Haken-Mannigfaltigkeit

Eine Haken-Mannigfaltigkeit ist eine kompakte 3-Mannigfaltigkeit, die ${\displaystyle P^{2}}$-irreduzibel ist und eine (eigentlich eingebettete und zweiseitige) inkompressible Fläche enthält.

Erläuterungen:

• Eine 3-Mannigfaltigkeit ist irreduzibel, wenn jede eingebettete 2-Sphäre eine eingebettete 3-Kugel berandet. Sie ist ${\displaystyle P^{2}}$-irreduzibel, wenn sie irreduzibel ist und keine zweiseitig eingebettete projektive Ebene enthält. Wenn ${\displaystyle M}$ orientierbar ist, dann folgt ${\displaystyle P^{2}}$-Irreduzibilität bereits aus Irreduzibilität.
• Falls ${\displaystyle M}$ nichtleeren Rand hat, soll die inkompressible Fläche auch rand-inkompressibel sein.

• Die 3-dimensionale Vollkugel ${\displaystyle B^{3}}$ ist eine Haken-Mannigfaltigkeit.
• Jede irreduzible 3-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ mit positiver 1. Betti-Zahl

${\displaystyle b_{1}(M)>0}$

ist eine Haken-Mannigfaltigkeit: wegen Poincaré-Dualität folgt ${\displaystyle H_{2}(M,\mathbb {Z} )\not =0}$ und man kann zeigen, dass sich eine nichttriviale Homologieklasse durch eine inkompressible Fläche repräsentieren lässt. Insbesondere ist jede irreduzible 3-Mannigfaltigkeit mit Rand eine Haken-Mannigfaltigkeit, zum Beispiel jedes Knotenkomplement.

• Fast alle Dehn-Chirurgien am Achterknoten ergeben Mannigfaltigkeiten, die nicht Haken sind. Andererseits erhält man mit dieser Konstruktion einige Beispiele von Haken-Mannigfaltigkeiten mit ${\displaystyle b_{1}(M)=0}$.[1]
• Die von Ian Agol bewiesene Virtuell Haken-Vermutung besagt, dass jede irreduzible 3-Mannigfaltigkeit von einer Haken-Mannigfaltigkeit endlich überlagert wird.

Für eine Haken-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ mit inkompressibler Fläche ${\displaystyle F\subset M}$ gibt es eine Folge

${\displaystyle (M_{0},F_{0}),(M_{1},F_{1}),\ldots ,(M_{k},F_{k}),(M_{k+1},F_{k+1})}$,

so dass ${\displaystyle (M,F)=(M_{0},F_{0})}$, ${\displaystyle (M_{i+1},F_{i+1})}$ aus ${\displaystyle (M_{i},F_{i})}$ durch Aufschneiden entlang ${\displaystyle F_{i}}$ entsteht und ${\displaystyle M_{k+1}}$ eine Vereinigung disjunkter 3-dimensionaler Vollkugeln ist.

Diese Eigenschaft ermöglicht es, Beweise für Haken-Mannigfaltigkeiten als Induktionsbeweise über die Länge einer Haken-Hierarchie zu führen, wobei der Induktionsanfang jeweils im Überprüfen der Behauptung für 3-dimensionale Vollkugeln besteht. Auf diese Weise wurden Waldhausens Starrheitssatz für Haken-Mannigfaltigkeiten und Thurstons Geometrisierungsvermutung für Haken-Mannigfaltigkeiten bewiesen.

Satz (Waldhausen): Sei ${\displaystyle M}$ eine geschlossene Haken-Mannigfaltigkeit. Dann ist jede Homotopieäquivalenz homotop zu einem Homöomorphismus. Für Haken-Mannigfaltigkeiten mit Rand gilt das entsprechend, wenn man voraussetzt, dass die Homotopieäquivalenz auf dem Rand ${\displaystyle \partial M}$ bereits ein Homöomorphismus ist.

Es gibt einen Algorithmus, der entscheidet, ob zwei Haken-Mannigfaltigkeiten homöomorph sind. Dieser unter dem Namen „Recognition Theorem“ bekannte Algorithmus ist theoretischer Natur. Insbesondere hat man eine algorithmische Klassifikation von Haken-Mannigfaltigkeiten und damit (wegen des Satzes von Gordon-Luecke) auch eine algorithmische Klassifikation von Knoten und Verschlingungen. (Der Satz von Gordon-Luecke gilt nicht für Verschlingungen mit mehreren Komponenten, jedoch werden diese durch das Komplement und ihre Meridiane eindeutig bestimmt.)[2]

Weiterhin gibt es einen auch auf dem Computer umgesetzten Algorithmus, um zu entscheiden, ob eine irreduzible 3-Mannigfaltigkeit Haken ist.

Ein Randmuster (engl.: boundary pattern) ist eine endliche Menge kompakter zusammenhängender ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionaler Untermannigfaltigkeiten des Randes ${\displaystyle \partial M}$ („Facetten“), so dass für ${\displaystyle 1\leq k\leq n+1}$ der Durchschnitt von je ${\displaystyle k}$ dieser Untermannigfaltigkeiten eine ${\displaystyle (n-k)}$-dimensionale Untermannigfaltigkeit oder leer ist. Das Randmuster heißt vollständig, wenn die Vereinigung dieser Untermannigfaltigkeiten ganz ${\displaystyle \partial M}$ ist, und nützlich, wenn

• jede in ${\displaystyle M}$ null-homotope Abbildung von ${\displaystyle S^{1}}$ in eine Facette bereits in der Facette null-homotop ist
• jede aus zwei jeweils in eine Facette abgebildeten Intervallen bestehende null-homotope Abbildung von ${\displaystyle S^{1}}$ in ${\displaystyle \partial M}$ eine Abbildung von ${\displaystyle D^{2}}$ in ${\displaystyle \partial M}$ berandet, welche den Durchschnitt der beiden Facetten in einem einzigen Intervall schneidet
• jede aus drei jeweils in eine Facette abgebildeten Intervallen bestehende null-homotope Abbildung von ${\displaystyle S^{1}}$ in ${\displaystyle \partial M}$ eine Abbildung von ${\displaystyle D^{2}}$ in ${\displaystyle \partial M}$ berandet, welche den Rand der drei Facetten in einer einzigen Tripode schneidet

${\displaystyle n}$-dimensionale Haken-Zellen sind gewisse ${\displaystyle n}$-Mannigfaltigkeiten mit Randmuster, die rekursiv wie folgt definiert werden. Eine ${\displaystyle 2}$-dimensionale Haken-Zelle ist ein ${\displaystyle k}$-Eck (${\displaystyle k\geq 4}$) mit den ${\displaystyle k}$ Kanten als Randmuster. Eine ${\displaystyle n}$-dimensionale Haken-Zelle ist eine Mannigfaltigkeit mit vollständigem und nützlichem Randmuster, dessen Elemente ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionale Haken-Zellen sind.

Eine ${\displaystyle n}$-dimensionale Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ ist eine Haken-Mannigfaltigkeit, wenn es eine Folge

${\displaystyle (M_{0},F_{0}),(M_{1},F_{1}),\ldots ,(M_{k},F_{k}),(M_{k+1},F_{k+1})}$

von Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M_{i}}$ mit vollständigen und nützlichen Randmustern sowie ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten ${\displaystyle F_{i}\subset M_{i}}$ gibt, so dass ${\displaystyle M_{i+1}}$ aus ${\displaystyle M_{i}}$ durch Aufschneiden entlang ${\displaystyle F_{i}}$ entsteht und das Randmuster von ${\displaystyle M_{i+1}}$ von dem von ${\displaystyle M_{i}}$ erzeugt wird, und so dass ${\displaystyle M_{0}=M}$ und ${\displaystyle M_{k+1}}$ eine disjunkte Vereinigung ${\displaystyle n}$-dimensionaler Haken-Zellen ist.

• W. Haken: Theorie der Normalflächen I. In: Acta Math. 105, 1961, S. 245–375.
• F. Waldhausen: On irreducible 3-manifolds which are sufficiently large. In: Ann. of Math. 87, 1968, S. 56–88.
• W. Jaco: Lectures on three-manifold topology. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 43. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1980. ISBN 0-8218-1693-4
• B. Foozwell, H. Rubinstein: Introduction to the theory of Haken n-manifolds. In: Topology and geometry in dimension three. (= Contemp. Math. 560). Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011, ISBN 978-0-8218-5295-8, S. 71–84.

• William Jaco: Haken manifold (Encyclopedia of Mathematics)
• Johannson's characteristic submanifold theory, Chapter 2 in: Canary, McCullough, Homotopy equivalences of 3-manifolds and deformation theory of Kleinian groups

1. William Thurston: Geometry and topology of three-manifolds. Chapter 4: Hyperbolic Dehn surgery (pdf)
2. Sergei Matveev: Algorithmic topology and classification of 3-manifolds. (= Algorithms and Computation in Mathematics. 9). 2. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-45898-2, Kapitel 6.
3. Klaus Johannson: Homotopy equivalences of 3-manifolds with boundaries. (= Lecture Notes in Mathematics. 761). Springer, Berlin 1979, ISBN 3-540-09714-7.