Prognoseintervall

In der multiplen linearen Regression ergibt sich das Prognosemodell durch

${\displaystyle \mathbf {y} _{0}=\mathbf {X} _{0}{\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\varepsilon }}_{0}}$,

wobei

• ${\displaystyle \mathbf {y} _{0}}$ den Vektor zukünftiger abhängiger Variablen darstellt und
• ${\displaystyle \mathbf {X} _{0}}$ die Matrix der erklärenden Variablen zum Zeitpunkt ${\displaystyle T_{0}}$.

Die Prognose wird dargestellt als ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}_{0}=\mathbf {X} _{0}\mathbf {b} }$.

Wichtig für die Berechnung eines Prognoseintervalls ist die Varianz des Prognosefehlers, welche die Variation des Prognosefehlers und somit die Zuverlässigkeit der Prognose wiedergibt.

Sie ist in der linearen Einfachregression gegeben durch:

${\displaystyle \sigma _{0}^{2}=\operatorname {Var} ({\hat {y}}_{0}-y_{0})=\sigma ^{2}\left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {(x_{0}-{\bar {x}})^{2}}{\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}\right)}$.

Mithilfe der Varianz des Prognosefehlers erhält man dann als ${\displaystyle (1-\alpha )}$-Prognoseintervall für den prognostizierten Wert von ${\displaystyle y_{0}}$[1][2]

${\displaystyle {\hat {y}}_{0}\pm t_{(1-\alpha /2,n-2)}\cdot {\sqrt {{\hat {\operatorname {Var} }}({\hat {y}}_{0}-y_{0})}}={\hat {y}}_{0}\pm t_{(1-\alpha /2,n-2)}\cdot {\sqrt {{\hat {\sigma }}^{2}\left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {(x_{0}-{\bar {x}})^{2}}{\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}\right)}}}$.

Beachte, dass die Breite des Prognoseintervalls an den Rändern des Trägers der Trainingsdaten typischerweise zunimmt, da nicht nur die konstante Varianz der Residuuen ${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}$ einfließt, sondern auch die Unsicherheit bei der Schätzung des Modells. Letztere ist an den Rändern typischerweise größer.