Von-Neumann-Dimension

Sei ${\displaystyle \Gamma }$ eine abzählbare Gruppe und ${\displaystyle V}$ ein Hilbert-${\displaystyle \Gamma }$-Modul. Dann gibt es eine isometrische ${\displaystyle \Gamma }$-äquivariante Einbettung ${\displaystyle i\colon V\to (l^{2}\Gamma )^{n}}$ und eine ${\displaystyle \Gamma }$-äquivariante orthogonale Projektion ${\displaystyle p\colon (l^{2}\Gamma )^{n}\to (l^{2}\Gamma )^{n}}$ mit Bild ${\displaystyle i(V)}$. Die Von-Neumann-Dimension von ${\displaystyle V}$ ist definiert als

${\displaystyle \dim _{N\Gamma }V:=tr_{\Gamma }(p)}$,

wobei ${\displaystyle tr_{\Gamma }}$ die Von-Neumann-Spur bezeichnet. Diese Definition hängt nicht von der gewählten Einbettung ${\displaystyle i}$ ab.

• ${\displaystyle \dim _{N\Gamma }(l^{2}\Gamma )^{n}=n}$.
• ${\displaystyle \dim _{N\Gamma }V=0\Longleftrightarrow V=0}$.
• Wenn ${\displaystyle f\colon V\to W}$ ein injektiver ${\displaystyle \Gamma }$-äquivarianter Homomorphismus mit dichtem Bild ist, dann ist ${\displaystyle \dim _{N\Gamma }V=\dim _{N\Gamma }W}$.
• Für eine schwach exakte Sequenz ${\displaystyle 0\to U\to V\to W\to 0}$ von Hilbert-${\displaystyle \Gamma }$-Moduln ist ${\displaystyle \dim _{N\Gamma }V=\dim _{N\Gamma }U+\dim _{N\Gamma }W}$.
• Die Von-Neumann-Dimension des vervollständigten Tensorprodukts zweier Hilbert-Moduln ist das Produkt der Von-Neumann-Dimensionen.
• Wenn ${\displaystyle \Lambda \subset \Gamma }$ eine Untergruppe von endlichem Index ist, dann ist ${\displaystyle \dim _{N\Lambda }Res_{\Lambda }^{\Gamma }V=\left[\Gamma \colon \Lambda \right]\dim _{N\Gamma }V}$.

• Für eine endliche Gruppe ${\displaystyle \Gamma }$ und einen Hilbert-${\displaystyle \Gamma }$-Modul ist ${\displaystyle \dim _{N\Gamma }V={\frac {1}{\vert \Gamma \vert }}\dim _{\mathbb {C} }V}$.
• Für ${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z} }$ und eine messbare Menge ${\displaystyle A\subset \left[-\pi ,\pi \right]}$ ist ${\displaystyle V=\left\{f\cdot \chi _{A}\colon f\in L^{2}(\left[-\pi ,\pi \right],\mathbb {C} )\right\}}$ ein Hilbert-${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Modul und ${\displaystyle \dim _{N\mathbb {Z} }V={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\chi _{A}d\mu }$.

• W. Lück: L²-invariants: Theory and applications to geometry and K-theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 44. Berlin: Springer (2002).
• H. Kammeyer: Introduction to l²-invariants. Lecture Notes in Mathematics 2247. Cham: Springer (2019).
• C. Löh: Ergodic theoretic methods in group homology. A minicourse on L²-Betti numbers in group theory. SpringerBriefs in Mathematics. Cham: Springer (2020).