären. Sie ist nach Hsien Chung Wang benannt.

Sei ${\displaystyle F\to E\to S^{n}}$ eine Serre-Faserung über einer Sphäre ${\displaystyle S^{n}}$ mit ${\displaystyle n\geq 2}$. Dann hat man eine exakte Sequenz

${\displaystyle \ldots \to H_{r}(F)\to H_{r}(E)\to H_{r-n}(F)\to H_{r-1}(F)\to \ldots }$.

Insbesondere hat man für ${\displaystyle r\leq n-2}$ einen Isomorphismus ${\displaystyle H_{r}(F)\simeq H_{r}(E)}$.

Der Beweis ist eine Anwendung der Leray-Serre-Spektralsequenz.

Für Faserbündel ${\displaystyle F\to E\to S^{1}}$ über dem Kreis ${\displaystyle S^{1}}$ erhält man durch Anwendung von Mayer-Vietoris-Sequenzen eine exakte Sequenz

${\displaystyle \ldots \to H^{k}(E)\to H^{k}(F)\to H^{k}(F)\to H^{k+1}(E)\to \ldots }$,

wobei der Homomorphismus ${\displaystyle H^{k}(F)\to H^{k}(F)}$ die Abbildung ${\displaystyle f^{*}-I}$ ist für die Monodromie ${\displaystyle f^{*}}$ und die Identitätsabbildung ${\displaystyle I}$.