W*-dynamisches System

W*-dynamische Systeme werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um eine Konstruktion, mit der man aus einer Von-Neumann-Algebra und einer lokalkompakten Gruppe, die in gewisser Weise auf der Von-Neumann-Algebra operiert, eine neue Von-Neumann-Algebra gewinnt.

Definition

Ein W*-dynamisches System ist ein Tripel $(A,G,\alpha )$ bestehend aus einer Von-Neumann-Algebra $A$ über einem Hilbertraum $H$ , einer lokalkompakten Gruppe $G$ und einem Homomorphismus $\alpha :G\rightarrow \mathrm {Aut} (A),s\mapsto \alpha _{s}$ von $G$ in die Gruppe der *-Automorphismen von $A$ , der punktweise stark stetig ist, das heißt, dass alle Abbildungen $G\rightarrow H,s\mapsto \alpha _{s}(a)\xi ,\,a\in A,\xi \in H$ normstetig sind.

Man kann die starke Operatortopologie durch die schwache oder ultraschwache Operatortopologie ersetzen und erhält dabei denselben Begriff.[1]

Konstruktion des Kreuzproduktes

Zu einem W*-dynamischen System $(A,G,\alpha )$ konstruieren wir wie folgt eine Von-Neumann-Algebra $A\ltimes _{\alpha }G$ . Wir geben hier die in[2] vorgestellte Konstruktion wieder. Als erstes beschreiben wir den Hilbertraum, auf dem die neue Von-Neumann-Algebra operieren soll.

$A$ operiere auf dem Hilbertraum $H$ und L²(G) sei der Hilbertraum der bzgl. des Haarmaßes quadratintegrablen Funktionen. Das Hilbertraum-Tensorprodukt $H\otimes L^{2}(G)$ kann man mit dem Raum $L^{2}(G,H)$ der messbaren Funktionen $\xi :G\rightarrow H$ mit $\textstyle \int _{G}\|\xi (s)\|^{2}\mathrm {d} s<\infty$ identifizieren. Die Abbildung, die einem Elementartensor $\xi _{0}\otimes h$ die Funktion $s\mapsto h(s)\xi _{0}$ zuordnet, kann zu einem unitären Operator

H\otimes L^{2}(G)\rightarrow L^{2}(G,H)

fortgesetzt werden.

Nun zu den Operatoren der zu definierenden Von-Neumann-Algebra. Da der Raum $C_{c}(G,H)$ der stetigen Funktionen $G\rightarrow H$ mit kompaktem Träger dicht in $L^{2}(G,H)$ liegt, genügt es, die Wirkung der Operatoren auf $C_{c}(G,H)$ anzugeben. Zu jedem $x\in A$ definieren wir den Operator $\pi (x)$ auf $L^{2}(G,H)$ durch

(\pi (x)f)(s):=\alpha _{s^{-1}}(x)f(s),\quad f\in C_{c}(G,H),s\in G

und für jedes $t\in G$ den Operator $\lambda (t)$ auf $L^{2}(G,H)$ durch

(\lambda (t)f)(s):=f(t^{-1}s),\quad f\in C_{c}(G,H),s\in G

.

Dann ist $\pi$ ist eine Hilbertraum-Darstellung von $A$ und $\lambda$ eine Gruppendarstellung von $G$ auf dem Hilbertraum $L^{2}(G,H)$ und es gilt

\lambda (t)\pi (x)\lambda (t)^{*}:=\pi (\alpha _{t}(x))

für alle

x\in A,t\in G

.

Daher ist die lineare Hülle der Operatoren $\pi (x)\lambda (t)$ eine bzgl. der Involution abgeschlossene Teilalgebra von $L(L^{2}(G,H))$ , der beschränkten, linearen Operatoren auf $L^{2}(G,H)$ , deren schwacher Abschluss eine Von-Neumann-Algebra ist. Diese heißt die Von-Neumann-Algebra des W*-dynamischen Systems $(A,G,\alpha )$ oder das Kreuzprodukt aus $A$ und $G$ (vermöge $\alpha$ ) und wird mit $A\ltimes _{\alpha }G$ bezeichnet. Alternative Bezeichnungen sind $A\otimes _{\alpha }G$ , $A\times _{\alpha }G$ oder $W^{*}(A,G,\alpha )$ .

Beachtet man die oben angegebene Isomorphie $H\otimes L^{2}(G)\cong L^{2}(G,H)$ , so kann man zeigen, dass $A\ltimes _{\alpha }G$ im Tensorprodukt $A{\overline {\otimes }}L(L^{2}(G))$ enthalten ist.

Dualität

Sei $G$ eine kommutative, lokalkompakte Gruppe. Dann gibt es dazu die Dualgruppe ${\hat {G}}$ der stetigen Gruppenhomomorphismen $G\rightarrow \{z\in \mathbb {C$ . Diese ist mit der Topologie der kompakten Konvergenz wieder eine kommutative, lokalkompakte Gruppe. Für einen solchen Gruppenhomomorphismus $\chi \in {\hat {G}}$ definieren wir den unitären Operator $v_{\chi }$ auf $L^{2}(G)$ durch die Formel

(v_{\chi }f)(s):={\overline {\chi (s)}}f(s),\quad f\in C_{c}(G),s\in G

.

Dann ist $1_{H}\otimes v_{\chi }$ ein unitärer Operator über $H\otimes L^{2}(G)$ und man kann zeigen, dass $(1\otimes v_{\chi })\,A\ltimes _{\alpha }G\,(1\otimes v_{\chi })^{*}=A\ltimes _{\alpha }G$ gilt, das heißt, dass durch

{\hat {\alpha }}_{\chi }(y):=(1\otimes v_{\chi })y(1\otimes v_{\chi })^{*}

ein Automorphismus auf $A\ltimes _{\alpha }G$ definiert wird, der $(A\ltimes _{\alpha }G,{\hat {G}},{\hat {\alpha }})$ zu einem W*-dynamischen System macht. Man kann also das Kreuzprodukt $(A\ltimes _{\alpha }G)\ltimes _{\hat {\alpha }}{\hat {G}}$ bilden und zeigen, dass dieses isomorph zu $A{\overline {\otimes }}L(L^{2}(G))$ ist.[3]

Anwendungen

Konstruktion von Faktoren

Es sei $T$ ein Borel-Raum, der Borel-isomorph zu [0,1] ist, und $\mu$ ein σ-endliches Maß auf $T$ ohne Atome, das heißt, es ist $\mu (\{t\})=0$ für alle $t\in T$ . Wir betrachten injektive Gruppenhomomorphismen

\alpha ':G\rightarrow \mathrm {Iso} (T,\mu )

einer diskreten Gruppe $G$ in die Gruppe der Borel-Isomorphismen auf $(T,\mu )$ , so dass folgendes gilt:

Aus $\mu (N)=0$ folgt für alle $g\in G$ auch $\mu (\alpha '_{g}(N))=0$ .
$G$ operiere frei auf $(T,\mu )$ , das heißt $\mu (\{t\in T;\,\alpha '_{g}(t)=t\})=0$ für alle vom neutralen Element verschiedenen $g\in G$ .
$G$ operiere ergodisch auf $(T,\mu )$ , das heißt ist $N\subset T$ mit $\mu (\alpha '_{g}(N)\setminus N)=0$ für ein vom neutralen Element verschiedenes $g\in G$ , so ist $\mu (N)=0$ oder $\mu (T\setminus N)=0$ .

Aus $\alpha ':G\rightarrow \mathrm {Iso} (T,\mu )$ erhält man einen Gruppenhomomorphismus

\alpha :G\rightarrow \mathrm {Aut} (L^{\infty }(T,\mu )),\quad (\alpha _{g}(f))(t):=f(\alpha '_{g^{-1}}(t))

in die Automorphismengruppe der abelschen Von-Neumann-Algebra $L^{\infty }(T,\mu )$ und man erhält ein W*-dynamisches System $(L^{\infty }(T,\mu ),G,\alpha )$ . Daher kann man das Kreuzprodukt $L^{\infty }(T,\mu )\ltimes _{\alpha }G$ bilden. Für dieses gilt[4][5]:

Ist $\mu$ nun $G$ -invariant, das heißt $\mu (\alpha '_{g}(N))=\mu (N)$ für alle messbaren Teilmengen $N\subset T$ , so ist $L^{\infty }(T,\mu )\ltimes _{\alpha }G$ ein Typ II Faktor, und zwar ein Typ II₁ Faktor, falls $\mu (T)<\infty$ , und anderenfalls ein Typ II_∞ Faktor.

Ist $\mu$ nicht $G$ -invariant, wohl aber invariant bzgl. einer Untergruppe von $G$ , die ebenfalls ergodisch auf $(T,\mu )$ operiert, so ist $L^{\infty }(T,\mu )\ltimes _{\alpha }G$ ein Typ III Faktor.

Dafür lassen sich folgende konkrete Beispiele angeben:

Konkrete Beispiele

(i) Sei $T=\mathbb {T$ die Kreislinie mit dem Haarmaß $\mu$ . Es sei $G=\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ und

\alpha ':G\rightarrow \mathrm {Iso} (\mathbb {T} ,\mu ),\quad \alpha '_{q+\mathbb {Z} }(e^{2\pi it}):=e^{2\pi i(t+q)}

.

Dies erfüllt die Voraussetzungen obigen Satzes, und es folgt, dass $L^{\infty }(\mathbb {T} ,\mu )\ltimes _{\alpha }\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ ein Typ II₁-Faktor ist.

(ii) Sei $T=\mathbb {R}$ mit dem Lebesguemaß $\lambda$ .

\alpha ':\mathbb {Q} \rightarrow \mathrm {Iso} (\mathbb {R} ,\lambda ),\quad \alpha '_{q}(t):=t+q

.

Dies erfüllt die Voraussetzungen obigen Satzes, und es folgt, dass $L^{\infty }(\mathbb {R} ,\lambda )\ltimes _{\alpha }\mathbb {Q}$ ein Typ II_∞-Faktor ist.

(iii) Sei $T=\mathbb {R}$ mit dem Lebesguemaß $\lambda$ und $G$ sei die multiplikative Matrizengruppe $G=\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}};\,a,b\in \mathbb {Q} \}$ . Für $g={\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}$ sei $\alpha '_{g}(t):=at+b$ . Dann erfüllt $\alpha ':G\rightarrow \mathrm {Iso} (\mathbb {R} ,\lambda )$ die Voraussetzungen obigen Satzes, und es folgt, dass $L^{\infty }(\mathbb {R} ,\lambda )\ltimes _{\alpha }G$ ein Typ III -Faktor ist.

Die modulare Gruppe

Für σ-endliche Von-Neumann-Algebren $A$ liefert die Tomita-Takesaki-Theorie zu jedem treuen, normalen Zustand ein W*-dynamisches System $(A,\mathbb {R} ,\sigma )$ . Die Abhängigkeit vom Zustand wird durch einen sogenannten Connes-Kozykel beschrieben, woraus sich ergibt, dass die Kreuzprodukte der W*-dynamischen Systeme zu verschiedenen Zuständen isomorph sind. Man kann daher von dem Kreuzprodukt $A\ltimes _{\sigma }\mathbb {R}$ mit der modularen Gruppe sprechen.

Die Dualität $(A\ltimes _{\sigma }\mathbb {R} )\ltimes _{\hat {\sigma }}\mathbb {R} \cong A\otimes L(L^{2}(\mathbb {R} ))$ spielt eine wichtige Rolle im Satz von Takesaki über die Struktur der Typ III Von-Neumann-Algebren.

Siehe auch

C*-dynamisches System

Einzelnachweise

Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, 7.4.2
A van Daele: Continuous crossed products and type III von Neumann algebras, Cambridge University Press (1978), ISBN 0-521-21975-2
A van Daele: Continuous crossed products and type III von Neumann algebras, Cambridge University Press (1978), ISBN 0-521-21975-2, Theorem 4.11
Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, 7.11.16
R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 8.6.10

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[1] Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, 7.4.2

[2] A van Daele: Continuous crossed products and type III von Neumann algebras, Cambridge University Press (1978), ISBN 0-521-21975-2

[3] A van Daele: Continuous crossed products and type III von Neumann algebras, Cambridge University Press (1978), ISBN 0-521-21975-2, Theorem 4.11

[4] Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, 7.11.16

[5] R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 8.6.10